平面向量数量积的坐标表示（第二课时）课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积的坐标表示（第二课时）复习回顾问题引领，深入思考1．公式a·b＝|a||b|cosθ与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？答：两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导；若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用a·b＝|a||b|cosθ求解，若已知两向量的坐标，则可选用a·b＝x1x2＋y1y2求解．问题引领，深入思考2．如何对比记忆平行与垂直的条件？答：已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若a∥b⇔x1y2＝x2y1；若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2.两个命题不能混淆，可以对比记忆，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．问题引领，深入思考3．对于任意的非零向量a＝(x，y)，如何用坐标表示与向量a同向的单位向量？问题引领，深入思考4．若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角，对吗？答：不对，当两向量同向共线时，cosθ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.题型一——数量积的坐标运算例

1已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．(1)求a·(a－b)；

【解析】(1)方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.题型一——数量积的坐标运算(2)求(a＋b)·(2a－b)；【解析】(2)∵a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)，2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.

(3)若c＝(2，1)，求(a·b)c.【解析】(3)(a·b)c＝[(－1，2)·(3，2)](2，1)＝(－1×3＋2×2)(2，1)＝(2，1)．总结利用坐标运算求数量积的方法：(1)先将各向量用坐标表示，再直接进行数量积运算．(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．巩固练习若a＝(2，3)，b＝(－4，3)，则向量a在向量b上的投影

向量的坐标为____________．题型二5题型二总结对于以平面几何图形为背景的数量积运算的问题，若平面几何图形有明显的能建立平面直角坐标系的条件，则建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算公式求数量积．巩固练习巩固练习巩固练习题型三——平面向量的模√

例

3

题型三——平面向量的模总结巩固练习√巩固练习

(2)已知a＝(2，1)，b＝(1，2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________．题型四——向量的夹角及垂直问题√

例

4

题型四——向量的夹角及垂直问题√题型四——向量的夹角及垂直问题题型四——向量的夹角及垂直问题(3)已知向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与b垂直，则λ＝(

)A．－1 B．1C．－2 D．2√【解析】∵λa－b＝λ(1，－3)－(4，－2)＝(λ－4，－3λ＋2)，λa－b与b垂直，∴(λa－b)·b＝4(λ－4)－2(－3λ＋2)＝0，解得λ＝2.故选D.总结巩固练习√巩固练习√巩固练习当堂检测1．若a＝(3，1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x＝(

)A．－3

B．－1C．1 D．3√解析∵a⊥b，∴a·b＝0，即3x－3＝0，∴x＝1.当堂检测2．已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是(

)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形√当堂检测3．若a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b等于(

)A．23 B．57C．63 D．83√解析3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.当堂检测4．【多选题】已知a，b为非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则下列命题中与a⊥b等价的为(

)A．a·b＝0 B．x1x2＋y1y2＝0C．|a＋b|＝|a－b| D．a2－b2＝(a－b)2√√√解析在C中，|a＋b|＝|a－b|⇔|a＋b|2＝|a－b|2⇔a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2⇔a·b＝0.在D中，a2－b2＝a2－