案例12 数学归纳法

第五届“东芝杯·中国师范大学理科师范生教学技能创新大赛”参赛课题：《数学归纳法》参赛选手：程浣所属单位：华南师范大学数学科学学院

【课题】《2.3数学归纳法》【教材】人教A版高中数学选修2-2第二章第三节【课时安排】第1课时【教材分析】数学归纳法是一种独特的证明方法，它是解决求数列的通项公式、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的新方法。由于中学教材中没有皮亚诺公理或最小数原理作前提，这就使其教学变得无“法”可依。数学归纳法的操作性理解问题不大，但其关系性理解却十分困难。为克服这一困难，本节课的定位是：既要教操作步骤，更要教原理的理解；既要提供“公理”的背景，更要借助日常情境模型把重点放在对蕴含关系p→q的理解上。【学情分析】⒈认知基础：①之前已学过归纳推理，具有会证明由归纳推理得到的结论的心理需求；②生活经验，如：多米诺骨牌、数的顺序、基数、后继元等性质，以及用“有限元”去代替“无限”的经验。⒉认知障碍：①两步骤的必要性与合理性；②用“有限的两步骤”来代替“无限的递推过程“这一转化。【教学目标】☆知识与技能①理解两步骤的必要性与合理性；②会用它证明一些与正整数有关的问题。☆过程与方法①借助具体问题与直观模型，经历数学归纳法的的“再创造”过程；②理解将无限问题转化为有限问题的化归思想，培养数学探究的意识。☆情感态度价值观喜欢数学归纳法，并体验以有限驾驭无限，以静制动的威力。【教学重点】数学归纳法的“再创造”过程。【教学难点】①不是作为被证的事实，而是作为假设；②对蕴含关系的不理解。【教学关键】类比多米诺骨牌模型。【教学方法】问题驱动、引导发现法。【教学手段】计算机、PPT、几何画板。【教学流程】设置障碍设置障碍激发动机设计意图：学生的学习被“抛锚”到“真实的任务情境”中，便会产生“心愤愤”而“口悱悱”的状态，形成主动寻求知识的动力！回顾旧知回顾旧知寻找思考方向设计意图：了解学生原有的认知结构，结合现有的基础，从“过去的经验”中为破解难点搭建阶梯，使学生能顺阶而上。三次三次实验搭建脚手架设计意图：通过实验，引导学生感悟其中的数学原理。实现学生的思维由隐性到显性、由模糊到清晰、由片面到完整的逐步过渡。类比迁移类比迁移提炼两个条件设计意图：类比实验的结果去证明引例的猜想，是提炼得出数学归纳法基本原理的桥梁，是理解数学归纳法的两个步骤的关键。概括提炼概括提炼形成科学方法设计意图：从实验到原理，始终坚持在学生的“最近发展区”设置问题，清晰地反映了生活问题—数学问题—数学形式化的发展轨迹。牛刀小试牛刀小试反馈练习巩固提高反馈练习巩固提高设计意图：根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设计该练习，使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的过程及表达规范。设计意图：设计意图：小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程；作业意在使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，进一步熟悉数学归纳法。课堂小结布置作业【教学过程设计】（一）设置障碍，激发动机回顾：在前面学习“归纳推理”的时候，我们遇到过这样的一个问题：例：已知数列中，，。试求数列的通项公式？问题1：大家还记得当时我们是怎样解决的吗？设计意图：学生是在学习了“合情推理”与“演绎推理”的基础上学习数学归纳法的，该问题起到了先行组织者的作用，以学生已有的知识经验为基础，建立新旧知识间的内在联系，便于学生完成对新知识的迁移。学生活动后，投影展示学生解答的思路：①观察：根据已知的递推公式；②归纳：计算出前四项：，，，；③猜想：由此大胆猜想，该数列的通项公式为；④证明？？？问题2：上面的猜想真的正确吗？我们能证明吗？师生交流后，教师概括得到：首先，一个猜想的正确性需要严格的证明来保证；第二，这是一个与正整数有关的命题，正整数有无限多个；第三，人的生命有限，即使穷尽一生，也无法一一验证。问题3：怎样才能用有限的生命去对抗无限的验证呢？必须找到新的方法！设计意图：学生的学习被“抛锚”到“真实的任务情境”中，他们便会面向生活与实践，为解决问题而学习；便会产生“心愤愤”而“口悱悱”的状态，形成主动寻求知识的动力！（二）回顾旧知，寻找思考方向问题4：在以前的数学学习中，我们有遇到过类似的问题吗？设计意图：学生在了解了“矛盾”之后，如何寻找思考的方向是一个难点。这就需要了解学生原有的认知结构，结合现有的基础，从“过去的经验”中为破解难点搭建阶梯，使学生能顺阶而上。以立体几何中的“线面垂直”为例。证明“线面垂直”主要有两种方法：①按定义证：证明直线与平面内的“任意一条”直线都垂直。②按判定定理证：证明直线与平面内的“两条”相交直线垂直即可。结论：只要通过对“两条”相交直线的验证，就可以确保对“任意一条”直线也成立。实现了无限到有限的转化！问题5：由这个例子，你们可以得到什么启发？设计意图：“把无限步的验证转化为对有限步的验证”是学生思维中的难点，也是学生探寻数学归纳法的情感动力。线面垂直判定定理的学习，为学生积累了经验，提供了参照。通过师生互动，明确了解决矛盾的方向：化无限为有限。思考的方向：能不能找到一种方法，只要通过对有限个步骤的验证，就能确保对无限个步骤也能成立？（三）三次实验，搭建脚手架教师指出：究竟该通过“怎样的有限步”才能确保无限步成立呢？为解决这个问题，引入多米诺骨牌实验！师生共同欣赏多米诺骨牌视频:问题6：为什么轻轻一推，就可以让成千上万的骨牌全部倒下？设计意图：数学归纳法具有高度抽象性，需要组织形象、生动、与所学内容密切相关的素材以帮助，引导学生从中感悟其蕴含的数学思想，最终产生迁移效果，抽象出数学归纳法原理，多米诺骨牌便是充当这样一个角色。实验一：如图，课件展示动画，老师用手推倒第1块骨牌，然后第2块骨牌、第3块骨牌……紧跟着全部倒下，实验成功。实验二：如图，课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距和实验1相同，但是第1块骨牌固定住了，无法推倒，自然其他骨牌也就没有倒下，实验失败。问题7：对比实验一和实验二，讨论实验失败的原因？结论：实验成功所需具备的第一个条件是：第1块骨牌必须倒下。………①实验三：如图，课件展示动画，在该实验中，某两块骨牌间距过大，而其它间距保持不变。老师用手推倒第1块骨牌，还是没有全部倒下，实验失败。问题8：对比实验一和实验三，讨论实验失败的原因？结论：若第块倒下，则第块也倒下。…………②问题10：若骨牌足够多，这两个条件能保证实验无限进行下去吗？为什么？设计意图：学生能否准确地回答“为什么”，是衡量其是否深刻理解其中蕴含的原理的关键。这一问题不能简单化，必须由学习者自己反思、体验、感受。学生讨论、叙述，教师总结：这个过程可用框图1表示。条件②条件②条件②条件②条件②第1块倒下第2块倒下第3块倒下框图1框图1问题11：你认为条件①的作用是什么？学生容易得到：起步作用，是必要条件，没有它后面摆得再好也没用。问题12：从框图1看，条件②起到关键作用，它的作用是什么？师生讨论，可以得到：传递作用。由前一块倒下可以推出后一块也会倒下。设计意图：通过三个不尽相同而又密切相关的实验，旨在引导学生从不同的角度，通过对比，感悟其中的数学原理。实现学生的思维由隐性到显性、由模糊到清晰、由片面到完整的逐步过渡。也为后来说明用数学归纳法证明数学问题时，为何两步缺一不可奠定了基础。（四）类比迁移，提炼两个条件教师指出：多米诺骨牌实验使我们看到方法的影子，但毕竟不能用来证明数学问题，需要抽出蕴含的原理，迁移到数学问题。迁移一：将骨牌实验换成数学问题，回到最初的例子。例：已知数列中，，。试求数列的通项公式？要证明猜想，即证明下面与正整数有关的无限多个等式成立：问题13：类比多米诺骨牌实验的思维过程，概括证明该猜想的步骤。设计意图：类比多米诺骨牌实验的结果去证明引例的猜想，是提炼得出数学归纳法基本原理的桥梁，是理解数学归纳法的两个步骤（特别是“归纳递推”的本质）的关键。帮助学生理解：“保证第1块倒下”的数学模型是“证明第1个等式成立”；“保证若第块倒下，能使第块也倒下”的数学模型是“证明若第个等式成立，能推出第个等式也成立”。等式全部成立一块骨牌等式全部成立一块骨牌一个等式骨牌全部倒下问题14：这两个步骤足以保证无限多个等式都成立吗？为什么？有了多米诺骨牌实验的铺垫，这里容易理解。仍可用如下框图2表示：框图2步骤②步骤框图2步骤②步骤②步骤②n=1成立n=1成立n=1成立迁移二：让学生就该数学问题进行具体尝试，能否做到这两步？证明：①我们已经验证第一个等式成立。②若第个等式成立，即，则：，可推出第个等式成立。事实告诉我们，这样的方法是可行的！我们并没有对所有情况进行一一验证，而是利用递推思想，完满实现了无限到有限的转化。（五）概括提炼，形成科学方法一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：①（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；②（归纳递推）若时命题成立，证明当时命题成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。这种证明方法就是数学归纳法（mathematicalinduction）。其中，步骤一是归纳递推的前提和基础，步骤二是实现无限到有限的桥梁和纽带，两者缺一不可！设计意图：从多米诺骨牌实验到数学归纳法原理，清晰地反映了生活问题——数学问题——数学形式化的发展轨迹。秉承在学生的“最近发展区”内设置问题的理念，学生经历了将生活语言转化为数学语言的过程，经历了将生活中蕴含的原理逐级抽象为数学原理的数学化过程。（六）反馈练习，巩固提高例：用数学归纳法证明：当时，．设计意图：使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的过程及表达规范。（七）课堂小结，布置作业小结：我们为什么要学习数学归纳法？我们是怎么探索的？数学归纳法的步骤是什么？它的核心思想是什么？作业：⒈上网搜索了解数学归纳法的发展史；⒉已知数列，计算，根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。设计意图：小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程；作业意在使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，进一步熟悉数学归纳法。2.3数学归纳法⒈猜想：2.3数学归纳法⒈猜想：例题讲演：⒉证明：无限有限类比多米诺骨牌3.数学归纳法附：本教学设计的创新之处⒈数学归