2020专升本初等数论考试核心题库及全题型答案详解

2020专升本初等数论考试核心题库及全题型答案详解

一、单项选择题（10题，每题2分，共20分）1.若整数a,b满足a|b，则以下说法正确的是（）A.b|aB.a|(-b)C.a=bD.b=02.下列哪个数是素数（）A.15B.21C.29D.333.设a=24,b=36，则gcd(a,b)=（）A.4B.6C.12D.184.同余式3x≡6mod9的解为（）A.x=2mod3B.x=3mod3C.x=3D.x=0mod35.欧拉函数φ(12)的值为（）A.4B.6C.8D.106.费马小定理指出：若p为素数，a为整数且p∤a，则（）A.a^p≡1modpB.a^{p-1}≡1modpC.a^{p}≡amodpD.a^{p+1}≡amodp7.不定方程2x+3y=11的正整数解有（）A.1组B.2组C.3组D.4组8.模5的完全剩余系包含的元素个数是（）A.3B.4C.5D.69.下列关于高斯函数[x]的说法错误的是（）A.[x+y]≤[x]+[y]B.[x]≤xC.[x]=[x+1]D.[x+2]=[x]+210.素数唯一分解定理的核心内容是（）A.任何合数都可分解为素数B.分解式中素数的指数唯一C.所有素数都可分解为1和自身D.1是唯一的单位元二、填空题（10题，每题2分，共20分）1.最小的正整数n使得n|12且n|18，则n=______2.20到40之间的素数有______（写出所有）3.计算gcd(15,21,35)=______4.模11的最小正完全剩余系为______5.φ(100)=______（欧拉函数值）6.方程5x+7y=43的非负整数解(x,y)=______7.100!中含有的因子2的个数为______（用勒让德公式计算）8.同余方程3x≡5mod14的解x=______9.素数分解2020=______10.高斯函数[√10]的值为______三、判断题（10题，每题2分，共20分，对的打√，错的打×）1.若a|b且b|c，则a|c（）2.1是素数（）3.两个不同素数的乘积一定是素数（）4.若a≡bmodm，则a²≡b²modm（）5.欧拉函数φ(n)对任意n>2都是偶数（）6.一次不定方程ax+by=c有解的充要条件是gcd(a,b)|c（）7.模m的简化剩余系中元素的个数为φ(m)（）8.同余式ax≡bmodm一定有解（）9.素数有无穷多个（）10.100以内的素数共有25个（）四、简答题（4题，每题5分，共20分）1.证明：若a,b为正整数，则gcd(a,b)=gcd(b,a-b)2.求不定方程12x+18y=30的所有正整数解3.简述中国剩余定理的内容并举例说明4.计算10^2020mod7的值，并说明计算依据五、讨论题（4题，每题5分，共20分）1.用反证法证明素数有无穷多个2.分析模12的简化剩余系及其元素个数3.说明高斯函数[x]在数论中的应用4.讨论一次不定方程ax+by=c有解的条件及解的结构答案与解析一、单项选择题1.B（由整除定义直接推导）2.C（29为素数，其余均为合数）3.C（gcd(24,36)=12）4.A（3x≡6mod9等价于x≡2mod3）5.A（φ(12)=φ(2²×3)=12×(1-1/2)(1-1/3)=4）6.B（费马小定理核心结论）7.B（解为(1,3),(4,1)）8.C（完全剩余系元素为0,1,2,3,4）9.C（[x+1]=[x]+1≠[x]）10.B（素数分解唯一性）二、填空题1.6（最小公倍数lcm(12,18)=36，此处应为最小公倍？题目有误，应为最小公倍数？原问题n|12且n|18，最小n=1，最大n=6，此处应修正为求最小公倍数？重新核对，原题“最小的正整数n使得n|12且n|18”应为最大公约数？不，题目表述错误，正确应为“最小的正整数n使得n|12且n|18”，n=1，显然不对。正确应为“最小的正整数n使得12|n且18|n”，即最小公倍数36。此处按正确逻辑修正填空题1答案为36）2.23,29,31（20-40素数：23,29,31,37）3.1（gcd(15,21,35)=1）4.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10（模11完全剩余系）5.40（φ(100)=φ(2²×5²)=100×1/2×4/5=40）6.(0,43/7非整数),(6,1),(-1,5)应为非负整数解：x=6,y=1；x=-1,y=5（舍去）；正确解为x=0,y=43/7(舍)，x=7,y=(43-35)/7=18/7(舍)，x=14,y负，正确解应为(6,1)7.97（勒让德公式：floor(100/2)+floor(100/4)+...+floor(100/64)=50+25+12+6+3+1=97）8.11（3x≡5mod14，3^{-1}=5，x=5×5=25≡11mod14）9.2²×5×101（2020=2²×5×101）10.3（√10≈3.16，[√10]=3）三、判断题1.√（整除的传递性）2.×（1不是素数）3.×（素数乘积为合数）4.√（平方差公式）5.√（φ(n)≥p-1≥2为偶数）6.√（一次不定方程解的充要条件）7.√（简化剩余系定义）8.×（需gcd(a,m)整除b）9.√（欧几里得反证法）10.√（100以内素数共25个）四、简答题1.证明：设d=gcd(a,b)，则d|a且d|b，故d|(a-b)，即d是b和a-b的公约数。反之，设d'=gcd(b,a-b)，则d'|b且d'|(a-b)，故d'|a，即d'是a和b的公约数。因此d=d'，即gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。2.解：方程12x+18y=30化简为2x+3y=5，正整数解：x=1,y=1（2+3=5），x=4,y=-1（舍），唯一解(1,1)。3.中国剩余定理：若m1,m2互素，则同余方程组x≡a1modm1,x≡a2modm2有唯一解modm1m2。例：解x≡1mod2,x≡2mod3，解为x=5mod6。4.计算10^2020mod7：10≡3mod7，3^6≡1mod7（费马小定理），2020=6×336+4，3^4=81≡4mod7，故10^2020≡4mod7。五、讨论题1.证明：假设素数有限，设为p1,p2,...,pn，构造N=p1p2...pn+1，N>1，若N为素数则与假设矛盾；若N为合数，则其有素因子pi，故pi|N且pi|N-1，矛盾，故素数无穷多。2.模12简化剩余系：与12互素的数1,5,7,11，共4个元素，个数φ(12)=4，满足φ(12)=12×(1-1/2)(1-1/3)=4。3.高斯函数应用：1.计算阶乘中素因子个数