湖北楚天协作体2026届高三下学期二模数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北楚天协作体2026届高三下学期二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果集合A=xax2A．0或4 B．4 C．0或−4 2．已知向量a，b不共线，若AB=λ1a+b，AC=a+λ2A．−1 B．1 C．−23．为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=0.8x+12.5A．−10.5 B．10.5 C．94．已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是（

）A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n C．若l∥α，l∥β，则α∥β 5．已知α、β均为锐角，sinα=255，sinA．7210 B．−513 C．6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=16，点M−2,0．点P在直线A．2 B．3 C．4 D．57．已知数列an是各项均为正数的等差数列，且公差d>0；数列bn是各项均为正数的等比数列，且公比q>1，若项数均为①数据a1，a2，a3，…，a②数据b1，b2，b3，…，b③若a1=b1，a2n−1=b2n−1，则数据a1④若a1=b1，a2n−1=b2n−1，则数据a1A．1 B．2 C．3 D．48．关于x的方程2lnax+bA．e,+∞ B．e2,+二、多选题9．已知复数z=b−a+b+aiA．若z=2−i，则a−bC．若z∈R，则a=1 D．若z10．春节假期过后，车主小张选择去该市新开的A，B两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去A，B两家洗车店洗车的概率分别为35和25，如果小张第一次去A洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为12；如果小张第一次去B洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为3A．小张第一次去B洗车店，第二次也去B洗车店的概率为2B．小张第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率小C．若小张第二次去了A洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为5D．若小张第二次去了B洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为1511．已知抛物线C:y2=mx的准线方程为2x+1=0．过点0,−1且斜率为k的直线l与C交于A，A．曲线C的方程是yB．k的取值范围为−C．若k>m，则OD．线段AD三、填空题12．2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b214．在平面中，e1和e2是互相垂直的单位向量，向量m满足m+3e1+m−四、解答题15．某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表：甲地使用者乙地使用者合计不满意10050150满意200150350合计300200500(1)根据小概率值α=(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为X，求X的分布列和数学期望.附录：K2P0.150.10.050.0250.010.001k2.0722.7063.8415.0246.63510.82816．如图：正八面体E−(1)证明：平面EAD/(2)若AB=2，点P为棱EB上的动点，则直线17．已知数列an的前n项和为Sn，若对任意n∈N*，向量pn=4,−2n−(1)求数列an(2)若Tn−Sn>18．已知双曲线C:x2a2−y2b2=(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；(3)已知C的左顶点A和右焦点F，直线AM与直线l:x=12相交于点N．试问是否存在常数19．已知函数fx(1)当a=1时，讨论fx(2)对任意的x∈0,+∞(3)证明：n+1>答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖北楚天协作体2026届高三下学期二模数学试题》参考答案1．C【分析】分a=0和a≠0两种情况讨论，当a≠【详解】集合A=表示关于x的方程ax当a=0时，解得x=当a≠0时，Δ=此时A=综上可得a=0或2．B【详解】若A，B，C三点共线，则存在实数k满足AB⃗=又因为向量a，b不共线，所以λ1因此λ13．A【详解】x=80时的预测值x=80时的真实为值样本点80,66的残差为4．B【详解】对于A，若m⊥l，n⊥对于B，若l∥α，l⊥对于C，当α∩β=k时，若l/对于D，若l∥m，m⊂5．D【分析】根据同角三角函数关系式求出cosα，cosα−【详解】因为α，β为锐角，所以0<α<所以−π2<因为sinα=255因为sinα−β则sin=2所以cosβ=1∴tan6．A【分析】设出点P的坐标，根据切线的性质可得到直线AB的方程，进而可知直线AB过定点N，进而可知点M到直线AB【详解】如图，设Px0,根据圆的切线性质知，以OP为直径的圆与圆O交于A即线段AB而以OP为直径的圆的圆心为x02所以其方程为x−x0与圆O的方程x2+y2=将y0=−2x因为上式对x0∈R恒成立，令x所以直线AB恒过定点N−165,−8所以点M到直线AB的距离的最大值为M7．C【分析】根据等差、等比数列的性质，结合平均数、中位数的概念逐项判断即可.【详解】对于①选项，设an的前n项和为Sn，所以数据a1，a2，a3，…，a对于②选项，当n=2时，取bn对于③选项，a1，a2，a3，…，a2n−1的中位数是an，b1bn对于④选项，易知点k,ak在直线y=d因为a1由图可知，当2≤k≤所以数列an的前2n−1项和大于数列所以数列an的前2n−1项的平均数比8．B【分析】设方程lnax+b2=x2+14的实根为x【详解】由关于x的方程2lnax+b设方程lnax+b2得到ax0+设点Pa,b，则点P点O0,0到直线x设t=x02+14当12≤t<1时，f函数ft在区间12,因此f(t)min=当t=1时，x0=±32由−32a+b所以a2+b9．AD【分析】利用复数的运算，得到z=b+ai【详解】因为z=对于A，若z=2−i，则对于B，若z为纯虚数，则b=0且a≠0，所以对于C，若z∈R，则对于D，若z=1，则a2+b则a+b=即θ=10．BCD【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD.【详解】记小张第i次去A洗车店为Ai，第i次去B洗车店为B则PA1=35，PB1=2选项A：PB选项B：PBPA所以小张第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率小，故B正确.选项C：PA选项D：PA11．ACD【分析】根据准线方程求出p可判断A；直线与抛物线联立，根据直线与抛物线的关系令Δ>0可判断B；利用向量数量积的坐标公式结合韦达定理表示出OA⋅OB，然后再利用二次函数的性质判断C；设线段【详解】根据题意可知准线方程为2x+1=0，即C的准线方程为x=−则抛物线C的方程为：y2依题意得直线l的方程为y=当k=当k≠0时，代入y2则Δ=4(k+1)所以k的取值范围是−1设Ax1,y1，B所以OA代入可得：1+若k>m，即k>所以1k即OA⋅O因为直线OB的方程为y=y2x设线段AD的中点为Nx0,y则x0+y所以点Nx0,y012．150【分析】先按1,1,【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种：按1,1,3分组：先从5个中选组数C53=C52=剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一组(消除重复分组)，组数C52⋅故装法总数10+13．2【分析】由已知条件结合余弦定理可得c=b1+2cosA，方法一：设t=cosA，则可得c=b1+2t，继而可求出ca关于t【详解】在△ABC中，由余弦定理，a可得c2−2方法一：由（*）得c=b1+2△ABC即0<而a2代入cosB得cos=b同理可得cos=b需满足cosC>0，即−结合0<t<由a2=b可得a=2即a=b2令ft=1即ft=1+2故ca的取值范围是2方法二：由（*）和正弦定理，可得sinC因sinC代入整理得，sinAcosB因0<A,B<即A=2B，则C则sin=2于是，由正弦定理，ca因△ABC为锐角三角形，则有0设t=cosB，则t∈[故可得2((2故ca的取值范围是214．−【分析】先求出两个轨迹方程，可设OP=2cosα【详解】因e1和e2是互相垂直的单位向量，则可建立分别以e1和e则e1=1,0由m→+3此式表示动点Px,y到两点F又PF所以P点轨迹是以F1−3,0，F23所以P点的轨迹方程为x2设n=x′,y表示动点Qx′,y所以动点Q的轨迹方程为x′故可设OP=2cosα则m→⋅n→=因为sinα+φ≥−又4cos2β因sinβ∈−1,所以m→⋅n→≥由2cosαcosβ+sinα所以OP=0,1，O所以m⋅n的最小值为15．(1)认为使用者的满意度与区域无关(2)分布列见解析，4【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值α=（2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定X的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可.【详解】（1）零假设H0为：使用者的满意度与区域无关，代入2K根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0故可认为使用者的满意度与区域无关.（2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为2:则9名使用者中甲地6人､乙地3人.因为4人中乙地人数为X，所以X的可能取值为0,PX=PX=X的分布列为：X0123P51051故数学期望为E16．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）连接AC、BD、（2）以点O为原点，OA、OB、【详解】（1）连接AC、BD、EF交于点O所以四边形AECF、B又AE⊂平面EAD，FC⊄平面DE⊂平面EAD，FB⊄平面FB//平面EAD，FC//平面EA所以平面EAD//（2）根据正八面体结构，以点O为原点，OA、O则A2,0,0，D所以DA=2,2设平面FAD的一个法向量为n=x,所以n⋅DA=0n⋅所以平面FAD的一个法向量为因为点P为棱EB所以设BP=则AP设直线AP与平面FADsinθ又0≤当λ=12时，(sinθ故直线AP与平面FAD17．(1)a(2)−【分析】（1）根据题意可得4Sn−2n+1（2）分n为偶数及n为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得.【详解】（1）因为pn⋅q当n=1时，又S1=a当n≥2时，由①－②整理得：4a整理得an由累乘法得：an代入比值：an当n=1时，所以数列an的通项公式为a（2）当n为偶数时，T===S所以Tn−Sn=由Tn−Sn是偶数，当n=2时，n+32当n为奇数时，n+Tn所以Tn−S由Tn−S又fx=x所以当n=1时，fn综上，实数λ的取值范围是−18．(1)x(2)证明见解析(3)存在λ【分析】（1）由渐近线倾斜角得到b=3a（2）设出点M的坐标为x0,y0，3x（3）先考虑x0=2时，再考虑x0≠2，当M在x轴上方时，设出点的坐标，表达出tan∠AF【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为π3，有ba=又由点T在双曲线C上，有4a代入b=3a，有4a2故双曲线的标准方程为x2（2）设点M的坐标为x0,y0，则双曲线的两条渐近线l1，l2的方程分别为3x则点M到两条渐近线的距离分别为d1=3则d1所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．（3）存在λ=①当x0=2时，MF=所以∠AFN=∠②当x0ⅰ）当M在x轴上方时，由A−1,0,所以直线AM的方程为y把x=12所以kNF=由二倍角公式可得tan2因为直线MF的斜率kMF所以tan∠AF因为∠AFM所以∠Aⅱ）当M在x轴下方时，同理可得∠A故存在λ=2，使得19．(1)答案见解析(2)a(3)证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导得函数的单调区间，由函数的单调区间求出函数的最大值，画出函数的大致图像即可得出交点个数.（