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微培优9圆锥曲线的切线与光学性质高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026类型一椭圆的切线与光学性质的应用类型二双曲线的切线与光学性质的应用目录索引类型三抛物线的切线与光学性质的应用1.圆锥曲线的光学性质(1)抛物线的光学性质:如图1所示,从抛物线的焦点F发出的光线,经过抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图2所示,设抛物线在点P处的切线l交抛物线对称轴于点Q,PM⊥l交对称轴于点M,则焦点F是QM的中点.图1图2

图3图4

图5图62.圆锥曲线的切线与法线的定义设直线t与曲线C交于P,Q两点,当直线t连续变动时,P,Q两点沿着曲线渐渐靠近,一直到P,Q重合为一点M,此时直线l称为曲线C在点M处的切线,过点M与直线l垂直的直线称为曲线C在点M处的法线.

4.圆锥曲线光学性质的证明证明圆锥曲线光学性质就是证明以下定理:定理1

椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分;定理2

双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分;定理3

抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于对称轴的直线的夹角被抛物线在点P处的法线平分.(如下图)

类型一椭圆的切线与光学性质的应用

D

(2)(2025上海四校高三下学期3月联考)光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图1,一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成,现一光线从左焦点F1发出,依次经Ω与Γ反射,又回到了点F1,历时0.003秒;若将装置中的Ω去掉,如图2,此光线从点F1发出,经Γ两次反射后又回到了点F1,历时t秒.已知Γ与Ω的离心率之比为2∶3,则t=

.

图1图20.018

类型二双曲线的切线与光学性质的应用

D

2

类型三抛物线的切线与光学性质的应用例3

(多选题)(2025安徽江南十校高三3月联考)已知抛物线E:y2=2px的焦点为F,从点F发出的光线经过抛物线上的点P(原点除外)反射,则反射光线平行于x轴.经过点F且垂直于x轴的直线交抛物线E于B,C两点,经过点P且垂直于x轴的直线交x轴于点Q,抛物线E在点P处的切线l与x轴、y轴分别交于点M,N,则(

)A.|PQ|2=|BF|·|QF|B.|PQ|2=|BC|·|OQ|C.|P

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