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微培优13导数中函数的构造问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026类型一结合导数运算法则构造抽象函数类型二结合数式的结构特征构造具体函数目录索引类型三根据等式中两变量的关系构造函数在导数应用中,以导数为工具解决大小比较、解不等式、求最值、求参数取值范围等问题,具有结构独特、综合性大、技巧性强等特点,而构造函数是解决这类问题的基本方法和关键环节,通过构造函数,借助导数这一强大的工具解决问题.类型一结合导数运算法则构造抽象函数例1

(1)(2025湖南岳阳模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,且f(2)=2,则f(ex)-ex>0的解集为(

)A.(-∞,ln2) B.(0,ln2)C.(ln2,+∞) D.(ln2,2)A

(2)(2025江苏无锡模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)+f'(x)<0,f(-1)=2e,则不等式f(x)ex>2的解集为(

)A.(-∞,2e) B.(-∞,-1)C.(-1,+∞) D.(2,+∞)B解析

构造函数F(x)=f(x)ex,则F'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,故F(x)在R上单调递减.又F(-1)=f(-1)e-1=2e·e-1=2,所以不等式f(x)ex>2即F(x)>F(-1),因此x<-1,即不等式f(x)ex>2的解集为(-∞,-1).故选B.

CD

规律方法常见形式的函数构造方法已知条件式可构造的函数xf'(x)+f(x)>0(或<0)F(x)=xf(x)xf'(x)-f(x)>0(或<0)xf'(x)+nf(x)>0(或<0)F(x)=xnf(x)xf'(x)-nf(x)>0(或<0)f'(x)+f(x)>0(或<0)F(x)=exf(x)f'(x)-f(x)>0(或<0)f'(x)+2f(x)>0(或<0)F(x)=e2xf(x)已知条件式可构造的函数f'(x)-2f(x)>0(或<0)f'(x)sin

x+f(x)cos

x>0F(x)=f(x)sin

xf'(x)sin

x-f(x)cos

x>0f'(x)cos

x+f(x)sin

x>0f'(x)cos

x-f(x)sin

x>0F(x)=f(x)cos

x【对点训练1】(1)(2025山东青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),则(

)A.f(1)>ef(0) B.f(1)<ef(0)C.ef(ln2)<2f(1) D.f(2)>ef(1)B

C

类型二结合数式的结构特征构造具体函数

B

D

D

C

类型三根据等式中两变量的关系构造函数例3

(1)(2025河北沧州模拟)若实数a,b满足2a-2b=5,则3a-b的最小值为

.

2log25+3log23-2

(2)(2025四川成都模拟)若正实数x,y满足

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