北师大版八年级下学期数学各章节知识点总结+考试试题以及答案

第一章：三角形的证明及其应用知识点（1）三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。（2）定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。（3）全等三角形的对应边相等，对应角相等。。（4）外角定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角。（5）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。。（6）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。。（7）多边形的内角和定理：180°·（n－2）。（8）多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角；在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和。（9）多边形的外角和定理：360°。（10）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。（11）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合。。（12）等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角等于60°。（13）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。（14）三个角都相等的三角形是等边三角形。（15）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。（16）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（17）直角三角形的两个锐角互余。（18）有两个角互余的三角形是直角三角形。（19）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（20）如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（21）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果其中一个命题称为原命题，那么另一个命题称为逆命题。（22）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）。（23）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.（24）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（25）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.（26）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（27）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（28）三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。第二章：不等式与不等式组（1）用符号“＞”、“≥”、“＜”或“≤”连接的式子叫做不等式。（2）在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。（3）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。（4）求不等式解集的过程叫作解不等式。（5）不等式两边同时加（或减）同一个代数式，不等式的方向不变。（6）不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等式的方向不变。（7）不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。（8）不等式两边同时乘0，不等式变等式。（9）不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。（10）解一元一次不等式的方法：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化1.（11）关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组。（12）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集；求不等式组解集的过程，叫作解不等式组。（13）不等式组的解集满足：同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间。第三章：图形的平移与旋转（1）在平面内，（2）一个图形和它经过平移所得图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。（3）坐标系中一个点坐标的平移遵循：左减右加（x的变化）、上加下减（y的变化）。（4）在平面内，将一个图形绕一个顶点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小。（5）一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。（6）旋转中注重旋转角和对应顶点与旋转中心组成等腰三角形；旋转中心的找法：作两条对应顶点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心。（7）如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫作它们的对称中心。（8）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。（9）把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这两个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。第四章因式分解（1）把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变化叫作因式分解，也叫分解因式。（2）分解因式的注意事项：①等式左边是多项式；②等式右边是整式的乘积。（3）如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。（4）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号。（5）（a+b）=+（b+a）；（a－b）=－（b－a）；（－a－b）=－（a+b）；（a+b）2=（b+a）2；（a－b）2=（b－a）2。（6）判断能用平方差公式的方法：多项式是两项，化成平方且两项是异号。（7）a2－b2=（a+b）（a－b）。（8）判断用完全平方式的方法：多项式是三项，且其中化成平方的两项是同号，且该两项乘积的两倍等于第三项。（10）提公因式的一般步骤：①提取公因式；②用公式法。第五章：分式与分式方程（1）一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示为AB的形式，如果B中含有字母，那么称AB为分式（2）对于分式AB：①有意义，B≠0；②无意义，B=0；③分式为0，A=0，且B≠0（3）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。（4）把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。（5）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。（6）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。（7）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。（8）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程称分式的通分。（9）异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公共分母。（10）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。注意：不管分式的乘除还是加减，都记的要约分，化成最简分式或整式。（11）分母中含有未知数的方程叫分式方程。（12）若方程的解使原分式方程的分母为零，把这样的解叫做原方程的增根，此方程无解。注意：解分式方程不能忘了检验。第六章：平行四边形知识点（1）两组对边平分平行的四边形是平行四边形。（2）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，但平行四边形不是轴对称图形。（3）平行四边形的对边相等。（4）平行四边形的对角相等。（5）平行四边形的对角线互相平分。（6）一组对边平行，一组对边不平行的四边形叫作梯形，平行的两边称为梯形的底，通常较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底，不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。（7）等腰梯形的面积=12（8）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形。（9）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（10）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（11）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（12）对角线互相平分的四边形是平行四边形。（13）如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离叫做平行线之间的距离。（14）连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。（15）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（16）任何一个三角形都有三条中位线，任何一个四边形中点的连线一定是平行四边形.练习题专题精练1三角形的证明及其应用1.若一个三角形的三个内角度数的比为1∶2∶3,则这个三角形是 ()A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.等腰三角形2.如图,D是△ABC的边BC上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=70°,∠BAC=80°,则∠C=__________°.3.图①是一个正十二面体,它的每个面都是正五边形,图②是其表面展开图,则∠α为_________度.4.如图,在△ABC中,AC=BC,点D和点E分别在AB和AC上,且DE=AE,过点A作DE的平行线MN,若∠C=40°,则∠BAN的度数为 () A.40°

B.45°

C.55°

D.70°5.如图,∠AOB=30°,点D是边OA上一点,在射线OB上取一点C,当△OCD是等腰三角形时,∠OCD的度数为________________.6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过点D作DE∥AC,交AB于点E,连接BD,若∠EBD=∠EDB,求证:AB=2DE.7.如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点,当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为________.8.如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,CD=3,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求证:△CDE为等边三角形.(2)求EF的长.9.如图,在△ABC中,∠C=60°,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,交AD于点F.若AF=DF,EF=1,则BE的长为 () A.53 

B.43 

C.5

D.410.如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧;再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接CD并延长交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是________.11.如图,点A,B在直线m上,点P,H在直线n上,m⊥n于点O,连接AP,BP,AH,BH,AP=BP,若AH=11,则BH的长为

 () A.11

B.10

C.9

D.812.如图,在△ABC中,∠A=60°,点D是BC边的中点,DE⊥BC交AC于点E,∠ABC的平分线BF交DE于点P,连接PC.若∠ACP=24°,则∠ABP=_________°.13.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC=_________°.14.如图,AD为△ABC的中线,BE平分∠ABC,BE交AD于点E,过点E作EN⊥AB于点N,EM为△BED的高.(1)若∠BED=40°,∠BAD=25°,求∠ABD的度数.(2)若AB=16,BD=8,△ABC的面积为64,求ME的长.15.学习了角平分线和尺规作图后,小红进行了拓展性研究,她发现了角平分线的另一种作法,并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴,请根据她的想法与思路,完成以下作图和填空.第一步:构造角平分线.小红在∠AOB的边OA上任取一点E,并过点E作了OA的垂线(如图).请你利用尺规作图,在OB边上截取OF=OE,过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P,作射线OP,OP即为∠AOB的平分线(不写作法,保留作图痕迹).第二步:证明OP平分∠AOB.证明:∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠OEP=∠OFP=90°.在Rt△OEP和Rt△OFP中,∴Rt△OEP≌Rt△OFP(HL),∴_______,∴OP平分∠AOB.专题精练2不等式与不等式组1.若m>-1,则下列各式中错误的是 ()A.3m>-3

B.3-m<4C.m+1>0

D.-2m<-22.在数轴上表示不等式7x-4≤9x的解集,正确的是 ()3.不等式3x-1>2(x－23)A.-1

B.0

C.1

D.24.解不等式5x+12+1≥2x5.端午节是我国四大传统节日之一,有赛龙舟、吃粽子等民俗活动.某超市购进咸味粽和甜味粽共80盒,已知咸味粽每盒利润为10元,甜味粽每盒利润为15元.若购进的粽子全部销售完,所得总利润不低于1050元,则最多能购进咸味粽 ()A.30盒

B.40盒

C.25盒

D.35盒6.为了满足生物实验考试需求,学校决定购买一批显微镜和光照培养箱.经市场调查,显微镜的价格为880元/台,光照培养箱的价格为600元/台.学校准备采购这两种器材共15台,且总费用不超过12000元,则最多可购买多少台显微镜?7.关于x的不等式组2x－8.解不等式组:29.如图,一次函数y1=k1x+b的图象经过点A(-3,4)和点B(-5,0),正比例函数y2=k2x的图象经过点A,则关于x的不等式组0<k1x+b<k2x的解集是 ()A.-4<x<3B.0<x<3C.-5<x<-3D.-4<x<-2专题精练3图形的平移与旋转1.下列图形中,可以由一个三角形通过平移得到的是 ()2.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(2,-2),将线段AB平移得到线段CD,点A的对应点C的坐标为(3,5),则点B的对应点D的坐标为 ()A.(7,-2)

B.(2,3)C.(2,-7)

D.(-3,-2)3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',点B,C的对应点分别为B',C',B'C'的延长线与边BC相交于点D,连接CC'.若AC=4,CD=3,则线段CC'的长为 ()A.125 

B.165 

C.4

D.4.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(1,-3),C(3,-4).(1)将△ABC向上平移5个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标.(2)画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.5.下列汽车电子控制装置显示的图案中,是中心对称图形的为 ()6.图①、图②、图③均是2×2的正方形网格.每个小正方形的顶点称为格点,点O和△ABC的顶点A,B,C均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作图,保留作图痕迹.(1)在图①中,△ABC的边AB与网格线交于点M,画出△ADC,使△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称,并确定点M的对称点M'.(2)在图②中画出△AEC,使△AEC与△ABC关于点O成中心对称.(3)在图③中,点N在网格线上,且不在格点上,在线段BC上确定点F,使CF=AN.专题精练4因式分解、分式与分式方程1.下列从左到右的变形中,属于因式分解的是 ()A.x2-12x+36=(x-6)2B.x2-4=(x+4)(x-4)C.x(x-y)=x2-xyD.x2-y2+1=(x+y)(x-y)+12.因式分解.(1)a3-2a2+a.

(2)xy(x-y)-x(y-x)2.(3)25(x-2y)2-4(2y-x)2.3.李雷同学因式分解(x+y)2+2(x+y)+1时,遇到了困难,老师提醒说:“把‘x+y’看作一个整体,就能用公式法分解……”.(1)请用公式法因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1=_______.(2)若正方形ABCD的面积为(m2-m)(m2-m+4)+4,m为整数,试说明这个正方形边长为偶数.4.分式x2A.x=-5

B.x≠-5

C.x=5

D.x≠55.根据分式的基本性质,分式－1A.1－a－2 

B.1a6.计算:(1)a+31－a÷a2+3aa7.先化简,再求值:aa－b÷a8.解方程:(1)1x－2=x－1x－9.小吉和小林从同一地点出发跑800米,小吉的平均速度是小林的1.25倍,结果小吉比小林少用40秒到达终点.求小林跑步的平均速度.专题精练5平行四边形1.四边形ABCD的部分数据如图所示,则∠α的度数为 ()A.35°

B.32°

C.28°

D.25°2.如图所示的是小明用两个含45°角的全等的直角三角形拼成的平行四边形,若BC=2,则BD的长为()A.2 

B.22 C.25 

D.5 3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,过点D,A分别作AC,BC的平行线交于点E,连接AD,设AC=m,AD=n,当AE·BD为定值时,无论m,n的值如何变化,下列代数式的值不变的是 () A.mn

B.m2-n2C.m2+n2

D.m+n4.如图所示,P是面积为S的▱ABCD内任意一点,如果△PAD的面积为S1,△PBC的面积为S2,那么S1+S2=________.(用含S的代数式表示)5如图,在▱ABCD中,AD=16cm,点P在边AD上以3cm/s的速度从点A出发在AD上往返运动,点Q在边CB上以1cm/s的速度从点C向点B运动,P,Q两点同时出发,当点Q到达点B时停止运动(点P同时也停止运动),设运动时间为t(t>0)秒,连接PQ,若四边形PDCQ是平行四边形,则t的值是____________.6.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,延长CD至点E,使DE=CD,连接AE.(1)求证:四边形ABDE是平行四边形.(2)若AC平分∠BAE,AC=8,AE=6,求平行四边形ABDE的面积.7.如图,在△ABC中,AC=BC,DE为△ABC的中位线,连接CD.若∠B=68°,则∠EDC的度数为()A.20°

B.22C.32°

D.34°8.如图,在锐角△ABC中,∠BAC=30°,分别以AB和AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,F,G分别为DB和BC的中点.当AC=6,AB=8时,FG=________.答案专题精练1三角形的证明及其应用1.B2.653.364.D5.30°或75°或120°6.证明∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,∵DE∥AC,∴∠ADE=∠CAD,∴∠ADE=∠BAD,∴AE=DE,∵∠EBD=∠EDB,

∴EB=ED,∴AB=AE+BE=2DE.7.38.解析

(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,∴∠DEC=60°,∴△EDC是等边三角形.（2）∵∠DEF=90°,∠EDC=60°,∴∠F=30°,又∵DE=CD=3,∴DF=2DE=6,∴EF=DF29.C10.311.A12.3213.12514.解析

(1)∵∠BED=40°,∠BAD=25°,∴∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABD=2∠ABE=30°.(2)∵AD为△ABC的中线,△ABC的面积为64,∴△ABD的面积为32,∵BE平分∠ABC,EN⊥AB,EM为△BED的高,∴NE=ME,∵S△ABD=S△ABE+S△BDE=32,∴12AB·NE+1∵AB=16,BD=8,NE=ME,∴12×16ME+12×8ME=32,解得ME=15.解析如图所示:证明∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠OEP=∠OFP=90°.在Rt△OEP和Rt△OFP中,OP=OP∴Rt△OEP≌Rt△OFP(HL),∴∠POE=∠POF,∴OP平分∠AOB.专题精练2不等式与不等式组1.D2.B3.B4.解析去分母,得3(5x+1)+6≥2(2x-1),去括号,得15x+3+6≥4x-2,移项,得15x-4x≥-2-3-6,合并同类项,得11x≥-11,系数化为1,得x≥-1.将解集表示在数轴上,如图所示.5.A6.解析设购买x台显微镜,则购买(15-x)台光照培养箱,根据题意得880x+600(15-x)≤12000,解得x≤757∵x为整数,∴x的最大值为10.答:最多可购买10台显微镜.7.-2≤a<-1

8.解析

2（解不等式①,得x>-3,解不等式②,得x<1,∴原不等式组的解集为-3<x<1.9.C专题精练3图形的平移与旋转1.A2.B3.D4.解析

(1)如图,△A1B1C1即为所求.由图可得,点C1的坐标为(4,1).(2)如图,△A2B2C2即为所求.由图可得,点C2的坐标为(-1,4).5.B6.解析

(1)如图①,△ADC和点M'即为所求. 

 (2)如图②,△AEC即为所求.(3)如图③,点F即为所求.专题精练4因式分解、分式与分式方程1.A2.解析

(1)a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2.(2)xy(x-y)-x(y-x)2=xy(x-y)-x(x-y)2=x(x-y)(y-x+y)=x(x-y)(2y-