2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题07 统计与概率（复习讲义）（原卷版）

专题07统计与概率目录01析·考情目标02筑·专题框架03攻·重难考点TOC\o"1-1"\n\h\z\u考点一统计与概率的热考题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）真题动向题型1统计图表信息提取题型2统计量的计算与分析题型3用样本估计总体题型4统计结论辨析与说理题型5简单事件概率计算题型6两步/多步概率计算题型7概率与统计综合题型8游戏公平性与概率应用题型9概率中的“放回”与“不放回”问题必备知识知识1数据的收集知识2平均数、中位数、众数、方差知识3频数与频率知识4统计图/表的分析知识5概率的计算命题预测考点二统计与概率的创新题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）真题动向题型1情境化概率建模题型2统计与概率的阅读理解命题预测命题透视1）从命题形式上看，呈现出“新材料、新情境、新问题”的特点，载体形式上多以统计图表、生活场景、跨学科素材为主，凸显对数据分析、数学建模、逻辑推理核心素养的考查，渗透应用意识与数据观念，培养用数据说话的理性思维。2）从命题内容上看，统计图表信息提取与补全、统计量的计算与决策分析、用样本估计总体、两步试验概率计算、概率与统计综合应用是历年中考命题的核心区域，同时逐步增加情境化概率建模、统计结论辨析与说理类创新设问。热考角度考点2025年2024年2023年统计图表信息提取①广东・T7.条形图与扇形图结合求频数；②北京・T12.折线图数据分析与趋势判断①江苏・T9.频数分布直方图补全与计算；②浙江・T10.扇形图圆心角与百分比计算①湖南・T8.条形图与表格综合提取数据；②四川・T11.折线图与中位数计算统计量的计算与分析①山东・T10.平均数、中位数、众数辨析；②河南・T13.方差意义与稳定性判断①安徽・T8.众数与中位数计算；②福建・T12.方差与数据决策①广西・T9.平均数与方差的实际应用；②江西・T10.统计量选择与说理用样本估计总体①天津・T15.抽样调查估计总体数量；②湖北・T17.频率估计概率与总体推断①河北・T14.样本平均数估计总体；②山西・T16.合格率估算与决策①陕西・T13.样本频率估计总体；②贵州・T15.抽样合理性分析简单事件概率计算①上海・T6.几何概型（面积型）计算；②重庆・T9.摸球古典概型①辽宁・T7.转盘概率计算；②内蒙古・T8.抽卡片一步概率①云南・T7.掷骰子概率；②黑龙江・T8.摸球不放回简单概率两步试验概率计算①浙江・T17.两次摸球（不放回）树状图计算；②广东・T20.游戏公平性判断①四川・T16.两次掷骰子列表法求概率；②安徽・T19.两步试验概率与决策①江苏・T17.两次抽卡片概率；②山东・T18.游戏公平性分析概率与统计综合①北京・T23.统计图表求频率→估计概率→方案设计；②江苏・T24.数据统计与概率建模①湖南・T22.统计量计算与概率综合；②广东・T23.抽样数据与概率应用①河南・T21.统计图表与概率结合；②浙江・T22.数据推断与概率计算情境化创新题型①福建・T18.体育赛事场景概率建模；②深圳・T19.环保抽样统计与概率①武汉・T17.交通出行统计与概率；②长沙・T18.传统文化背景统计题①成都・T17.防疫抽样统计；②西安・T18.生活场景概率应用命题预测统计与概率命题将以生活、社会热点为情境，结合各类统计图表考查，侧重数据分析、逻辑推理素养，弱化纯计算、强化数据推断与实际决策。基础题聚焦图表信息提取、简单概率计算、统计量辨析，中档题核心考查两步/多步概率（区分放回与不放回）、统计概率综合，常考补全图表、游戏公平性分析、样本估计总体。设问多向开放性、探究性延伸，解答题注重“读数据—算概率—做推断—说理决策”的完整思维考查，选择填空以基础中档为主，整体难度适中但对应用能力要求更高。考点一统计与概率热考题型题型一统计图表信息提取1）若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比，则选择扇形统计图；2）若要清楚地反映数据的变化过程和趋势，则选择折线统计图；3）若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据，则选择条形统计图.1．（2025·甘肃·中考真题）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（

）A．2022年，人均纸质书籍阅读量为5本B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升2．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．根据以上信息，下列选项错误的是（

）A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比3．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（

）星期一二三四五六日最高气温/℃25252830333029A． B．C． D．4．（2025·上海·中考真题）为了解乘客到达高铁站后离开的方式．某地开展问卷调查，共收到有效答复2000张，调查结果如图所示．如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出租车离开的人数大约为_____．题型二统计量的计算与分析1）求一组数据的平均数、中位数、众数，要严格按照定义进行计算，特别是求中位数时，要注意数据的个数是奇数还是偶数.一组数据的平均数、中位数只有一个，而众数可能不止一个.2）利用方差的定义公式进行计算.5．（2025·江苏盐城·中考真题）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（

）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数6．（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（

）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差7．（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：书籍本数23456人数22231下列关于书籍本数的描述正确的是（

）A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是18．（2025·山东烟台·中考真题）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（

）A．的值是5B．该组数据的平均数是7C．该组数据的众数是6D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小9．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下：甲：，，，，；乙：，，，，．甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）．10．（2025·四川遂宁·中考真题）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表：项目应聘者甲乙丙学历经验能力态度公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则______将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）题型三用样本估计总体总体中某组的数量=总体数量×样本中该组所占的百分比(或频率).11．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（

）A．3000 B．4000 C．6000 D．6000012．（2025·湖南长沙·中考真题）为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体名学生中，随机调查了名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有______名．13．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：等级低体重正常超重肥胖人数675154根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______．14．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：组别分数频数百分比第1组第2组10第3组15第4组40第5组【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：(1)，；请将频数分布直方图补充完整；(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第组的分数段内；(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数．15．（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：平均数中位数方差七年级95八年级92.5根据以上信息，解答下列问题：(1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．题型四统计结论辨析与说理16．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．第1次测试第2次测试第3次测试甲×××乙×注：×表示犯规．将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”，及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．(1)补全条形统计图；(2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？17．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）．(1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果．①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”）②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势．(2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图．①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号）②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视．18．（2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94．数据扇形统计图

数据统计表分数段等次人数AB6C6DE2(1)扇形统计图中，统计表中；(2)这20个数据的众数为，中位数为；(3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有人；(4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议．19．（2025·江苏无锡·中考真题）2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：请根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查的样本容量为___________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）(2)若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；(3)根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议．20．（2025·宁夏·中考真题）宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是___________．A．依次抽取100株B．随机抽取100株C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：甲样本的频数分布表频数745152013乙样本的频数分布直方图注：每组含最小值，不含最大值．根据以上信息，解答问题：（1）甲样本中组的频率是_________；（2）补全乙样本的频数分布直方图．【分析与应用】（1）填表：样本平均数（kg）中位数出现的组别方差甲5.73乙15.744.85（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为）（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数；（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．题型五简单事件概率计算利用概率公式求解问题时首先要找出所有可能的情况数n，然后找出满足条件的情况数m，最后利用概率公式求解答案.21．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（

）A． B． C． D．22．（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（

）A． B． C． D．23．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（

）A． B． C． D．24．（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．425．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（

）A． B． C． D．26．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．(1)求t的值；(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．题型六两步/多步概率计算当事件经过两步完成时，既可以用列表法，也可以用画树状图法列出所有等可能的结果；当事件经过三步及以上完成时，列表法就不太方便了，通常用画树状图法，这样不容易漏掉或重复.27．（2025·甘肃兰州·中考真题）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（

）A． B． C． D．28．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________．29．（2025·山西·中考真题）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________．30．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________．31．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．题型七概率与统计综合概率与统计和人们的生活关系紧密，在生产和生活等各个方面都有广泛的应用.对于统计图表中的概率问题，关键是能从各种统计图表中获得相关的信息与数据，再根据所获得的信息与数据进行概率的计算.32．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下．（一）收集与整理农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．（二）描述与分析城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：统计量平均数中位数众数方差农村84a86c城区8486b118.6根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出表格中a、b、c的值，________，__________，________；（三）迁移与应用（2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议．33．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．组别成绩/分频数（人数）11023354255根据以上信息，解答下列问题：(1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度；(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．34．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．调查问卷年

月在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(

)(单选)A．玩偶

B．冰箱贴

C．创意摆件

D．手机挂件【数据的收集与整理】数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶(1)本次抽样调查的样本容量是________；(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；【做出合理估计】(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？【解决概率问题】(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．35．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：A：；B：；C：；D：；E：现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息，解答下列问题：(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．题型八游戏公平性与概率应用1）判评游戏是否公平的原则：游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平.2）游戏规则的修改：对于任何一个游戏，修改它的规则方法不一定是唯一的，但需遵循公平的原则，如若两人参与游戏，且必须有人胜出，则两人获胜的概率需均为1236．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．37．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．38．（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜．(1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______；(2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平．39．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2024年4月25日20时58分57秒神舟十八号载人飞船成功发射，这不仅是神舟十八号载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了我们大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希胜；若差为正数，则小辰胜．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止．）(1)小希转动一次A盘，指针指向数字5的概率是___________；(2)这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．题型九概率中的“放回”与“不放回”问题对于“放回”和“不放回”的题目，易错点在于不知道如何判断是“放回”还是“不放回”，只要判断正确，然后结合树状图等方法就能迎刃而解：如，过红绿灯、选择直行、左、右转弯等，就属于放回这类问题，他们有共同特征就是每一次都有同样多的选择；从几个人里选两个人参加活动、一次性选择两个物品等，属于不放回问题，他们的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一种情况，特别注意同时抽取，也是表示抽出来不放回．做题时，一定要看清每次选择后的下一步选择是都有同样多的选择还是少了一种选择，以正确判断是“放回”还是“不放回”．40．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．(1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________；(2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）41．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．42．（2025·江苏连云港·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率．43．（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______；(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．知识1数据的收集1.普查与抽样调查概念优缺点举例普查考察全体对象的调查叫做全面调查.优点：收集到的数据全面、准确.

缺点：一般花费多、工作量大，耗时长.1）检测“神舟十六号”飞船的零部件.2）了解全班50名同学每天体育锻炼的时间.抽样调查只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫做抽样调查.优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时.

缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度.1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等.2）调查某批中性笔的使用寿命.3）了解全国中学生的视力和用眼卫生情况.2.总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样分类概念注意事项举例总体要考察的全体对象称为总体考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体.对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么:总体指的是___________________；个体指的是___________________；样本指的是___________________；样本容量是___________________；.个体组成总体中的每一个考察对象总体包含每一个个体，所有的个体组成总体样本被抽取的个体组成一个样本样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体.样本容量样本中个体的数目称为样本容量样本容量是一个数字，不带单位.

知识2平均数、中位数、众数、方差分类定义特点/意义应用平均数算术平均数：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，则这n个数的平均数为，记作“”，读作“x拔”.反映一组数据的平均水平，容易受到极端值的影响根据两组数据的平均数评价、比较两组数据的整体水平.加权平均数：若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，w中位数一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.反映一组数据的“中等水平”判断某个数据在某组数据中所处的位置，比中位数大,位于前50%；比中位数小,位于后50%.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.反映一组数据的“多数水平”，只与数据出现的次数有关常与“最受欢迎”“最满意”“最佳”有关.方差设有n个数据x1，x2，…，xn，各个数据与平均数x的差的平方分别是x1−x2，x2−方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.在平均数相同的情况下,比较两组数据的稳定性.知识3频数与频率频数：某组数据出现的次数称为这组数据的频数，各组的频数之和等于数据总数.频率：频数与数据总数的比值（或者百分百）称为这组数据的频率，即.知识4统计图/表的分析类型图示特点扇形统计图1）各百分比之和为1；2）扇形圆心角的度数=该部分所占百分比×360°；3）特点：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.条形统计图1）能清楚地表示出各部分的具体数目；2）各部分数量之和等于抽样数据总数(样本容量).折线统计图1）能清楚地反映事物的变化情况.频数分布表1）各组频率之和等于1频数分布直方图1）能清晰、直观地显示各组频数的分布情况及数据的整体状况；2）各组频数之和等于抽样数据总数(样本容量).知识5概率的计算【总结版】概率的计算1.计算概率的公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即.2.列举法求概率1）列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.2）列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法.3）画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法不重不漏地列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算.3.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p.1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）甲、乙两名运动员六次射击测试的成绩（单位：环）如表所示，如果两人测试成绩的中位数相同，那么“？”表示的是（）甲的成绩678899乙的成绩596？910A．6 B．7 C．8 D．92．（2026·河北张家口·一模）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（

）A． B． C． D．3．（2026·安徽·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（

）A． B． C． D．无法确定4．（2026·河南周口·一模）中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张，则这两张卡片相同的概率是（）A． B． C． D．5．（2026·山西长治·一模）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（

）A．旅客上飞机前的安检B．了解全班同学每周体育锻炼的时间C．对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查D．了解某批次灯泡的使用寿命情况6．（2026·河北沧州·一模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（

）A． B． C． D．7．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（

）A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率8．（2026·四川泸州·一模）从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（

）A． B． C． D．9．（2026·安徽阜阳·一模）某机械零件要求承受的压力为，同时承受的压强要大于．现生产出四个机械零件的表面受力面积分别为，则从中随机同时选取两个零件，两个零件都合格的概率是______．10．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____．11．（2026·湖北·模拟预测）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是_____12．（2025·上海·二模）为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个．类别动点问题二次函数相似三角形翻折旋转问题认为较难人数13．（2026·陕西宝鸡·一模）我国航天事业不断刷新纪录，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．明明和亮亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“碧空天链”、“太空家园”等模块．他们决定每人都从这四个模块中随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为、、、．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个模块的可能性均相同）(1)明明恰好选择“飞天英雄”进行学习的概率是___________；(2)用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择不同模块的概率．14（25-26六年级上·山东东营·期末）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表：组别ABCD成绩（x/分）人数（人）根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：(1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图．(2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度；(3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条．15．（2026·安徽·模拟预测）“一分钟跳绳”是H市中考体育考试选考项目，某校为了解九年级男生“一分钟跳绳”训练状况，随机抽取了60名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下：．成绩频数分布表：成绩（个）频数817123．成绩在这组的数据是（单位：个）：170170170170171172172173173174174174根据以上信息，回答下列问题：(1)___________，这次测试成绩的中位数是___________个；(2)小明的“一分钟跳绳”测试成绩为172个，这60名九年级男生的平均成绩为个．所以小强评价说：“小明的成绩低于平均成绩，在抽取的60名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高．”你认同小强的说法吗？请说明理由．考点二统计与概率创新题型题型一情境化概率建模1．（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．2．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院．(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；(2)求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率．3．（2024·宁夏·中考真题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件．(1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？(2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？4．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．5．（2025·上海杨浦·模拟预测）数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容：①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联．②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们：（）假设事件A与事件B无关联（）列表（如表1）（）根据公式计算卡方值（）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，）（）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小事件A发生事件A不发生总计事件B发生ab事件B不发生cd总计n其中表1不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121b283患慢性气管炎者cd总计134339表2(1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2）①估算样本中患有慢性支气管炎的频率②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？(2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点．题型二统计与概率的阅读理解6．（2025·云南楚雄·模拟预测）在国务院印发的《新一代人工智能发展规划》（以下简称《规划》）中，提出了面向2030年我国新一代人工智能发展的指导思想、战略目标、重点任务和保障措施，部署构筑我国人工智能发展的先发优势，加快建设创新型国家和世界科技强国．人工智能（AI）在教育中的应用主要包括：（A）智能教学系统；（B）个性化学习内容的推荐；（C）自动批改作业；（D）虚拟实验室．将以上四种应用分别书写在材质、大小完全相同的四张卡片上，背面朝上后洗匀．(1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到（A）智能教学系统的卡片的概率为______．(2)从四张卡片中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用画树状图法或列表法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．7．（2025·山东潍坊·中考真题）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．【数据收集】试验田玉米株高（cm）对照田玉米株高（cm）56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56．41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．【数据整理】把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）组别类型ABCDE试验田玉米株频数4815112对照田玉米株频数756148（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．【数据描述】根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．（2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）【数据分析】对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：统计量中位数众数平均数方差试验田49.55149.7315.10对照田525250.2840.05（4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．8．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：根据以上信息，回答下列问题：(1)甲队员成绩的众数为环，乙队员成绩的中位数为环；(2)你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？（填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是（填“平均数”“众数”或“中位数”）；(3)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可）9．（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：b．丙运动员10次测试成绩：12.4

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12.8

12.9

12.9c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：甲乙丙丁平均数12.512.5p12.5中位数m12.512.812.45方差0.056n0.0340.056(1)表中m的值为_______；(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．10．（2025·山东烟台·中考真题）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．②乙社团的平均成绩为（分）．③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：根据以上信息，解决下列问题：(1)将条形统计图补充完整；(2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；(3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．11．（2024·四川德阳·中考真题）2024年中国龙舟公