河南省南阳市2026届高三下学期一模考试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省南阳市2026届高三下学期一模考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x∈N−x2A．0,3 B．−1,3 2．样本数据151，177，209，210，218，223，252，281的75%分位数是（

）A．223 B．237 C．237.5 D．2523．已知函数fx=cosxsinx−A．T=π，I=−1,1 B．T=π，I=4．已知向量a，b满足a=1，b=1,1，a−A．−12,−12 B．−5．今天是2026年3月19日星期四，再过280天是星期（

A．一 B．二 C．三 D．五6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ<90°）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htanA．14倍 B．34倍 C．54倍 7．在等差数列an中，a2022−a2023+aA．5 B．6 C．2025 D．20268．已知椭圆E1:x24+y2b2=A．4 B．5 C．3+2 二、多选题9．一般地，任何一个复数z=a+bi（a，b∈R）都可以写成z=rcosθ+isinθ的三角形式，其中cosA．2π3 B．5π6 C．10．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，A．直线AB的斜率为3 B．C．△AMF的周长为12 D．B，O11．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC，acosAA．AB．bC．△ABD．若O是△ABC外接圆的圆心，则△O三、填空题12．已知函数y=logax−1−2的图象恒过定点A，且函数f13．采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______．14．如图为四棱锥P−ABCD的平面展开图，其中FBCD为平行四边形，△ABF四、解答题15．某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：是否满意性别满意不满意合计男业主8020100女业主6040100合计14060200(1)依据α=(2)从小区的业主中任选一人，A表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，B表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出PAB，附：χ2α0.050.010.005χ3.8416.6357.87916．已知数列an的前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列，数列(1)求数列an，b(2)是否存在正整数m，k使得bm+bm+17．已知三棱锥P−ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，且PB⊥AC，(1)求证：PA(2)求平面AEF与平面18．已知函数fx=xa−(1)当a>1时，讨论(2)若fax<19．用圆规画一个圆C，然后在圆外标记点D，并把圆周上的点P1折叠到点D，连接CP1，标记出直线CP1与折痕所在直线l1的交点M1（如图），若不断在圆周上取新的点P2，P3，…进行折叠并得到标记点M2，M3，…，设圆C的半径为4，点D到圆心C的距离为6，以CD所在的直线为x轴，(1)求曲线Γ的轨迹方程；(2)设P为曲线Γ上第一象限内的一点，记△PCD的重心为G①若CD=λ②连接PD交曲线Γ于第四象限一点Q，设△CDQ的内心为R，求四边形答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南省南阳市2026届高三下学期一模考试数学试题》参考答案1．D【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据对数函数的单调性及定义域求出集合B，再根据交集的概念求解即可.【详解】A=B=所以A∩2．C【详解】样本数据从小到大排列，样本容量n=8，因此75%分位数为第6项和第7项的平均值，故75%分位数为2233．C【分析】由周期函数的定义得出fx是周期为2【详解】fx+π=cos所以函数的周期不是π，A，B错误；fx+2所以函数的周期是2π，fx=cos所以x∈所以fx=cos4．A【分析】设a=x,【详解】设向量a=x,a−b=联立解得x=0，y=−1或x=−当a=0,当a=−1b2所以向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅5．A【分析】将280写成(7+【详解】因为2==所以280=则2807的余数为又因为今天是星期四，所以280天后是星期46．B【分析】由题意可得tanα，由β=α-【详解】由题可得tanα=2所以tanβ即第二次的“晷影长”是“表高”的347．A【分析】根据等差数列的通项公式及二次函数的性质求解即可.【详解】设等差数列an的公差为d则a2022=a2026−所以a2026−4a=5当a12+a40478．D【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆E1和E因此有a2所以椭圆E1的半焦距为c1=4−因此该圆的方程为x2+y又两椭圆的交点与E1和E所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆x2由x2代入椭圆E2：x得83a2-3又a>3，故9．BC【分析】设方程x2+6x+12=0的复数根为z=【详解】设方程x2+6x+12=0的复数根为即a2+6a−b2所以z=−3又z=−3且5π6,7π6∈0,10．BCD【详解】对于A项，抛物线C:y2=4设Ax0,y由抛物线的定义得到|A因为△AMF即1+1化简得到x0解得x0=3或x所以直线AB的斜率为k对于B，根据对称性，取直线AB的斜率为k=3，则直线A联立方程y=3x解得x=3（点A）或x=由抛物线定义，|B对于C项，由抛物线定义|AM|=|对于D项，根据对称性，取A3,2因为kOB=所以kOB=kOM且过原点O，故同理可得当A3,−23时B11．ABD【分析】AB利用正弦定理边角互化即可；C利用正弦定理将周长用B来表示，求关于tanB2的函数的取值范围；D利用正弦定理将面积差用B来表示，求关于【详解】由题意得，2a则由正弦定理得2sin因为A∈0,π2，所以sin因为asinC=则asin因为asinA=由asinA=bsin所以a=因为△ABC为锐角三角形，所以0则π12因为tanπ12=则1<1tan故△ABC设△ABC的外接圆半径为R，∠AB故△OAC和==4因为π6<θ<π故当1tanθ=233时，Smax=3故△OAC和△12．32/【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数fx=lnx−ax的图象在【详解】对函数y=logax−1−所以A2函数fx=lnx−f'x=所以函数fx=lnx−因为该切线过点A，所以-2+a13．36【详解】设事件A1为“包含6个次品”，A2为“包含2个次品”，则PA则PBA1故P故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是365514．37【分析】由已知条件确定底面ABCD为等腰梯形，并确定∠BAC=90°，得到底面外接圆圆心即为B【详解】△ABF是边长为1的等边三角形，故侧棱PA=A是DF中点，DF=2AF=2，FB可知底面AB因为△ABF可得：∠BAD=120则AC即BC2=在底面ABCD以AB,AC分别为x可得：A(0,0,0)因为∠BAC=90即BC的中点即为底面ABC设P(x,y,z)可得x2解得x即P由四棱锥外接球的性质，外接球的球心在过O1​垂直于底面的直线上，故设球心O由OA2=OP因此外接球半径平方：R2外接球表面积：S=15．(1)有差异(2)PAB=【分析】（1）根据公式求出χ2（2）根据条件概率公式求解即可.【详解】（1）假设H0因为χ2依据α=0.05的独立性检验，所以假设即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异．（2）由题意，PA=60PBPAB则PAB=16．(1)an=2(2)存在m=2，【分析】（1）结合等差中项的定义得到Sn+n=2an，利用S（2）求出S4+10，结合等差数列的前n项和求出bm+bm【详解】（1）由题n，an，Sn成等差数列，所以当n≥2时，①-②得：an+1=2当n=1时，S1+1所以数列an所以an+1=2因此an=2综上：an=2（2）由（1）得，bn=2从而bm+b由于m，k为正整数，当k=1时，当k=2时，当k=3时，当k=4时，当k≥5时，综上只有当m=2，因此存在m=2，17．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由等腰三角形和等边三角形性质证明AB⊥P（2）方法一：建立空间直角坐标系求点坐标和向量，计算平面法向量，利用公式求夹角正弦值；方法二：找出二面角，借助平面几何求线段长，用余弦定理求正弦值.【详解】（1）取线段AB的中点为M，连接PM，因为PA=P又因为△ABC又PM∩CM=M，所以方法一：设PA=a，PB=因为PB⊥AC，所以所以b⋅c−同理由AB⊥P由①-②得a⋅c−又c−b=PC方法二：作PH⊥平面ABC于又PB⊥A所以AC⊥平面PB同理AB⊥CH，即H为从而得BC⊥平面PA（2）方法一：作PH⊥平面ABC于H，连接HC则A1,−33,0E−12,−36记平面AEF的法向量m=即−x+233取平面ABC的法向量n=0,0,则cosθ从而正弦值为sinθ=1−cos2θ方法二：取BC中点G，连接PG交EF于N，可知N连接AG，AN，易知AG过A作BC的平行线AQ，则AG因为AQ为平面ABC故∠GAN为平面A由平面几何知识易得△ACF又△AEFAN又在Rt△AG在Rt△PGC中，于是在△AGN从而sin∠GAN=2318．(1)当a=e时，有1个零点；当1<(2)e【分析】（1）根据条件，将问题转化成lnxx=lna（2）根据条件，利用指数、对数函数的性质，将问题转化成ax>xa>【详解】（1）函数fx=ax−xa两端同取自然对数得xlna=令gx=ln由于g′当0<x<e时，g′当x>e时，g′x<则gx在x=e又当0<x≤1时，gx由图知，当a=e时，gx当1<a<e时，0<当a>e时，0<lna综上，当a=e时，有1个零点；当1<（2）由题知fax<当0<a<1时，若x=当a>1时，由aa因为曲线y=ax与y所以ax令hx=a令h′x0=0所以当0<x<x0时，h当x>x0时，h′x所以x=x0所以hx的最小值为hx0由hx0>0，得1+lnln综上所述，实数a的取值范围是e119．(1)x(2)①4,15；②【分析】（1）由已知可得M1C−M1D=CP1=r=4<6，进而由双曲线的定义知点（2）①由CD=λIG得IG//CD，可求得内心I的纵坐标及△PCD的内切圆半径为y03，结合三角形面积公式计算可解得PD=4，再联立的距离方程与双曲线方程即可求得P的坐标；②利用双曲线定义与三角形内切圆性质，先求△P【详解】（1）把圆周上的点P1折叠到点D，折痕所在直线l1是∴M1D=若不断在圆周上取新的点P2，P3，…，进行折叠并得到标记点M2总有MiC−符合双曲线定义，故点M1，M2，M3，…形成的轨迹是以C以2a=r由CD=6，得2c=即曲线Γ的标准方程为：x2（2）方法一：①设点Px0,y0（x0>0，由题CD=λIGλ≠0知于是由S△得PC+PD+即2PD+从而有x0−3所以点P的坐标为4,②设内切圆I与x轴的切点为H，其横坐标为xI根据双曲线定义和内切圆性质：CH−HD联立解得：CH=5所以圆心I的横坐标为：xI同理△CDQ连接DI和DR，则DI设直线PD倾斜角为θ，通过几何关系得