山东省潍坊市青州第一中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含答案）

高三普通部下学期开学考试一数学一、单选题1.若复数z满足1+iz=i,则zA.-1B.1C.-iD.i2.已知集合U={−2,−1,A.{−2,3}B.{−3.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a5与a7是方程x()A.41B.42C.43D.444.已知sinα−π6+cosA.−725B.725C.5.已知向量a,b满足a=b，且b在a−A.1B.2C.3D.26.双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2A.3916B.394C.167.已知函数fx的定义域为0,+∞,且x+yfx+A.a<bC.a<c8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2A.1+2B.1+3二、多选题9.下列说法中正确的有()A.若a>b>0B.若a>b>0C.若1<a<3D.若a<0,ab10.已知抛物线C:y=14x2的焦点为FA.C的准线方程为yB.直线y=x−1与C.若M0,4，则PMD.若M3,5，则△11.如图圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O1，O2为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径A.球与圆柱的体积之比为2:3B.四面体CDEF的体积的取值范围为(C.平面DEF截得球的截面面积最小值为4πD.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点,则PE+PF的取值范围为三、填空题12.在2x3+1x613.某流水线上生产的一批零件,其规格指标X可以看作一个随机变量,且X∼对于X≥100的零件即为不合格,不合格零件出现的概率为0.05,现从这批零件中随机抽取500个,用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间96,100的个数,则随机变量14.已知a>0,若∀x>0,不等式eax四、解答题15.已知数列an的首项a1=1,前n(1)求数列an(2)设bn=log3an+1,求数列an16.如图,四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD,AB=AD=12CD=2,E是CD的中点,O是BD与AE(1)证明:BC⊥平面POB(2)若PO⊥平面ABCE，求二面角A−17.为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动.已知学农基地前10个月的利润数据如下表,月份用x表示,t=sinx,利润用y(单位:万元)表示,已知y与x的经验回归方程为x12345678910y4.6834.8193.2821.4861.0822.4414.3144.9793.8241.912t0.8410.9090.141-0.757-0.959-0.2790.6570.9890.412-0.544(1)求a,b的值(结果精确到1)(2)某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长,设被选出的组长构成集合M,集合M中元素的个数记为随机变量X.(i)求X的分布列及数学期望;(ii)规定:进行多轮选择,每轮出现X=3记为A,出现X≠3记为B,先出现AB为甲胜,先出现AA为乙胜.记P1表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”,P2表示“第一轮为B参考数据:i=参考公式:对于一组数据x1,y1,x2,y18.如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为42(I)求椭圆和双曲线的标准方程;(II)设直线PF1、PF2的斜率分别为(III)是否存在常数λ,使得AB+CD=λAB⋅CD恒成立?若存在,求19.若函数fx=λlnxλ(1)当λ=1时，求函数fx与(2)求a的最小值；(3)求证:当x>0时，1.B因为1+iz=i,所以z=i−1i=i2.A由题意可得:A∪B={−1,0,3.D由于a5与a7是方程x2−8x即a5+a7=因此S11故选:D4.Bsinα所以32所以sinαcos故选:B.5.D因为b在a−b上的投影向量为单位向量,所以所以b⋅a−ba设b⋅a=m,两边平方得m−n22=令m−n2=x,则x2=−2x当x=0时,这时m=n2,此时a=当x=−2时,即此时a−故选:D.6.D如图,设P点在y轴右侧,则PF因为PF所以PF因为点P在以F1F所以△PF1F2即54c+a2所以离心率e=故选:D7.A由x+y令x=y=12,代入可得f令x=y=1,代入可得2f2令x=1,y=2,代入可得由e≈2.71828⋯可得显然可得a<故选:A8.A因为1tanA+1tan即sinA整理可得sinA即sinA在三角形中sinA即sinC=cosC,C由余弦定理可得c2=b2+a而c=所以ab≤所以S△即该三角形的面积的最大值为1+故选:A.9.ABD对于A选项,因为a>b>0,由不等式的基本性质可得−ac>−bd,则ac<对于B选项，因为a>b>0，不等式的两边同时除以ab可得因为c<0,由不等式的基本性质可得c对于C选项,因为1<a<3,−由不等式的基本性质可得1<a对于D选项，因为a<0，ab>a2，由不等式的基本性质可得b<a<0，则故选:ABD.10.BCD解:抛物线C:y=14x2,即x2=4y,所以焦点坐标为由y=14x2y=x−1,即x2−4x+4=0设点Px,y,所以所以PMmin=23,故如图过点P作PN⊥准线,交于点N所以C△当且仅当M、P、N三点共线时取等号,故故选:BCD11.AD对于A,球的体积为V=4πr33=32π3,圆柱的体积对于B,设d为点E到平面BCD的距离,0<d≤r,而平面BCD经过线段EF的中点O1,四面体CDEF的体积VC−DEF=2VE−O1DC=23S△O1DC⋅d=又DO1=r2+2r2=25，于是OH=25，设截面圆的半径为r1，球心又r1=r2−d12=4−d12对于D,令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q,连接QE,当Q与E,F都不重合时,设∠QFE=θ,则QF=4cosθ,QE=因此QF=则PE+令t=1+4sin2θ+1+4cos2θ,则t2=6+25+4sin22θ故选:AD12.1602x3+1x令18−4r=6所以x6的系数是2故答案为:160.13.45由正态分布的性质得质量指标在区间96,100的概率为1−2×0.05=0.9,即1故DY故答案为:4514.[令fx=eax−令gx=eax−1−1ax∴fx在区间0,1a∴f令ha=1+lna−1a,易知又h1故答案为:[15.(1)an(2)Tn(1)由题意得a两式相减得an因为a所以,an+所以数列an是首项为1,公比为3所以an(2)bn=所以anT====3所以数列an+bn的前n项和Tn16.(1)如图,连接BE.∵AB=12CD,E为又∵AB//DE且AB=AD，∴四边形ABED∴AE⊥OB,AE⊥OP,又与四边形ABED为菱形同理,可知四边形ABCE为菱形,∴AE//BC,∴BC(2)由(1)可知△DAE即△PAE是边长为2的等边三角形，又PO⊥平面所以OA,OB,OP两两互相垂直,以以OA,OB,OP所在直线分别为已知AB=AD则O0,0,0,A1,∴PA设平面PAB的一个法向量为m=则PA⋅m=x−设平面PBC的一个法向量为n=则PC⋅n=−2a+∴cos⟨m故二面角A−PB−C17.(1)由已知公式得i=所以b=所以a=(2)(i)由题意知，X的可能取值为2,3,4，PPP其分布列为X234P1353E当第一轮为A时,若第二轮为B,则甲胜;若第二轮为A,则乙胜,所以P1当第一轮为B时,若第二轮为A,则最终甲胜的概率为25P1,若第二轮为B,则最终甲胜的概率为所以P2=25P故甲胜的概率P=18.(I)椭圆的标准方程为x28+y24=1;双曲线的标准方程为x24−y(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知:ca2a+2c=42又a2=b2+c2,因此由题意设等轴双曲线的标准方程为x2m2−y2m2=(2)设Ax1,y1因为点P在双曲线x2−y2=因此k1⋅k2=(3)由于PF1的方程为y=k1x+2显然2k12+1≠0，显然所以AB=1同理可得CD=则1AB又k1所以1AB故AB+因此存在λ=328,使考点:本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系点评:对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解;而对于最值问题,则可将该表达式用直线斜率k表示,然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计