案例10 数系扩充：初识复数

【课题】数系扩充：初识复数【教材】人教版高中数学修选2—2第102页至105页【教学对象】高二年级学生【授课教师】华南师范大学沈源钦【指导教师】华南师范大学何小亚【教学目标】知识与技能（1）理解复数的概念；（2）掌握复数的代数表示；（3）了解复数的几何意义。过程与方法（1）经历由实数系扩充为复数系的过程，理解数系扩充的思想方法；（2）提高应用类比思想解决问题的能力。情感态度价值观（1）体会实际需要与数学内部（数的运算、方程求解）的矛盾在数系扩充中的作用和数系扩充的必要性；（2）感受人类理性思维的作用以及数学与现实世界的联系。【教学重点】1.复数的概念；2.复数系的扩充过程。【教学难点】复数概念的理解。【关键】运用类比方法。【学情分析】1.高二学生已经从自然数集学习到了实数集，但是缺乏从整体上重新审视数系发展的过程，不知道数系是如何扩充的。2.中学生对整个数系的学习过程，基本上与数学历史上数系的发展脉络相吻合，在学习过程中不可避免地会产生“负数平方根”的困惑，难以理解复数的本质，往往容易引起心理的疑惑和不安。【教学方法】讲授、启发。【教学手段】计算机、PPT。【教学过程设计】教学流程设计设计意图：设计意图：根据著名心理学家桑代克的试误学习理论中的“准备律”，运用此情境，结合历史教学，能够让学生在动机上做好准备，对所学内容产生兴趣，使学生在学习前处于对知识的“饥饿状态”，产生一个心理“缺口”，从而激发学生产生弥合心理缺口的学习动力。创设情景、引入新课创设情景、引入新课设计意图：还原数系扩充的历史发展过程，设计意图：还原数系扩充的历史发展过程，同时强调了引入复数的必要性。为数系的进一步扩充，即复数的引入提供借鉴，揭示类比学习的思想。探求新知设计意图：通过设计意图：通过理性“自由创造”复数，揭示数系扩充的思想方法。数学创造、形成概念设计意图：进一步揭示设计意图：进一步揭示复数的本质——几何意义，说明了复数存在于现实中，揭示了数学与现实世界的联系。设计意图：指出复数可以应用于实践领域，再次强化了复数引入和学习的必要性。剖析概念复数应用设计意图：1.设计意图：1.意在概括归纳复数的知识内容，以理性和理想相结合的思维看复数；2.揭示复数学习过程中所蕴含的类比思想和数学自由创造思想，同时增强学习的自信心。小结升华小结升华课后探究设计意图：课后探究设计意图：意在强化知识能力的迁移，培养学生的数学探究能力和数学创新意识。二、教学过程设计教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、创设情景，引入新课历史重现：《重要的艺术》提问、引导：这个看起来像数而不是我们之前所认识的数的形式，我们该怎么处理呢？是尝试去挖掘它背后更深的内涵还是将其撇在一边，埋葬在历史的尘埃中呢？教师与学，生一起动操作，并提出疑问学生动手操作，思考通过动手操作及提出疑问的情境创设，引发学生学习的兴趣，激发学生的求知欲，顺利引入新课。(二)历史回顾12世纪：印度婆什迦罗“一个正数的平方根是两重的，一个正数和一个负数，负数没有平方根，因为负数不是平方数。”1545年：意大利卡丹在一个一元三次方程的研究中，给出负数平方根的解时，但他表示这样的表达式是“虚构的”、“想象的”。18世纪：瑞士欧拉“一切形如的数学式，都是不可能有的，都是想象的数”，“它们既不是‘什么都不是’，也不比‘什么都不是’多些什么，更不比‘什么都不是’少什么。历史到了这里，数学家们依然束手无策！教师讲故事，将学生带入历史中学生听故事，思考通过历史的讲述，使学生身临其境，进一步“扩张”学生学习的心理缺口。二、探求新知（一）解构背景，寻找本源提问：显然这个东西已经超出了实数的范围，面对这样的结果，我们应该怎么去解决？引导：其实我们是有经验的，我们在历史上、在过去的学习上曾遇到相似的情况，或许通过回顾、类比过去，我们能够得到启发，找到解决问题的思想或方法。教师层层引导，并提出问题学生在教师引导下思考追根溯源，引导学生找寻产生负数平方根的本源，避免重走“探求负数平方根是什么数”的历史弯路，同时强调了引入复数的必要性。（二）解构数系，寻找突破引导：引入新元素，数集不断扩大，方程得到求解，受此启发，我们也可以尝试引入新元素。教师引导学生回顾数系的扩充过程学生回答，思考还原数系扩充的历史发展过程，为数系的进一步扩充，即复数的引入提供借鉴，揭示类比学习的思想。三、数学创造，形成概念（四）扩充数系，形成概念（历史上，复数一开始也叫做虚数，因为数学家们感觉它很“虚幻”，难以认识。）（五）完成数系扩充(图片展示)教师引导学生进行数学的自由创造，即复数的引入学生在教师的引导下进行复数的引入，体会数学创造的思想通过理性“自由创造”复数，揭示揭示数系扩充的思想方法。。四、剖析概念（一）我们刚才的数系扩充过程是一个理性思考的过程，历史上的数学家也是采用扩充数系的方法去定义复数。但是这是否仅仅是一种空洞的符号游戏？我们难免会产生这样的疑问：复数是否像实数一样，可以在现实世界中找到她的“影子”呢？寻找复数的几何解释教师小结引导学生在教师的引导下思考对刚刚学习的内容进行小结升华，揭示数学创造的理性思想，同时提出疑问，促使学生思考，自然进入“寻找复数的几何解释”。（二）寻找几何解释教师引导讲授学生在教师引导下找到复数的几何解释揭开复数的神秘面纱，解决学生对于复数的困惑；同时揭示了复数是存在于现实世界之中，完美表达平面上的点的本质。1.复数的引入和认识是一种理性的数学自由创造的过程！2.“数学的魅力在于，每个人都可以做数学创造的主人！”教师小结学生听讲强调了数学自由创造的理性价值，同时增强学生学习数学、做数学主人的自信心。五、复数应用（一）纯数学方面的应用：代数（比如方程）、向量、三角函数、几何、积分等等（二）生活或其他科学研究方面：系统分析、信号分析、量子力学、相对论、流体力学等等比如，俄国著名航空学家儒可夫斯基利用复数理论，对飞机机翼的形状作深入剖析，最终实现飞机可以在空中“翻跟斗”。儒可夫斯基教师讲授学生听讲了解复数应用于实践的价值，再次强化了复数引入和学习的必要性。六、小结升华1.复数的代数表示和几何意义。2.数系的每一次扩充，是基于实际需要和数学内部的矛盾，是传统思想的一次真正变革;扩充过程是漫长、曲折的，但是是有规律可循的，数学的历史为我们开启灵感之窗！（类比思想）3.复数的引入是“理性”与“理想”的结合。“理性”，因为每一步推演都合乎一定的逻辑和实际的需要。“理想”，因为每一步都是人自由创造的结果，每一步推演都极大促动了数学学科自我完善和发展。数学的魅力在于，每个人都可以做数学创造的主人！教师引导学生小结，并升华，揭示知识的内涵学生在老师的引导下内化所学内容以理性和理想相结合的思维看复数；揭示类比思想和数学自由创造思想，同时增强学习的自信心。七、课后探究在复平面中，点、之间的距离被定义为，并且对于平面上的任意一点，均有性质…………（*）我们知道，两点之间的直线距离最短，但在现实中，我们往往没有直线路径可走，请重新定义由点A到点Ｂ的距离，并研究在这一新的体系之下上述性质（*）是否还成立。意在强化知识能力的迁移，培养学生的数学探究能力和数学创新意识。【板书设计】数系扩充：初识复数一、引入三、应用四、小结二、概念五、作业