江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三上学期阶段测试(一)数学试题（解析版）

第1页/共1页高三阶段性测试（一）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别解集合,再用集合的交集运算即可得出答案【详解】集合,解得,,即,解得,故,所以故选：C2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定判断各选项.【详解】，”的否定为，.故选：C.3.已知复数，（为虚数单位），在复平面上对应的点分别为A，B，C.若四边形为平行四边形（O为复平面的坐标原点），则复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据四边形为平行四边形列方程，由此求得.【详解】设，则，依题意，由于四边形是平行四边形，所以，所以.故选：A4.设，均为锐角，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解.【详解】因为，均为锐角，所以，.当时，，由函数上单调递增，所以，故“”是“”的充分条件.当时，由，，则，所以，因为函数在上单调递增，所以，即，故“”是“”的必要条件.综上所述，“”是“”的充分必要条件.故选：C.5.南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布.该小区的甲乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别为（）A.①､① B.①､② C.②､① D.②､②【答案】C【解析】【分析】分别算出两条路线的，，然后比较即可.【详解】由正态分布的区间概率知，，令路线①所需时间，路线②所需时间对于甲：有分钟可走，走第一条路线：故，走第二条路线：则，所以，所以应选择路线②；对于乙：有分钟可走，走第二条路线：走第一条路线：则，所以，所以选择路线①.故选：C6.若函数的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合复合函数的单调性及二次函数的性质对进行分类讨论，再由分段函数的性质可求．【详解】若时，当时，单调递增，此时；当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，若函数值域为，则需，解得；若时，当时，单调递减，此时；当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，若时，当时，；当时，，上单调递增，在上单调递减，此时，所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，综上的取值范围为，故选：B.7.设常数使方程在区间上恰有五个解，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，作出函数在上的图像，判断方程在区间上恰有五个解的条件，解方程.【详解】作出函数在上的图像:由图像可知，在区间上恰有五个解，只有时才能成立，由，解得：，，，，，故选：C8.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令得，利用导数研究的图像，由函数有三个零点可知，若令，则可知方程的一根必在内，另一根或或上，分类讨论即可求解.【详解】由得，令，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，则的图像如图所示：即函数的最大值为，令，则，由二次函数的图像可知，二次方程的一根必在内，另一根或或上，当时，，则另一根，不满足题意，当时，a＝0，则另一根，不满足题意，当时，由二次函数的图像可知，解得，则实数的取值范围是，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由不等式的性质判断.【详解】∵，则，，∴，即，A正确；例如，，，，，显然，B错误；由得，，∴，即，C正确；易知，，，，∴，D正确；故选：ACD．10.已知与均为单位向量，其夹角为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据向量数量积公式得到，由得到，B正确；计算，得到，A正确；根据向量数量积运算法则得到，结合，从而得到，C错误；利用数量积得到，根据，求出，进而得到，计算出，判断出D选项.【详解】，其中，因为，所以，B正确；且，所以，A正确；，因为，所以，故C错误；，当，，所以，故，所以，D正确.故选：ABD11.已知定义在上的奇函数图象连续不断，且满足，则下列结论正确的是（）A.函数的周期T＝2 B.C.在上有4个零点 D.是函数图象的一个对称中心【答案】ABD【解析】【分析】首先判断函数的周期，再根据函数的周期和奇函数的性质，计算特殊值，并结合中心对称的性质，判断选项.【详解】A.因为函数满足，所以函数是周期函数，周期，故A正确；B.因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，又函数是周期为2的函数，所以，所以，，，所以，故B正确；C.根据周期可知，且，所以函数区间上至少有5个零点，故C错误；D.因为函数周期为2的奇函数，所以，且，所以，所以函数关于点对称，故D正确.故选：ABD12.已知数列，的项数均为k（k为确定的正整数，），若，，则（）A. B.中可以有项为1C.可能是以为公比的等比数列 D.可能是以2为公比的等比数列【答案】AC【解析】【分析】利用求出数列，再根据的取值判断即可.【详解】由题意可得①，②，①-②得，同理可得，对于A，，，所以，故A正确；对于B，，，所以，，故B错误；对于C、D，，所以当时，是以为公比的等比数列，故C正确，D错误；故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______【答案】12【解析】【详解】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15-x)人，只喜爱乒乓球的有(10-x)人,(15-x)+(10-x)+x+8=30解得x=3,所以15-x=12故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12人.14.已知函数，不论为何值，曲线均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是_________．【答案】【解析】【分析】求出导函数，求出与无关的导数值，可得切点与斜率，从而可得切线方程.【详解】由，得，则，这两个值均与无关，所以不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，此时切点为，所以切线方程为，故答案为：15.若，，且，则的最小值为______.【答案】【解析】【详解】试题分析：由可得，即，所以（当且仅当时取等号），即的最小值为.考点：基本不等式及灵活运用.【易错点晴】本题重在考查基本不等式的灵活运用.解答时先将条件进行合理变形得到，再依据该等式中变量的关系，解出用来表示，从而将欲求代数式中的两个变量消去一个，得到只含的代数式，然后运用基本不等式使其获解.这里要强调的是“一正、二定、三相等”是基本不等式的运用情境，也是学会运用基本不等式的精髓，这是运用好基本不等式的关键之所在.16.写出一个同时满足下列三个性质的函数______.①是奇函数；②在单调递增；③有且仅有3个零点.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证单调递增即可写出解析式.【详解】由是奇函数，不妨取，且函数图象关于原点对称；又有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，若保证在单调递增，显然满足.故答案为：（答案不唯一）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【答案】(1)(2)时，元【解析】【详解】(1)根据题意，200≥3000，即5x－14－≥0.又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y元，则y＝·100＝9×104，故x＝6时，ymax＝457500元．18.已知在中,角,,的对边为,,向量,,且.(1)求角的大小.(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先根据两向量互相垂直等价于二者的数量积等于0，可得到关于的方程，求解，即可得出结果；(2)先表示出的表达式，再由正弦和余弦定理将角的关系转化为边的关系后，代入即得出结果.【详解】解:(1)由得,即；整理得，解得(舍)或因为,所以；(2)因为，由正弦定理和余弦定理可得,,,，代入上式得，又因为，故，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形，以及向量垂直的坐标表示，熟记正弦定理与余弦定理，以及向量垂直的坐标表示即可，属于常考题型.19.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．（1）求等差数列的通项公式；（2）若成等比数列，求数列的前项和【答案】（1），或.（2）【解析】【详解】考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算．（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得，或.故，或.（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.故记数列的前项和为.当时，；当时，；当时，.当时，满足此式.综上，【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.20.如图，直三棱柱中，，，，为的中点，为上一点，且（1）当时，求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论；（2）设，根据线面角的向量求法可构造方程求得，进而得到.【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，当时，，，又，，，，，，，，，，又，平面，平面.（2）设，则，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，，又直线与平面所成的角为，，解得：，为上靠近的三等分点，，即.21.若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间.（1）是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间.【答案】（1）存在，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据“正函数”的定义以及函数的单调性将问题转化为“方程在区间内有实数解”，利用构造函数法来求得的取值范围.（2）根据“不等式的解集”求得的可能取值，再结合“等域区间”的定义求得正确答案.【小问1详解】因为函数是上的减函数，所以当时，，即两式相减得，即，代入得，由，且得，故关于a的方程在区间内有实数解，记，则，解得.【小问2详解】由不等式的解集恰为，且为二次函数，得，且.所以，①，②将代入①，，整理得.又，a，，从而或.所以或当时，，当时，，所以不是的等域区间.当时，，.当时，，所以不是的等域区间.【点睛】函数中的新定义问题，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，以不变应万变才是制胜法宝.22.设函数（其中常数，且）.（1）若常数，当时，解关于x的方程；（2）若函数在上存在最小值，且最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围.【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）分成，两种情况并结合指对运算得出结果；（2）分成以及三种情况求函数的最小值得出结果.【小问1详解】.（i）当时，.因为，由，得，（ii）当时，.由得，