山东青岛第五十八中学2026届高三第二次模拟考试数学试题（含答案）

绝密★启用前2026年青岛五十八中高三第二次模拟考试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x∣−3<A.{−1,4}B.{−2.已知向量a,b满足a+b=A.-2B.-1C.0D.13.已知复数z满足iz=1−2i(A.2B.3C.2D.54.设sinα2+cosα2A.32B.12C.15.在等比数列an中，a1+a2=−16，A.-24B.-8C.8D.246.设函数fx,gx的定义域为R,且fx是奇函数,A.fxgx是偶函数B.C.fxgx是奇函数D.7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为A.相离B.相交C.相切D.不确定8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,mm>0为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b modA.2018B.2020C.2022D.2024二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”。为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为:9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的()A.众数为12B.平均数为14C.中位数为14.5D.第85百分位数为1610.已知函数fx=sinxA.fxB.存在t∈R,使得y=fxC.fx在区间π3D.fx的最大值为11.已知椭圆x24+y2=1的左右焦点分别为F1,F2，上下顶点分别为A.P,QC.P,Q三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1+x5+1−13.已知O为坐标原点,点F为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点,点A,14.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2正三角形，E,F分别是PA,四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，E(1)证明:AC⊥(2)求二面角A−E16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求角A；(2)若b=2，求△17.已知函数fx(1)若a=2，求fx在(2)若函数gx=fx−fπ2+x18.设O为坐标原点,抛物线C1:y2=2x与C2:y2=2pxp>0的焦点分别为F1,F2,F1为线段OF2的中点.点A1(1)求曲线C2(2)设直线A1B1的方程为y=2x−(3)若直线A1A2与B1B2的斜率之积为19.有n张编号分别为1到n的卡片,横向随机排列.对于这n张卡片,初始状态下卡片标号从左到右为A1,A2,…An,记此时的卡片排列为A1,A2,…An.对这n张卡片的排列进行如下三步操作:1.取出最左边的卡片，记其标号为k；2.剩余卡片中，标号小于k的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为L1,L2,…Lk−1(1)若初始排列为3,5(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到1,2(3)记初始排列中有Bn个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到1,2,⋯,n的顺序排列,当n1.D由A∩故选:D.2.B向量a,b满足所以a2故选:B3.D由z=1−2i故选:D4.D∵sin∴sin故选:D.5.A设等比数列an的公比为q因为a1所以a1+a1q6.C易知选项ABCD中的函数定义域即为R;因为fx是奇函数,gx是偶函数,所以对于A,f−xg−x=−fxg对于B,f−xg−x=−fx对于C,f−xg−x=−fxg对于D,f−xg−x=−fxgx=7.B据题意,双曲线的离心率为52,即ca=52又因为c2=a2+b2,所以b2a圆M:4x2+4y2−点Fc,0到渐近线的距离又因为c5<12c,所以双曲线C的渐近线与圆M8.Da=所以a除以9的余数是8,选项中只有2024除以9余8.故选:D9.BC成绩从小到大排列为:8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.A:出现次数最多的数为16,故A错误;B:平均数=1108+C:中位数为:13+162=D:第85百分位数为第10×0.85=8.5,即第9位,为故选:BC.10.AC由于fx+2π=sinx+2π+sin2x+4π=sinx+sin2x=fx函数fx=sinx+sin2xf所以fx假设y=fx图象关于x=t所以ft−x=f所以f4t+x=−f2t+x=fx,又所以fπ但f−所以f−x≠fπ+x,矛盾,所以y=因为f′x=cosx+当x∈π3,3π函数y=4t2+t若−22<t<所以当x∈π3,3π故fx在区间π4,2π3因为fx≤2,当且仅当但当sinx=1,即x=π2+2kπk∈故选:AC.11.ACD由椭圆x24+y2=1,可得对于A,由c>b,则以F1F2为直径的圆与椭圆有4对于B,以B1,B2为直径的圆与椭圆仅有两个交点,所以对于C,设圆的方程为x2将B10,1,F1−3则圆的方程为x2设Px0,y0,则Q两式相加,可得x02+y0联立方程组,可得x0又因为x02+4y02=4将其代入x02=2−3即2−3D7D2对于D,设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为y=因为P,Q关于原点对称,则PQ中垂线的方程为因为A1−2,0,B10联立方程组y=kxx2+4y2=因为P,Q关于原点对称,不等式xP=2联立方程组y=−2x−32y=−1k若O′B=O′可得−32k1−即4−2k1−2k=4k2+44k所以当PQ的斜率为−12,可得此时P,Q,A1,故选:ACD.12.101+x5的展开式的通项公式为1−x5的展开式的通项公式为令r=4,则1+x5的展开式中x1−x5的展开式中x2故1+x5+1−x故答案为:10.13.5由椭圆的对称性可知,AB垂直于x轴,又OA⊥OB,所以所以△AOF为等腰直角三角形，故Ac所以c2a2+c所以a2c2+a解得e2=3−52故e=3−514.6在△PAC中，设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC因为点E,点F分别是PA,AB的中点,所以在△PAC中，cosθ=4x2+4−4整理得x2因为△ABC是边长为2的正三角形，所以CF=又因为∠CEF=90∘，所以x2+y2=3所以PA=又因为△ABC是边长为2的正三角形,所以PA2+P所以PA,PB则球O为以PA为棱的正方体的外接球,则外接球直径为d=所以球O的体积为V=故答案为6π15.(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥所以CC又由题可知,AC⊥CC1,BC且CC所以AC⊥平面BC又因为C1E⊂平面BCC1(2)以C为坐标原点，CA,CB,CC1由AC⊥BC,AB=则有A3设平面AEC1的一个方向量为所以AE⋅m=0AC1⋅m=0,即所以m=因为AC⊥平面BCC1B1,所以CA=所以，cos<m,即二面角A−EC1−16.1(2)2(1)在△ABC中有AC即bc⋅cos因为bc⋅cosA=−13ac⋅cosB同理−1由正弦定理可得−13sinCcos在△ABC中有tan解得tanA由0<A<π(2)△ABC面积S=12bcsinA，代入由(1)知tanB=13,tan△ABC中,由正弦定理可得bsinB=c所以S=17.(1)当a=2时,则f′令f′x=0,得x=π6或因此,当x变化时,fx,f′x的变化情况如下表所示:所以当x=π2x0ππππ5π5πf-0+0-0+f单调递减单调递增单调递减单调递增(2)g=−==当x∈0,π时,由gx=0,得其中sinx+cosx=2当a<−2或a>22时,方程sinx+cosx=当a=22时,方程gx=0只有一解为x当2≤a<22时,方程sinx+cosx=a当−2≤a<2时,方程sinx+cosx=a综上,当a<−2或a≥22当2≤a<22当−2≤a<218.1(2)1(3)3√2(1)抛物线C1:y2=由F1为线段OF2的中点,可得所以曲线C2的方程为y(2)设A1x1,y1,A2x2,y2,B1x3,y3,因为A2B2=2因为x2=y224,x4所以y2=4,x2=y224=4(3)因为A1x1,y1,因为A2B2=因为x1所以y4由y4−y2=由y4+y2=因为x1=y122,x2=y22所以△OA1B1所以S四边形A1A2B2B1所以y1x1⋅y3x3=−设A1B1:x=my+n,联立y所以y1y3=−2n=−2,所以n=1,则A则S△当且仅当y1=2y1,即y1=2时取等号,所以S四边形19.(1)第一次完整操作:初始排列为3,5,2,可得标号小于k的卡片L1标号大于k的卡片R重新排列得到新排列2,第二次完整操作:最左边的卡片标号k=可得标号小于k的卡片L1标号大于k的卡片R1重新排列得到新排列1,连续经过两次完整操作后得到的新排列1,(2)要使初始排列经过一次完整操作后恰好能得到1,2L=1,2,⋯,k−1,即原排列中小于R=k+1,k+2,⋯,n首元素为k时,剩余n−1个位置由已经各自内部有序的L和R确定L中元素的位置可确定整个排列,共有Cn−又因为k可以取遍1,2所以满足条件的初始排列总数为k=又因为n个元素的全排列总数为n!所以初始排列经过一次完整操作后恰好能得