16.1.2 幂的乘方与积的乘方（培优教学课件）数学人教版2024八年级上册 -

16.1幂的运算16.1.2幂的乘方与积的乘方第十六章整式乘法

人教版2024·八年级上册学

习

目

标1231、经历幂的乘方的性质的探索过程,理解幂的乘方的意义,发展学生合情推理的意识．经历积的乘方的性质的探索过程,进一步体会幂的意义,培养学生用数学的思维发展推理能力和有条理的表达能力．会进行幂的乘方与积的乘方的计算,能利用幂的运算性质解决简单问题,培养学生思维的灵活性．能综合运用幂的运算性质进行幂的运算,强化学生的计算能力和综合运用能力．知识回顾还记得同底数幂的乘法法则吗？

am·

an=am+n(m、n为正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加。(1)－a2·（－a）3＝________；(2)－10m×10n＝________；(3)(－3)7×(－3)6＝________；(4)a·a2·a3＝________；练一练a5－10m+n(－3)13a61.填空2.计算:(1)3²×312

－311×27(3)(m-1)²·(m-1)³+(m-1)4·(1-m).（2）(－x)³·x5－x・x³·(－x)4;解:(1)原式＝=314

－3143²×312

－311×33=0(2)原式＝－x8－x8=－2x8(3)原式=(m-1)5+(m-1)4·[－（m-1）]=(m-1)5－(m-1)5=0导入新课一个正方体的棱长是10²

mm,你能计算出它的体积吗?正方体的体积V＝棱长的立方如果将这个正方体的棱长扩大为原来的10倍,那么这个正方体的体积又是多少呢？是原来的多少倍?棱长为10²

mm的正方体的体积为:

V＝(10²

)³

mm３如果棱长扩大为原来的10倍,即棱长变:10²×10=10³

mm正方的体积变为：

V′＝(103

)³

mm３(10²

)³

与

(103

)³能不能进一步将其化为更简单呢10²的三次方103的三次方(3²)³=

=3（）(32)3=___×___×___

=3（

）+（

）+（

）=3（

）×（

）

=3（

）

新知探究探究点1认识幂的乘方议一议（1）根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空(a²)³=

=a

（）(am)³=

=a（）a²×a²×a²am×am×am

663m323232222236同底数幂的乘法乘方的意义乘法的意义3²×3²×3²同理可得（2）观察计算结果，你能发现什么规律?新知探究探究点1认识幂的乘方议一议(am)n=_____.amn(3²)³=36=32×3

(a²)³=a6=a2×3(am)³=a3m=am×3底数是幂的形式的乘方结果幂的底数不变，指数相乘幂的乘方幂的乘方，底数

，指数

．不变相乘猜想探究点2幂的乘方法则新知探究证一证(am)nn个m证明：

幂的乘方法则幂的乘方,底数不变,指数相乘

底数不变指数相乘归一归（3）你能推导一下(am)n的结果吗？请试一试

例1计算：(3)(am)2；(1)(103)5；(2)(a4)4；(4)–(x4)3.解：(1)(103)5=103×5=1015(2)(a4)4(3)(am)2(4)–(x4)3=a4×4=a16=am×2=–x4×3=

–x12=a2m典例分析探究点2幂的乘方法则典例分析探究点2幂的乘方法则例2

比较–(x4)3

、–(x3)4、(–x4)3、(–x3)4的结果一样吗？

–(x4)3

=－x12–(x3)4=－x12

(–x4)3

=

–x4×3

=–x12(–x3)4=

x3×4=x12括号外有“-”不影响结果(–am)n

=amn，n为偶数

–amn，n为奇数

探究点3积的乘方法则新知探究边长为2a的正方形能分成几个边长a的正方形？棱长边长为2a的正方体能分成几个棱长a的小正方体2a(2a)2a2aa3(2a)32aa4=8=议一议(2a)38a3(2a)24a2底数是积的形式的乘方(2a)3(2a)2探究点3积的乘方法则新知探究议一议（1）下列两题有什么特点？底数为两个因式乘积的形式

积的乘方（2）填空，下面的运算过程用到哪些运算律?运算结果有什么规律?

乘方的意义乘法的交换律和结合律乘方的意义猜想:(ab)n

=

(当m、n都是正整数)

探究点3积的乘方法则新知探究证一证

(ab)n

=

(当m、n都是正整数)即:（乘方的意义）（乘法结合律）（乘方的意义）an·bn(ab)n

=

ab·ab·……·ab=(a·a·……·a)(b·b·……·b)=an·bnn个abn个an个b

(ab)n

=(n都是正整数)an·bn探究点3积的乘方法则新知探究归一归积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.(ab)n

=anbn

(n是正整数)积的乘方法则运算种类公式法则中运算计算结果底数指数同底数幂乘法幂的乘方积的乘方幂的运算am·an=am+n(am)n＝amn(ab)n=anbn乘法乘方乘方不变不变底数分别乘方指数相加指数相乘指数不变探究点3积的乘方法则典例分析

例3计算：=(–2)4·(x3)·y4=x2·(y2)2=(–5)3·b3=23·a3（1）(2a)3；（2）(–5b)3；（3）(xy2)2；（4）(–2x3y)4.解：（1）(2a)3（2）(–5b)3（3）(xy2)2（4）(–2x3y)4=16x12y4=x2y4=–125b3=8a3方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．典例分析

例4计算：(1)[(24)3]3;（2）(－2a2b)3•（ab）3解：(1)原式=[24×3]3积的乘方

(abc)n=anbncn推广幂的乘方[(am)n]p=(amn)p=amnp当m、n、p都是正整数解：(2)原式=（－2）3a2×3b3•（a3b3）=24×3×3=236=－8a6b3•（a3b3）=－8a6+3b3+3=－8a9b6同底指数加，里外指数乘典例分析(2)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；

例5

计算(1)–4xy2·(xy2)2·(–2x2)3；

(3)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.（2）原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9；(3)原式＝a6b12－a6b12

＝0.解：(1)原式=–4xy2·x2y4·(–8x6)=[–4×(–8)]x1+2+6y2+4=32x9y6;

＝0拓展提升1.已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解：∵2x＋5y－3＝0，

∴2x＋5y＝3，∵4x=（

22）x

∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.＝22x32y=（

25）y

＝22y统一化为底数为2的乘方的形式拓展提升2.在255，344，433，522，这四个幂的数值中，最大的一个是_______344255344433522=（25）11=（34）11=（43）11=（52）11统一化为指数为11的幂，底数越大，幂越大=3211=8111=6411=2511∵25＜32＜64＜81∴2511＜3211＜6411＜8111巩固练习教材P101练习1.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（3）(–2a)2

=–4a2.

（1）(a5)2=a7；（2）(ab2)3

=ab6；=a10=a3b6=4a2（1）(a5)2=a5×2（2）(ab2)3

=a1×3b2×3（3）(–2a)2

=（–2）2a2幂的乘方，底数不变指数相乘积的乘方，积中各因式分别乘方，不能漏乘负数的偶次方幂为正数巩固练习教材P101练习2.计算：（1）(103)3；

（2）(x3)2；解：原式=109解：原式

=x6解：原式

=–x5m解：原式

=a6·a5（3）-(xm)5；

（4）(a2)3·a5.=a11巩固练习教材P101练习3.计算：（1）(ab)4；

（2）(–3×102)3；解：（1）原式=a4b4（2）原式=(–3)3×(102)3=–9×106（4）原式=(2ab2)4=16a4b8

真题感知1.（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算

解：

(ab)n=anbn

anbn=(ab)n

真题感知

B

真题感知

(2)∵L(a,m)=y-2，

L(a,n)=3y-6，

L(a,mn)=2y+2

4±6

∴

∴2y+2=4y-8，

解得，y=5.课堂小结幂的运算幂的乘方积的乘方同底数幂的乘法运用运用利用性质计算利用性质计算文字表述:幂的乘方，底数不变，指数相乘性质字母表示：(am)n=amn（m，n都是正整数）文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘性质字母表示::(ab)n=anbn（n都是正整数）课后练习教材P1014.计算：（1）x·x3+x2·x2；

（2）(–3pq)3；解：（1）原式=x4+x4（2）原式=(–3)3

·p3·q3（3）原式=–(–2)4·(a2)4·b4（4）原式=a8

+

a8+

4a8（3）–(–2a2b)4；（4）a3·a4·a+(a2)4+(–2a4)2.=6a8=2x4=–27p3q3=–16a8b4课后练习教材P1015.计算：（1）(x2)3·x2–(x4)2；=x6·x2–x8（2）7x2·x5·(–x)5+5(x4)3.=x8–x8=–7x12+5x12=–2x12解：（1）原式解：（2）原式=0课后练习教材P1016.计算：（1）[(–2a2b3)3]2；（2）(–2xy2)6+(–3x2y4)3

.=(–8a6b9)2=64a12b18=64x6y12

–27x6y12

=37x6y12解：（1）原式解：（2）原式课后练习教材P1028.（1）已知2m=a，32n=b，求23m+10n；（2）已知

x+2y–7=0(x，y是正整数)，求2x·4y

的值.∵32n=b∴25n=b∵23m+10n

=23m·210n∴23m+10n