第4讲　空间中翻折、探究性问题

第4讲空间中翻折、探究性问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026基础自测思维引航考点进阶素养淬炼目录索引基础自测思维引航基础自测1.(人B选必一1.2.1节例题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断满足下列条件的点M,N是否存在:M∈AD1,N∈BD,MN⊥AD1,MN⊥BD.

2.(人B选必一1.2.5节例题)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N分别为A1B1,AD,CC1的中点,判断直线AC与平面EMN的关系.如果平行,求出AC与平面EMN之间的距离;如果不平行,说明理由.

思维引航1.探究性问题的解题思路先假设满足题意的点存在,并用字母表示其位置(坐标),在此假设下进行正确的推理,看是否有符合条件的解,以确定假设是否成立.2.建立坐标系,证明直线的方向向量与平面的一个法向量的数量积等于0可判断线面平行.把线面距离转化为点面距离,利用向量法求解.3.解翻折问题要注意两点:一是确定翻折前后变与不变的关系.一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面间的位置和数量关系不变;二是确定翻折过程中运动变化的点在翻折后的具体位置,以此为参照点解题.考点进阶素养淬炼考点一翻折问题例1

(2025全国2,17)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.【一题多解】(1)证明:A'B∥平面CD'F;(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.(1)证明

由题意知,EB∥FC,FC⊂平面CD'F,EB⊄平面CD'F,所以EB∥平面CD'F.又A'E∥D'F,D'F⊂平面CD'F,A'E⊄平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F.又A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F.又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.(2)解

因为AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,CD=2AD,EF∥AD,所以四边形AEFD为正方形且FD'=FC,所以EF⊥FC,EF⊥FD',又平面EFD'A'∩平面EFCD=EF,FD'⊂平面EFD'A',FC⊂平面EFCD,所以∠D'FC为平面EFD'A'与平面EFCD所成的二面角的平面角,所以∠D'FC=60°,所以△D'FC为等边三角形.

【对点训练1】(2025山东济宁模拟)如图所示,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别是各边的中点,现将△ADE,△BEF,△CDF分别沿DE,EF,DF折起,使得△ADE,△BEF,△CDF所在平面均与底面DEF垂直.(1)求证:平面ABC∥平面DEF;(2)求二面角C-DA-E的正弦值.(1)证明

因为△ABC为正三角形,且D,E,F分别是各边的中点,所以△ADE,△BEF,△CDF均为正三角形.分别取DE,EF,FD的中点A1,B1,C1,则AA1⊥DE,BB1⊥EF,CC1⊥DF,且AA1=BB1=CC1.又因为平面ADE⊥底面DEF,平面ADE∩底面DEF=DE,AA1⊂平面ADE,所以AA1⊥平面DEF.同理可得,BB1⊥平面DEF,所以AA1∥BB1,所以四边形AA1B1B为平行四边形,所以AB∥A1B1.因为AB⊄平面DEF,A1B1⊂平面DEF,所以AB∥平面DEF,同理可得CB∥平面DEF,又AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以平面ABC∥平面DEF.

考点二探究性问题

(1)证明

连接BM交AN于点E,连接HE,因为四边形ABNM为正方形,所以E为BM的中点.又H为线段BC的中点,所以EH∥MC.又EH⊂平面ANH,MC⊄平面ANH,所以MC∥平面ANH.因为平面ANH∩平面MNC=l,且MC⊂平面MNC,所以MC∥l.(2)解

存在.在正方形ABNM中,NB⊥AB.因为平面ABNM⊥平面ABCD,平面ABNM∩平面ABCD=AB,且NB⊂平面ABNM,所以NB⊥平面ABCD.又AD∥BC,AB⊥AD,所以AB⊥BC,则BA,BC,BN两两垂直.以B为原点,BA,BC,BN所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

【对点训练2】(2025湖北黄石高三模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M是AB的中点,N是B1C1的中点,P是BC1与B1C的交点.(1)证明:A1C⊥BC1.(2)求直线A1P与平面A1CM所成