中考数学最大最小值专项训练题

中考数学最大最小值专项训练题同学们在备战中考的过程中，最大最小值问题往往是一个难点，也是一个重要的得分点。这类问题不仅考察大家对数学知识的综合运用能力，还对思维的灵活性和严谨性有较高要求。掌握解决这类问题的常用方法和技巧，对于提升中考数学成绩至关重要。本文将结合中考常见题型，为大家梳理最大最小值问题的解题思路，并配备相应的训练题，希望能帮助同学们攻克这一难关。一、利用几何性质求最值几何图形中的最值问题，常常可以借助图形本身的性质来解决。例如，两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、圆的性质等，都是解决这类问题的有力工具。（一）两点之间线段最短（及引申：将军饮马模型）核心方法解读：求直线同侧两点到直线上一点距离之和的最小值，通常是通过作其中一点关于该直线的对称点，将同侧问题转化为异侧问题，利用“两点之间线段最短”求解。典型例题解析：例1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,4)，点B的坐标为(3,0)。在x轴上是否存在一点P，使得PA+PB的值最小？若存在，求出点P的坐标及PA+PB的最小值；若不存在，请说明理由。思路点拨：点A、B在x轴的同侧（A在x轴上方，B在x轴上）。要求x轴上一点P使PA+PB最小。我们可以作点B关于x轴的对称点B'，根据对称性，PB=PB'，则PA+PB=PA+PB'。此时，问题转化为求PA+PB'的最小值，当A、P、B'三点共线时，PA+PB'最小，即AB'的长度。简要解答：作点B关于x轴的对称点B'(3,0)关于x轴对称的点是B'(3,-0)？哦不，B点本身就在x轴上，对称点还是B。那这个例子选得不好，应该选一个A、B都在x轴同侧且B不在x轴上的例子。我们换一个，假设点B是(3,2)。那么点B(3,2)关于x轴的对称点是B'(3,-2)。连接AB'，与x轴的交点即为所求点P。设直线AB'的解析式为y=kx+b，将A(1,4)和B'(3,-2)代入：4=k*1+b-2=k*3+b解得k=-3,b=7。所以直线AB'：y=-3x+7。令y=0，得x=7/3。所以点P坐标为(7/3,0)。PA+PB的最小值为AB'的长度，根据两点间距离公式可得：√[(3-1)²+(-2-4)²]=√(4+36)=√40=2√10。针对性训练1：如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为多少？（二）垂线段最短核心方法解读：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。常用于求点到直线的最短距离，或以此为基础求相关图形周长、面积等的最值。典型例题解析：例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过点P作PQ⊥AB于点Q，连接AP。设PC=x，△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值。思路点拨：首先用含x的代数式表示出相关线段的长度。PC=x，则PB=8-x。在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=10。利用△BPQ与△BAC相似（因为∠B是公共角，∠BQP=∠C=90°），可以表示出PQ和BQ的长度，进而表示出AQ的长度。△APQ的面积y=1/2*AQ*PQ。得到函数关系式后，根据函数类型（通常是二次函数）求最值。简要解答：∵PQ⊥AB，∠C=90°，∠B=∠B∴△BPQ∽△BAC∴PQ/AC=PB/AB=BQ/BC即PQ/6=(8-x)/10=BQ/8∴PQ=6(8-x)/10=3(8-x)/5BQ=8(8-x)/10=4(8-x)/5AQ=AB-BQ=10-4(8-x)/5=(50-32+4x)/5=(18+4x)/5y=1/2*AQ*PQ=1/2*(18+4x)/5*3(8-x)/5化简得：y=[3(18+4x)(8-x)]/50展开并整理：y=[3(-4x²+14x+144)]/50=(-12x²+42x+432)/50=(-6x²+21x+216)/25这是一个开口向下的二次函数，对称轴为x=-b/(2a)=-21/(2*(-6))=21/12=7/4。∵x的取值范围是0<x<8，7/4在此范围内。∴当x=7/4时，y取得最大值。代入计算得y_max=[-6*(7/4)²+21*(7/4)+216]/25=[-6*(49/16)+147/4+216]/25，经过计算可得y_max=1764/100=441/25(或17.64)。针对性训练2：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，过点A作AC⊥AB，且AC=AB，连接OC。随着点B的运动，线段OC的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。（提示：可过点C作CD⊥y轴于点D，构造全等三角形）二、利用二次函数求最值对于涉及二次函数的最值问题，通常先根据题意建立二次函数模型（即写出函数关系式），然后根据二次函数的开口方向和对称轴的位置，结合自变量的取值范围，求出函数的最大值或最小值。这是代数方法求最值的主要途径。核心方法解读：1.建立二次函数模型：y=ax²+bx+c(a≠0)。2.确定自变量的取值范围。3.若a>0，抛物线开口向上，函数在对称轴x=-b/(2a)处取得最小值；若a<0，抛物线开口向下，函数在对称轴x=-b/(2a)处取得最大值。4.若对称轴在自变量取值范围内，则顶点的纵坐标即为最值；若对称轴不在此范围内，则根据函数的增减性在端点处取得最值。典型例题解析：例3某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的方式来提高利润。经市场调查发现，这种商品每件每降价1元，其销售量可增加约10件。设每件商品降价x元，每天的利润为y元。(1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；(2)每件商品降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？思路点拨：利润=(售价-进价)*销售量。原售价100元，降价x元后售价为(100-x)元，进价80元，所以每件利润为(100-x-80)=(20-x)元。原销售量100件，每降价1元增加10件，降价x元则销售量为(100+10x)件。据此可列出函数关系式。简要解答：(1)y=(20-x)(100+10x)=-10x²+100x+2000。(2)a=-10<0，抛物线开口向下，函数有最大值。对称轴x=-b/(2a)=-100/(2*(-10))=5。∵x=5是合理的降价范围（0≤x<20）。∴当x=5时，y_max=-10*(5)^2+100*(5)+2000=-250+500+2000=2250。答：每件商品降价5元时，每天的利润最大，最大利润是2250元。针对性训练3：用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度不限），围成一个矩形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x取何值时，花圃的面积S最大？最大面积是多少？三、利用不等式（或不等关系）求最值核心方法解读：利用一些基本的不等关系，如“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”、“非负数的性质”（如平方数、绝对值、算术平方根的非负性）等，可以解决某些最值问题。对于“和定积最大”或“积定和最小”的问题，有时会用到均值不等式，但中考中对此要求不高，更多是结合具体情境分析。典型例题解析：例4已知a、b为实数，且a+b=6，求a²+b²的最小值。思路点拨：方法一：将b=6-a代入a²+b²，得到关于a的二次函数，再求最小值。方法二：利用公式a²+b²≥2ab，以及(a+b)²=a²+2ab+b²，可得a²+b²=(a+b)²-2ab=36-2ab。要使a²+b²最小，则需ab最大。当a=b时，ab取得最大值（对于正数a、b，和定积最大）。所以当a=b=3时，ab_max=9，a²+b²_min=36-18=18。简要解答：（此处用方法一）∵a+b=6，∴b=6-a。a²+b²=a²+(6-a)²=a²+36-12a+a²=2a²-12a+36=2(a²-6a+9)+18=2(a-3)²+18。∵(a-3)²≥0，∴2(a-3)²+18≥18。当a=3时，等号成立，此时b=3。∴a²+b²的最小值为18。针对性训练4：在△ABC中，AB=5，AC=7，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？（提示：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，利用三角形三边关系）。此题为求范围，但核心思想是利用不等关系。综合提升训练1.如图，正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连接AP，过点P作PF⊥AP交直线BC于点F。当点P在BD上移动时，线段BF的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。2.已知二次函数y=x²-(m-3)x-m的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C。(1)求m的取值范围；(2)若△ABC的面积为6，求m的值；(3)在(2)的条件下，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在一点P，使得△PBD的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBD的最大面积；若不存在，说明理由。3.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的一个动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则PQ长度的最小值为多少？4.某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，经市场调查发现，该笔记本每天的销售量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表：销售单价x（元）121416----------------------------每天销售量y（本）363228(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设该文具店每天销售这种笔记本的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？解题策略总结解决最大最小值问题，关键在于：1.审题清晰，明确目标：清楚题目要求的是哪个量的最大值还是最小值。2.选择恰当方法：根据题目所给条件和图形特征，选择合适的方法。是利用