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真题解构函数与导数高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026

解题分析题意理解序号信息读取信息加工12f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点f(x)在区间(0,+∞)上先增再减或先减再增3f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的零点根据f(x)的单调性以及函数值的正负情况判断4g(t)=f(x1+t)-f(x1-t)思路探求

关键步骤思维要点思维缘由(第(1)问)确定f(x)的单调性f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减(第(1)问)证明有唯一零点存在唯一x2∈(0,+∞)使得f(x2)=0f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,f(0)=0,当x=x0时,f(x)>0,当x→+∞时,f(x)<0(第2(ⅰ)问)证明单调性g(t)在区间(0,x1)单调递减证明g'(t)<0在区间(0,x1)上恒成立(第2(ⅱ)问)比较并证明大小2x1>x2由g(t)在区间(0,x1)单调递减得0>f(2x1),再结合f(x2)=0和f(x)的单调性及函数值的情况可证

(ⅱ)解

2x1>x2.证明如下,由(ⅰ)知,g(x1)<g(0)=0,所以g(x1)=f(2x1)-f(0)<0,即f(2x1)<f(0)=0,(15分)又x2为f(x)的零点,所以f(x2)=0,所以f(2x1)<f(x2).由(1)知,f(x)在(x1,+∞)上单调递减,且x2>x1,所以2x1>x2.(17分)回顾反思利用导数研究函数的性质是高中数学的重点和热点,解决问题的关键是能熟练求导,并能通过导函数的特征判断函数的单调性、极值、最值等结论.本题先求导,再构造函数,通过函数的单调性以及特殊点函数值正负,证明极值点和零点的唯一;第(2)(ⅰ)证明函数单调递减也就是证明g'(t)<0在给定区间上恒成立;并由此结论结合f(x2)=0可证明(ⅱ).试题源于人A必一第155页7题,第156页13题,人A选必二第87页例3,第9

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