案例16《对数函数的图像与性质》的教学新设计

《对数函数的图像与性质》的教学新设计佛山市第四中学彭晓燕华南师范大学数学科学学院何小亚为了提高佛山市高中数学教学水平，佛山市教育局教研室彭海燕副主任邀请我们为全区的高中数学教师做一个基于高中数学新课标和新教材的教学设计示范案例，并于2019年10月17日上午在佛山市第四中学面向全区的高中数学科组长和骨干教师上了公开示范课，引发了大家的热议.以下是我们根据追求数学素养的教学设计标准[1]、[2]设计的教案和反思，希望广大读者批评指正.1.教案设计【教材】人教A版（2007）普通高中数学必修一2.2.2【课时安排】第1课时【教材分析】将复杂的函数问题化归为简单的基本初等函数问题，是研究函数的核心思路.对数函数就是一种重要的基本初等函数.本节内容是在学习对数的概念和运算性质后,进一步学习对数函数的定义、图像、性质及初步应用.对数函数的图像与性质的学习过程与指数函数部分的学习类似，注重学生参与探究的过程，因此可以类比进行教学.【学情分析】1.认知基础：学生已学习了指数函数的概念和图像，对数概念，积累了探究指数函数性质的经验.这些是学习对数函数概念及其性质的基础.2．认知障碍：函数概念的本质；指数函数与对数函数互为反函数的理解；容易忽略底数a对图象的影响.【教学目标】知识与技能（1）理解对数函数的定义，深刻认识函数的本质（具体内容见问题2之后）；熟悉指数函数、对数函数的增长快慢的差异；知道指数函数与对数函数互为反函数.（2）掌握对数函数的图象和性质，会用其比较对数的大小.过程与方法（1）通过问题2和3的讨论过程，提高学生的函数素养；（2）通过问题4的提出、分析、解决过程，进一步强化应用函数模型解决特殊问题的一般化思想和问题解决中的化归思想.3.情感态度与价值观（1）让学生喜欢对数、对数函数；（2）感受对数运算强大的简化、压缩功能；（3）感受指数函数、幂函数y=x、对数函数增长快慢的巨大差异.【教学重点】对数函数的定义和性质.【教学难点】1.指数函数与对数函数互为反函数；2.底数a的大小与函数图象变化.【关键】利用对数和指数的互逆关系和解释函数概念的本质突破难点1；利用几何画板直观演示底数a的变化对函数图像的影响来突破难点2.【教学方法】问题驱动、概念同化、引导探究.教学手段：PPT、几何画板. 【教学流程设计】问题引入问题引入探究发现巩固应用小结及作业设计意图：通过对函数的定义的剖析得到对数函数,加深对函数定义的理解,也有助于学生形成系统的知识结构,体会知识的融会贯通.设计意图：学生在探究对数函数图像的过程中,充分体会从特殊到一般的过程,从而得到对数函数的图像,并类比指数函数的探究方法,得到对数函数的性质.设计意图：学生通过求函数定义域,加深对对数函数的理解;通过比较两个同底对数的大小,熟悉对数的性质.并通过指数函数、幂函数、对数函数增长快慢的巨大差异，感受对数运算强大的简化、压缩功能.设计意图：小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程，学习数学思想；并通过“无穷酒杯”的形象比喻，使学生对函数图像的理解更直观，更深刻.作业意在使学生进一步熟悉对数函数的图像及其性质.【教学过程设计】（一）问题引入（10分钟）问题1：什么叫做指数函数，它有什么性质？教师引导学生回答并显示表格内容.问题2：什么是函数，你看清楚了函数的真面目吗？教师指着指数函数紧扣其解释：函数是两个非空数集之间的一种对应关系；在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集合里找到唯一确定的数与它对应；前面的集合叫定义域，那些被唯一确定的所有数组成了叫做值域的集合；函数概念的关键是由谁唯一确定了谁；函数概念与两个变量所用的符号没有什么关系，就像人的名字一样（圆面积S是半径r的函数，这里并没有x、y）；函数其实就是一个系统，一台机器，它由两个变量，两个非空数集，对应法则f(比如乘2加3，平方，表格对应，箭头对应，……)构成，不能把函数值f(x)当成函数,也不能把对应法则f当成函数.我们可以说一个变量是另一个变量的函数，但不能把变量x、y当成函数，因为函数不是变量，而是一个系统.问题3：已知指数函数，请问变量x是否是y的函数？师生一起验证其符合函数的定义,x是y的函数，因为由指数函数的图像和性质可知，y的每一个取值，都能找到唯一的x与之对应.对应关系是，.最后给出对数函数的定义.为了在同一坐标系下研究不同函数的性质，我们通常用x表示自变量，y表示函数，形如（）的函数叫做对数函数.定义域为.【设计意图】通过对函数的定义的剖析得到对数函数,加深对函数定义的理解,也有助于学生形成系统的知识结构,体会知识的融会贯通.（二）探究发现（15分钟）问题4：不用查表，不用计算器，能否知道下列各组数中哪一个大?教师活动：第二组数即使是对数表也不能派上用场.我们在学习指数函数时，学到了一种重要的数学思想：一般化！即：面对两个具体的数值大小比较难题，我们把问题一般化，将它们看成是某一函数的两个函数值，利用函数的单调性就可以判断谁大谁小！要想解决这两个难题，我们先来研究对数函数的图像和性质.问题5：请在同一坐标系上画出对数函数的图像，教师引导学生分两组合作,分别画出的图像,问题6：每一组图像有什么特点？展示学生的成果并观察图像,引导学生得出图像特点:①图象都在轴右侧；②都过点（1，0），即；③当a>1时，图象沿轴正向逐步上升；当时，图象沿轴正向逐步下降.④图像关于x轴对称.（为什么？因为）问题7：对数函数的图像有哪些典型的类别？学生活动：思考问题并进行猜想.教师活动：肯定学生的发现，并利用几何画板，选取底数，且的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象,归纳出以下图像. 类比指数函数，我们可以根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质，完善以下表格.【设计意图】学生在探究对数函数图像的过程中,充分体会从特殊到一般的过程,从而得到对数函数的图像,并类比指数函数的探究方法,得到对数函数的性质.（三）巩固应用（10分钟）例1.求函数根据真数大于0，教师引导学生口答并示范板演.例2.分别比较大小：；.教师活动：引导学生口答,并由教师示范板演.小结:比较同底数的两个对数的大小,可利用对数函数的单调性,要注意底数的范围.学生活动:牛刀小试.；.问题8：随着x的无限增大，三个函数y=10x,y=x,y=lgx的函数值y的大小关系是什么？教师活动：1.几何画板显示图像，直接指出三个函数值的大小顺序；2.引导学生口算：当x取0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000，…，一千万时，常用对数函数值分别是-3，-2，-1，0，1，2，3，…，7来说明y=lgx几乎是贴着x轴增长到无穷大的.教师总结：看到没有，一个如此疯狂大的数，一旦被取对数后就被压缩得如此之小！在数学家眼里，取对数就是一台功能强大的压缩机！我好喜欢，好宠爱，好膜拜这台疯狂的压缩机！同学们，你呢？3.看图像，下结论：通过计算，我们知道，当x>1时，随着x的增大,y=10x的增大程度远远大于y=x的增大程度，而y=x的增大程度远远大于y=lgx.的增大程度问题9：指数函数和对数函数有什么关系?x-3-2-101231248x1248-3-2-10123对于指数函数图像上的任意一点P（x,y）,点Q（y,x）在对数函数的图像上；反之，对于对数函数图像上的任意一点P（x,y）,点Q（y,x）也在指数函数的图像上.此时我们就称这两个函数互为反函数.指数函数与对数函数互为反函数，那么它们的图像有什么关系呢？请大家课后继续研究！【设计意图】学生通过求函数定义域,加深对数函数概念的理解;通过比较两个同底对数的大小,熟悉对数的性质.并通过指数函数、幂函数、对数函数增长快慢的巨大差异，感受对数运算强大的简化、压缩功能.（四）归纳总结（5分钟）小结：函数的庐山真面目是什么？函数是两个非空数集之间的一种对应关系；在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集合里找到唯一确定的数与它对应；函数概念中两个变量的符号不是固定的.函数其实就是一个系统，一台机器，它由两个变量，两个非空数集，对应法则f构成，不能把函数值f(x)当成函数,也不能把对应法则f当成函数.我们可以说一个变量是另一个变量的函数，但不能把变量x、y当成函数，因为函数不是变量，而是一个系统.

（2）我们为什么要学习指数函数、对数函数？师:指数函数和对数函数都是函数家族中最简单的函数.在数学世界和真实世界中，有许多难题最终要化归为复杂的函数问题，而面对复杂的函数问题，我们必须将此函数化归为简单的函数问题，从而使难题获解.这一思想在例2中得到了充分体现.（3）如何记住指数函数、对数函数的性质？用几何画板显示（见几何画板文件“指数函数对数函数图像”），把底数是a>1和1/a的指数函数的图像，放在同一坐标系中合起来就是一个无穷酒杯图，观察指数函数图像，a越大，酒杯越瘦，a越小，酒杯越肥.由于对数函数是把指数函数中的x和y交换后得出来的，我们就把放在x轴上的酒杯，如此贴着y轴放置,就得到了一只横放的无穷酒杯，同样，a越大，酒杯越瘦，由此解释两种类型的对数函数的图像和性质.通过“横放的无穷酒杯”，可以更直观地感受对数函数的定义域，值域，单调性，函数值的取值范围等等.（4）指数函数与对数函数互为反函数.当x无限增大时，三个函数，，的函数值大小关系是什么？而且几乎是贴着x轴增长到无穷大的，所以取对数就是一台功能强大的“压缩机”！作业：1.课本P74习题2.2A组第7、8题．2.分别比较的大小.3.课后探究：指数函数与对数函数互为反函数，那么它们的图像有什么联系？【设计意图】小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程，学习数学思想；并通过“无穷酒杯”的形象和内容的深刻编码，实现终身记忆指数函数、对数函数中四类函数的图像和性质之目标.作业1意在使学生进一步强化对数函数的图像及其性质；作业2意在提高学生的问题解决能力；作业3意在掌握结论：互为反函数的两个函数的图像关于直线对称.2.设计说明（1）对数及对数函数的概念是比较抽象的，其教学必须遵循大道至简的原则，不能用繁琐的、复杂的死亡生物体内碳14元素的测定案例来引入.我们反对简单问题复杂化和复杂问题复杂化的教材编写和教学设计！（2）设计时，我们删除了判断诸如函数是不是对数函数的问题，因为这不是一个好的数学问题.（如果学生问到此问题，教师可以按照此标准回答：指数函数、幂函数、对数函数的定义都是形式定义，对于形式定义的概念，任何突破模型的形式都不是定义本身.[3]）再比如，问学生哪些函数是相等或相同的问题，也不是好的数学问题，因为这一类“是不是”的问题不是数学研究的目标.我们在此呼吁，不要再讲、再做、再考这类“是不是”的问题，回归数学的本质吧！（3）由于教材砍掉了反函数的定义，于是学生理解“指数函数和对数函数互为反函数”就成了教学难点.无论是旧版的各种版本教材，还是最新的各种版本教材，都是毫无理由地、粗暴地说：指数函数和对数函数互为反函数.为了减少学生对数学的误解——想怎么“令”就怎么“令”，想怎么“设”就怎么“设”，想怎么“规定”就怎么“规定”，我们做了说点理由的设计.（4）学了指数函数和对数函数后，我们希望学生能一辈子记住其中的四类函数的性质，于是设计了“无穷酒杯”这一理解模型，以体现华罗庚先生的“由厚到薄”读书的最高境界.3.课后反思（1）画图过程时间稍长，导致后面的小结还不够到位.

（2）在问题8的处理上，通过学生口算，直观感受取对数的强大压缩功能，但是教学过程中，由于教师并没有在10000000万这一数据上，给予学生更充分的想象，且情绪不够强烈，不足以带动学生对取对数这一压缩功能的形象感知，因此“让学生爱上对数”这一目标的实现估计不充分.小结中“无穷酒杯”的解读还不够深刻，且未明确点出其优越之处：举一反三.只要记住“无穷酒杯”的特征，就把指数函数和对数函数的性质全部理解掌握.时间不够，可以提出课后思考问题：对于由底确定的一族对数函数，对同样的自变量的取值，函数值的大小与底的大小有什么关系？致谢：感谢佛山市教育局教研室和佛山市第四中学数学科组为此次全市公开课提供的一切帮助！参