八年级上学期数学考点突破与提分-乘法公式（含答案）

乘法公式目标导航目标导航1、掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2、学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。知识精讲知识精讲知识点01平方差公式知识点平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。注：=1\*GB3①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。=2\*GB3②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。【知识拓展1】平方差公式的几何背景例1．（2022·山东·昌乐七年级期末）下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是（

）A． B．C． D．【即学即练】1．（2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后将其裁成2个长方形，然后将这两个长方形拼成一个新的长方形（如图所示），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式为（

）

A．B．C．D．2．（2022·安徽宣城·七年级期中）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示，；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：(3)试利用这个公式计算：【知识拓展2】平方差公式的基本运用例2．（2022·安徽·合肥七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（

）（1）（2）（3）（4）A．个 B．个 C．个 D．个【即学即练】3．（2022·辽宁·朝阳市第八中学七年级期中）利用乘法公式计算：____________．4．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）的结果是______．知识点02完全平方公式知识点完全平方和（差）公式：完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积注：=1\*GB3①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；=2\*GB3②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式拓展：利用可推导除一些变式=1\*GB3①=2\*GB3②注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。【知识拓展1】完全平方公式的几何背景例1．（2022·福建·三明一中七年级阶段练习）如图所示，请完成下列问题：(1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为______或______．(2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．【即学即练1】1．（2022·苏州市平江中学校七年级期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（）A． B．C． D．2．（2022·吉林市第五中学八年级期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式；(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．【知识拓展2】完全平方公式的基本运用例2．（2022·陕西八年级开学考试）若，则的值为（）A．2 B．5 C．8 D．10【即学即练2】3．（2022·福建月考）下列计算正确的是（）A．B．C．D．4．（2022·沭阳县修远中学）先化简，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1【知识拓展3】完全平方公式的含参问题例3．（2022·山东·宁阳八年级阶段练习）已知是完全平方式，则m的值为（

）A．8 B． C．24 D．【即学即练3】3．（2022·山东·宁阳八年级阶段练习）当__________时，是完全平方公式．【知识拓展4】完全平方公式的知二求二例4．（2022·湖南双峰·七年级期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求和的值．【即学即练4】4．（2022·重庆七年级期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝________．5．（2022·辽宁·丹东七年级期末）若，则的值为_______．知识点03乘法公式拓展知识点==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc同样，a、b、c可以通过换元。如令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc立方和与立方差公式：；完全立方和与完全立方差：=【知识拓展1】三个数的完全平方公式例1．（2022·山东威海·八年级期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．（1）若用不同的方法计算这个正方形的面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______（只要写出一个即可）；（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足，，求的值；②若三个实数x，y，z满足，，求的值．【即学即练1】1．（2022·福建）我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：就可以用如图所示的面积关系来说明．(1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：(2)若求的值；(3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为的100个立方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?【知识拓展2】立方公式例2．（2022·广东·佛山市七年级阶段练习）（1）用两种不同方法计算同图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式．（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．（3）利用上面所得的结论解答：①已知x+y＝6，xy＝5，求﹣y的值．②已知|a+b﹣5|+（ab﹣6）2＝0，求a3+b3的值．【即学即练2】2．（2022·四川·金堂七年级期中）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可得到、、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2所示的大正方体是若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________．利用上面所得的结论解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=，求x-y的值；（2）已知，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．3．（2022·无锡市天一实验学校七年级期中）（知识生成）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分（4个完全相同的小长方形）的面积可以得到的等式是：．（知识迁移）类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：．（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求的值．能力拓展能力拓展考法01整式乘法的归纳猜想问题【典例1】（2022·河南南阳·八年级阶段练习）我国宋朝数学家杨辉年的著作《详解九章算法》给出了在（为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（

）A． B． C． D．变式1．（2022·四川·宣汉县峰城中学七年级期中）探究应用：(1)计算：＝；＝；(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：；（请用含a、b的字母表示）．(3)直接用公式计算：＝；＝．变式2．（2022·福建宁德·七年级期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：①；②；③；…你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：①；②；③；…(1)由此我们可以得到：①_______；②_______．(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算：．考法02配方的运用【典例2】（2022·河南·镇平九年级阶段练习）阅读材料例：求代数式的最小值．解：，可知x=-1时，有最小值，最小值是-8，根据上面的方法解决下列问题：(1)当x为何值时，取得最大值？最大值是多少？(2)直接写出多项式最小值是．变式1．（2022·贵州遵义八年级阶段练习）阅读材料：若，求、的值．解：，，，，，．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知，求的值；(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值；(3)已知，，则．变式2．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当，式子x+的最小值为；(2)当，代数式最大值为多少？并求出此时x的值；(3)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？分层提分分层提分题组A基础过关练1．（2022·汕头市八年级期末）若，，则的值为（）A． B． C． D．22．（2022·隆昌市知行中学月考）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（）A．(x+a)(x-a)B．(b+m)(m-b)C．(-x-b)(x-b)D．(a+b)(-a-b)3．（2022·绵阳市初二课时练习）如果，那么a、b的值分别为（）A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；254．（2022·杭州市七年级期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a2﹣4b2＝_____．5．（2022·四川甘孜·初二期末）已知，则__________．6．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）计算：_______________________7．（2022·山东·滨州市八年级期末）若代数式是一个完全平方式，则__．8．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B（a＞b＞0），现将B放在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．（1）若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为______；（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为______（用含m，n的代数式表示）．9．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）已知，．求：(1)的值；(2)的值．10．（2022·杭州市七年级期中）先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．11．（2022·福建·漳州市七年级阶段练习）运用整式乘法公式简便计算：．题组B能力提升练1．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．B．C．D．2．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（

）A． B．C． D．3．（2022·湖南岳阳·初一期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用如图1可以得到，那么利用如图2所得到的数学等式是（）.A． B．C． D．4．（2022·湖南双峰·七年级期中）无论，为何值，代数式的值总是（）A．非负数 B． C．正数 D．负数5．（2022·广西兴业·月考）代数式的最小值为（）．A． B． C． D．6．（2022·山东威海·七年级期中）如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（

）A．1 B．2 C．4 D．87．（2022·内蒙古七年级阶段练习）若，则的值是（

）A． B． C． D．8．（2021·江门市第二中学初二月考）若，则________________.9．（2022·湖南永州·七年级期末）根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是______．10．（2022·四川·大竹县文星中学七年级期中）探究应用：(1)计算：①；②；(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：______（请用含a，b的式子表示）(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（

）A．

B．C．

D．(4)直接用公式写出计算结果：______．11．（2022·四川射洪中学月考）已知，求代数式的值．12．（2022·扬州七年级期中）阅读材料：例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，∴a＝1，b＝．参照上面材料，解决下列问题：（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．13.（2022·陕西咸阳·七年级期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积；方法1：______；方法2：______；(2)由（1）写出，，mn这三个代数式之间的等量关系：______；(3)根据（2）中得到的等量关系，解答问题：若，，求．14．（2022·江苏·七年级期中）【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：(1)写出图1中所表示的数学等式_________．(2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．(3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．题组C培优拔尖练1．（2022·江苏·扬州市七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

……

……请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（

）A．2022 B． C． D．40422．（2022·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（）A． B． C． D．3．（2022·郑州七年级月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（）A．136 B．86 C．36 D．504．（2022·湖南·岳阳八年级阶段练习）已知，则的值是___________．5．（2022·四川师范大学附属实验学校八年级期中）当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式．6．（2022·湖北·八年级期末）已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．7．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________A．

B．C．

D．(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：，，求的值；②计算：．8．（2022·广东汕头·八年级期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积方法1：_________________；方法2：_________________.(2)观察图b，写出下面三个式子，，之间的等量关系_________;(3)根据(2)中的等量关系，解决以下问题：①已知，，则________；②已知，，求的值．(写出解答过程)9．（2022·河南·南阳市实验学校八年级阶段练习）若满足，求的值．解：设，，则，，∴．请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若满足，求的值为______；(2)若满足，则______；(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、作正方形，求阴影部分的面积．10．（2022·重庆初一课时练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：（1）写出图中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么他总共需要多少张纸片？11．（2022·河南·郑州市七年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：________﹔【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．利用上面所得的结论解答下列问题：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．乘法公式目标导航目标导航1、掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2、学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。知识精讲知识精讲知识点01平方差公式知识点平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。注：=1\*GB3①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。=2\*GB3②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。【知识拓展1】平方差公式的几何背景例1．（2022·山东·昌乐七年级期末）下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两个图象中的阴影部分的面积相等进行验证．【详解】解：A、阴影部分的面积=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意；B、阴影部分的面积2a•2b=4ab=，不是平方差公式，故本选项符合题意；C、阴影部分的面积=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意；D、阴影部分的面积=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了整式的乘法公式，用整式表示图形的面积是解题的关键．【即学即练】1．（2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后将其裁成2个长方形，然后将这两个长方形拼成一个新的长方形（如图所示），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式为（

）

A． B．2C． D．【答案】B【分析】根据两种方式求得阴影部分面积即可求解．【详解】解：阴影部分面积面积可以表示大正方形的面积减去小正方形的面积即：，也可以表示为边长为与的长方形的面积，即,∴，故选B．【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形面积，数形结合是解题的关键．2．（2022·安徽宣城·七年级期中）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示，；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：(3)试利用这个公式计算：【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；（2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．（1）解：s1=，s2=，故答案为：，；（2）解：由题意，得，故答案为：；（3）解：原式=======264-1+1=264．【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．【知识拓展2】平方差公式的基本运用例2．（2022·安徽·合肥七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（

）（1）（2）（3）（4）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．【详解】解：能用平方差公式计算的有；，则能用平方差公式简便计算的有个．故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．【即学即练】3．（2022·辽宁·朝阳市第八中学七年级期中）利用乘法公式计算：____________．【答案】1【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：====1故答案为：1【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握是解题的关键．4．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）的结果是______．【答案】【分析】将原式变形为，再利用平方差公式逐步计算即可．【详解】解：======故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是发现算式的规律，灵活构造平方差公式的形式．知识点02完全平方公式知识点完全平方和（差）公式：完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积注：=1\*GB3①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；=2\*GB3②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式拓展：利用可推导除一些变式=1\*GB3①=2\*GB3②注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。【知识拓展1】完全平方公式的几何背景例1．（2022·福建·三明一中七年级阶段练习）如图所示，请完成下列问题：(1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为______或______．(2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．【答案】(1)（a+b）2、a2+2ab+b2(2)（a+b）2=a2+2ab+b2【分析】（1）分别用大正方形的面积公式和四部分求可确定正方形的面积即可；（2）根据（1）的两个代数式表示同一块正方形的面积相等解答即可．(1)解：由正方形的面积公式可得：大正方形的面积为：（a+b）2；由大正方形的面积由四部分组成，则大正方形的面积为：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2、a2+2ab+b2．(2)解：由（1）的两个代数式表示同一块正方形的面积相等可得：（a+b）2=a2+2ab+b2则这个重要的整式乘法公式为（a+b）2=a2+2ab+b2．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的推导，用两种方法表示出大正方形的两个面积表达式成为解答本题的关键．【即学即练1】1．（2022·苏州市平江中学校七年级期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论．【详解】解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，所以，故选：C．【点睛】此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键．2．（2022·吉林市第五中学八年级期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式；(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2(2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．【分析】（1）根据两种计算图2面积的方法可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）由计算（2a+b）2的结果可得此题结果．（1）解：∵图2中正方形的面积可表示为：（a+b）2和a2+2ab+b2，∴可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）解：由计算（2a+b）2=4a2+4ab+b2可得，需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能准确地根据图形列出算式，和根据算式得到相应的图形．【知识拓展2】完全平方公式的基本运用例2．（2022·陕西八年级开学考试）若，则的值为（）A．2 B．5 C．8 D．10【答案】C【分析】根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【详解】解：（x-y）2+4xy-1=x2-2xy+y2+4xy-1=x2+2xy+y2-1=（x+y）2-1，当x+y=3时，原式=32-1=8．故选：C．【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．【即学即练2】3．（2022·福建月考）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据完全平方公式即可计算判断.【解析】A.，故错误；B.，故错误；C.故错误；D.，正确，故选D.【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运用.4．（2022·沭阳县修远中学）先化简，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1【答案】，【分析】根据完全平方和平方差公式进行计算，再进行整式的加减运算，最后将字母的值代入求解即可【详解】（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y）当x＝2，y＝1时原式【点睛】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，掌握整式的运算是解题的关键．【知识拓展3】完全平方公式的含参问题例3．（2022·山东·宁阳八年级阶段练习）已知是完全平方式，则m的值为（

）A．8 B． C．24 D．【答案】D【分析】根据完全平方式得出mx＝±2•2x•6，再求出m即可．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴mx＝±2•2x•6，解得：m＝±24，故选：D．【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．【即学即练3】3．（2022·山东·宁阳八年级阶段练习）当__________时，是完全平方公式．【答案】4【分析】根据乘积二倍项确定这两个数，再根据完全平方公式的特征即可求解．【详解】解：∵是完全平方公式，∴，∴，解得故答案为：4【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．【知识拓展4】完全平方公式的知二求二例4．（2022·湖南双峰·七年级期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求和的值．【答案】（1）45；（2）47【分析】（1）利用完全平方公式的变形，即可求解；（2）由得，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】解：（1）因为，所以又因为，，（2）由得，即，所以，由得，即，所以．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握，及其变形是解题的关键．【即学即练4】4．（2022·重庆七年级期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝________．【答案】1【分析】利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入，即可求出xy的值．【详解】解：∵（x+y）2=5，（x-y）2=1，∴（x+y）2-（x-y）2=4xy，即5-1=4xy，则xy=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（2022·辽宁·丹东七年级期末）若，则的值为_______．【答案】11040【分析】利用完全平方公式列出关系式，把各自的值代入计算即可求出所求．【详解】解：∵，，∴，知识点03乘法公式拓展知识点==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc同样，a、b、c可以通过换元。如令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc立方和与立方差公式：；完全立方和与完全立方差：=【知识拓展1】三个数的完全平方公式例1．（2022·山东威海·八年级期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．（1）若用不同的方法计算这个正方形的面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______（只要写出一个即可）；（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足，，求的值；②若三个实数x，y，z满足，，求的值．【答案】（1）；（2）①45；②-12【分析】（1）根据大正方形的面积等于所有小正方形与矩形的面积和即可得解；（2）①利用（1）中等式可将直接平方然后变形，代入已知式子的值求解即可；②利用幂的乘方与同底数幂的乘除整理得到，然后将平方，由（1）公式整理即可得解．【详解】解（1），故答案为：；（2）①，且，；②，，，，，，．【点睛】本题主要考查整式混合运算，幂的混合运算，根据题意得到新等式，再利用新等式进行整理计算是解题的关键．【即学即练1】1．（2022·福建）我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：就可以用如图所示的面积关系来说明．(1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：(2)若求的值；(3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为的100个立方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?【答案】（1）；（2）（3）1260元【分析】(1)根据正方形的面积等于正方形里各个图形的面积之和即可解答；找到与求出的代数恒等式的对应字母：a=2x，b=-y，c=-3，代入求出的代数恒等式即可.(2)根据（1）中求出的代数恒等式，先求出，再把整体代入即可求值.(3)先确定立方体的一个面需要A型、B型、C型卡片各几张，需多少费用，再求1个，100个的费用.【解析】(1)(2)∵∴(3)故立方体一面需A型卡片1张、B型卡片2张、C型卡片1张，需：0.7+0.5×2+0.4=2.1元100个小立方体需：2.1×6×100=1260元.【点睛】本题考查的是多项式乘法的几何意义，将多项式的乘法用几何图形的面积进行说明，能用不同方法表示图形的面积是关键.【知识拓展2】立方公式例2．（2022·广东·佛山市七年级阶段练习）（1）用两种不同方法计算同图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式．（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．（3）利用上面所得的结论解答：①已知x+y＝6，xy＝5，求﹣y的值．②已知|a+b﹣5|+（ab﹣6）2＝0，求a3+b3的值．【答案】；=；或；【分析】（1）利用面积相等推导公式；；（2）利用体积相等推导；（3）①应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；②先计算出，，再由知识迁移的等式可得结果．【详解】（1）∵大正方形的边长为∴大正方形的面积为，∵小正方形的边长为∴小正方形的面积为，∵四个长方形的面积为：，且小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，∴；（2）∵大正方体的棱长为，∴大正方体的体积为，∵大正方体的体积可以看成长方体和小正方体的体积和，∴大正方体的体积为，∴=，故答案为：=；（3）①∵，，，∴，∴或，当，得，∴，当，得∴，∴或；②∵，∴，，∴，，∵=，∴=∴．【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义，能够由面积相等过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．【即学即练2】2．（2022·四川·金堂七年级期中）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可得到、、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2所示的大正方体是若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________．利用上面所得的结论解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=，求x-y的值；（2）已知，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．【答案】（1）2；（2）40【分析】根据正方形的面积两种计算方法，一种是边长的平方，一种是大正方形减去四个长方形的面积，即可得到等式；根据正方体的体积的两种算法得到等式，一种是棱长的立方，一种是小正方体和长方体的和计算；（1）将条件代入等式计算即可；（2）中先从条件中得到a+b＝4，ab＝2，然后将其代入等式计算即可．【详解】解：如图1，方法一：已知边长直接求面积为，方法二：阴影部分面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积，所以面积为，∴等量关系式为：；故答案为：．如图2，方法一：已知棱长直接求体积为，方法二：正方体的体积是长方体和小正方体的体积和，即，∴等量关系式为：．故答案为：．（1）将x+y＝3，xy代入，得，∵x＞y，∴x﹣y＝2．（2）∵，∴a+b＝4，ab＝2，将其代入，即，∴64﹣6（a+b）＝64﹣24＝40．【点睛】本题主要利用图象探究式的等量关系，要结合图象分析，后面是等量关系的应用，先分析适用于等量关系的条件然后代入计算即可．3．（2022·无锡市天一实验学校七年级期中）（知识生成）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分（4个完全相同的小长方形）的面积可以得到的等式是：．（知识迁移）类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：．（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求的值．【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）18【分析】（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积即：（a+b）2-（a-b）2，又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab即可求得；（2）大正方体被切割成了8个小正方体或长方体故而求它们的体积和，再直接求大正方体的体积可解的恒等式；（3）由（2）的结论将已知代入即可求得值．【详解】解：（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积即：（a+b）2-（a-b）2又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab∴（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）∵八个小正方体或长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3∴a3+b3=（a+b）3-3a2b-3ab2=（a+b）3-3ab（a+b）将a+b=3，ab=1代入上式可得a3+b3=33-3×1×3=18故a3+b3的值为：18．【点睛】本题主要考查了平方差，立方和公式的几何背景，用分割求解和整体计算可解得．能力拓展能力拓展考法01整式乘法的归纳猜想问题【典例1】（2022·河南南阳·八年级阶段练习）我国宋朝数学家杨辉年的著作《详解九章算法》给出了在（为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“杨辉三角”找规律，可知展开后的系数为n，据此即可作答．【详解】，项的系数为2；，项的系数为3；，项的系数为4；以此类推，（其中）展开后的系数为n，即展开后，的系数为2019，故选：D．【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，运用“杨辉三角”得到（其中）展开后的系数为n，是解答本题的关键．变式1．（2022·四川·宣汉县峰城中学七年级期中）探究应用：(1)计算：＝；＝；(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：；（请用含a、b的字母表示）．(3)直接用公式计算：＝；＝．【答案】(1)，(2)(3)，【分析】（1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用得出的公式计算即可．（1）解：==；==故答案为：，．（2）由（1）得故答案为：．（3）==；==．故答案为：，．【点睛】此题考查了多项式乘多项式及探索规律题，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．变式2．（2022·福建宁德·七年级期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：①；②；③；…你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：①；②；③；…(1)由此我们可以得到：①_______；②_______．(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算：．【答案】(1)①②(2)【分析】（1）①根据题干中发现规律可直接得出结果；②应用①中的结论求解即可；（2）将原式变形，然后利用（1）中规律求解即可．（1）解：①由规律可得：；②；故答案为：①；②；（2）=（x+1）2011-1．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及规律问题，理解题意，找出相应的规律是解题关键．考法02配方的运用【典例2】（2022·河南·镇平九年级阶段练习）阅读材料例：求代数式的最小值．解：，可知x=-1时，有最小值，最小值是-8，根据上面的方法解决下列问题：(1)当x为何值时，取得最大值？最大值是多少？(2)直接写出多项式最小值是．【答案】(1)当x＝1时，﹣3x2+6x﹣2有最大值，最大值是1(2)5【分析】（1）将多项式化成，利用配方法后可得结论；（2）将多项式重新分组，改写成，配方后可得结论；（1）解：∴当x=1时，有最大值，最大值是1；（2），当a=2,b=-3时，多项式有最小值，最小值是5，【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键．变式1．（2022·贵州遵义八年级阶段练习）阅读材料：若，求、的值．解：，，，，，．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知，求的值；(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值；(3)已知，，则．【答案】(1)(2)的最大边的值为4或5或6(3)3【分析】（1）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出x、y的值，进而得到2x+y的值；（2）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出a、b的值，然后根据三角形的三边关系，即可求出△ABC的最大边c的值；（3）先将已知条件变形得到a=b+4，将其代入，再类比材料中的解法，结合完全平方公式整理得到；接下来利用非负数的性质，即可求出b和c的值，将b的值代入a=b+4，即可求出a的值，最后将a、b、c的值代入a+b+c中，计算可得答案．（1），，且，解得：，，则；（2），且，解得：，，的三边长、、都是正整数，，的最大边的值为4或5或6；（3），即，代入得：，整理得：，，且，即，，，则．故答案为：3【点睛】本题考查了知识拓展类题目，用到了完全平方公式的变形求值，及三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．变式2．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当，式子x+的最小值为；(2)当，代数式最大值为多少？并求出此时x的值；(3)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？【答案】(1)4(2)当x＜0时，代数式最大值为-24，此时x的值为-3；(3)长为8米，宽为4米时，所用篱笆最短，最短篱笆为16米．【分析】（1）根据题意a＞0，b＞0，则有不等式a＋b≥2，当且仅当a＝b时取到等号，即可得出答案；（2）根据题意a＞0，b＞0，则有不等式a＋b≥2，当且仅当a＝b时取到等号，即可得出答案；（3）若x＋2y最小，则x＋2y≥＝16，当且仅当x＝2y时取得等号，再根据xy＝32，分别解得x和y的值，即可得出结论．（1）解：当x＞0时，x＋≥2＝4，x＋的最小值为4；（当a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab,当且仅当a＝b时取到等号）故答案为：4（2）解：当x＜0时，＝−[（−4x）＋（−）]≤−2＝−2×12＝−24，当且仅当−4x＝−，即x＝−3时取到等号，∴当x＜0时，代数式最大值为-24，此时x的值为-3；（3）解：设长为x，宽为y.则xy＝32，欲使x＋2y最小，∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2＝2＝2＝2×8＝16，当且仅当x＝2y时取得等号，由，解得，x＝8，y＝4，即长为8，宽为4时，所用篱笆最短，最短篱琶为16米．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是运用题中a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a＋b≥2，当且仅当a＝b时取到等号．分层提分分层提分题组A基础过关练1．（2022·汕头市八年级期末）若，，则的值为（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据平方差公式计算即可得到答案【详解】解：∵，∴，∴．故选B．【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键．2．（2022·隆昌市知行中学月考）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（）A．(x+a)(x-a)B．(b+m)(m-b)C．(-x-b)(x-b)D．(a+b)(-a-b)【答案】D【分析】根据完全平方公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中两项完全相同．【解析】解：A、B、C、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；D，后边提取负号得：-（a+b）（a+b），故能运用完全平方公式进行运算．故选：D．【点睛】本题考查完全平方公式的结构，解题的关键是注意两个二项式中两项完全相．3．（2022·绵阳市初二课时练习）如果，那么a、b的值分别为（）A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25【答案】D【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故选D．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．（2022·杭州市七年级期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a2﹣4b2＝_____．【答案】10【分析】从结论入手，用平方差公式进行因式分解，再对第一个条件进行变形即可求出答案．【详解】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝5×2＝10．故答案为：10．【点睛】此题考查了平法差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．5．（2022·四川甘孜·初二期末）已知，则__________．【答案】2【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。【解析】解：当时，原式．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键．6．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）计算：_______________________【答案】【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．7．（2022·山东·滨州市八年级期末）若代数式是一个完全平方式，则__．【答案】±10【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，∴，∴k=±10．故答案为：±10．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．8．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B（a＞b＞0），现将B放在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．（1）若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为______；（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为______（用含m，n的代数式表示）．【答案】

4

m＋n##n+m【分析】（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，根据面积公式可得答案；（2）先求出图乙中阴影部分的面积，可得，2ab=n，利用=求解即可．【详解】解：（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，因此面积为，当a＝5，b＝3时，=．故答案为：4；（2）∵图乙中阴影部分的面积可以看作是从边长为（a+b）的正方形面积中减去两个边长分别为a、b的正方形面积，即，∴2ab=n，由（1）知，=m，∴==m＋n，即正方形A，B的面积之和为m＋n，故答案为：m＋n．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，由面积之间的关系得出关系式是正确解答的关键．9．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）已知，．求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)14(2)12【分析】（1）根据求解即可；（2）根据求解即可（1）解：∵，∴=．（2）解：∵，∴=．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．10．（2022·杭州市七年级期中）先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．【答案】﹣26m2+16n2，－12【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案．【详解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3（9m2﹣4n2）＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2，∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2（13m2﹣8n2）＝﹣2×6＝﹣12．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．11．（2022·福建·漳州市七年级阶段练习）运用整式乘法公式简便计算：．【答案】1【分析】把原式第二部分变形为平方差公式计算即可得到解答．【详解】原式=．【点睛】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的各种变式是解题关键．题组B能力提升练1．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图甲中根据阴影部分面积等于大正方形减去小正方的面积，图乙中直接求长方形的面积即可，根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解．【详解】解：图甲阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积等于两个图形中阴影部分的面积相等，故选C．【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，正确的求出阴影部分面积是解题的关键．2．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2右边的图形的面积=（a+b）（a-b）．∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键．3．（2022·湖南岳阳·初一期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用如图1可以得到，那么利用如图2所得到的数学等式是（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】由图2可知，正方形的面积有两种求法,分别求解，即可得到等式.【解析】图2的正方形面积第一种求法为；第二种求法是把它分割成9个图形的面积之和，为故选B.【点睛】此题主要考查乘法公式的几何验证，解题的关键是根据图形的面积求解.4．（2022·湖南双峰·七年级期中）无论，为何值，代数式的值总是（）A．非负数 B． C．正数 D．负数【答案】C【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．【详解】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．5．（2022·广西兴业·月考）代数式的最小值为（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式∵∴即代数式故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．6．（2022·山东威海·七年级期中）如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利用完全平方公式可求解．【详解】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式，∴x为4，故选C【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．7．（2022·内蒙古七年级阶段练习）若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案．【详解】解：，．故选：D．【点睛】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．8．（2021·江门市第二中学初二月考）若，则________________.【答案】8【分析】先把可化为，再将化为，然后代入即可解答。【解析】解：∵可化为，化为∴原式==32-1=8【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键在于对等式的变形和完全平方公式的灵活运用。9．（2022·湖南永州·七年级期末）根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是______．【答案】7【分析】先根据规律可得，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律即可得．【详解】解：由题中的规律可知，，将代入得：，则，因为，，，，，，所以的末位数字是按为一个循环的，因为，所以的末位数字与的末位数字相同，即为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了与多项式乘法相关的规律、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．10．（2022·四川·大竹县文星中学七年级期中）探究应用：(1)计算：①；②；(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：______（请用含a，b的式子表示）(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（

）A．

B．C．

D．(4)直接用公式写出计算结果：______．【答案】(1)；(2)(3)C(4)【分析】（1）按多项式的乘法法则进行展开后，合并同类项即可得；（2）根据（1）中的计算进行总结即可；（3）根据（2）中总结的公式特点进行判断即可；（4）利用（2）中的公式进行计算即可．（1）解：；．（2）解：如中，，，，∴发现的公式为：．故答案为：（3）解：A、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；B、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；C、，符合（2）中公式规律，故符合题意；D、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意．故选：C（4）解：根据公式，原式．故答案为：【点睛】本题考查了多项式乘多项式及探索规律题，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．11．（2022·四川射洪中学月考）已知，求代数式的值．【答案】12【分析】将原式乘2，即可分成3个完全平方式，代入已知数据可求解．【解析】原式===原式【点睛】本题考查求代数式的值，利用整体代入思想，把某代数式看作一个“整体”，即当成一个新的字母，再求关于这个新字母的代数式的值，运用整体思想的关键是找准被看作整体的代数式．12．（2022·扬州七年级期中）阅读材料：例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，∴a＝1，b＝．参照上面材料，解决下列问题：（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．【答案】（1）x＝﹣4，y＝6；（2）【分析】（1）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解；（2）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解.【详解】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0，∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0，解得，x＝﹣4，y＝6，故答案为：x＝﹣4，y＝6；（2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，（x+2y）2+（x﹣1）2＝0，则，解得x+y＝1﹣＝，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形以及完全平方数的非负性的应用，掌握完全平方数的非负性是解题的关键.13.（2022·陕西咸阳·七年级期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积；方法1：______；方法2：______；(2)由（1）写出，，mn这三个代数式之间的等量关系：______；(3)根据（2）中得到的等量关系，解答问题：若，，求．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示之．（2）(m+n)2，(m−n)2，mn分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系．（3）由（2）得出的关系式变形即可得结果．（1）解：方法1：由图形可知，大正方形面积减去四个小长方形面积来表示即为阴影部分面积，大正方形边长为，则大正方形面积为，所以阴影部分面积为；方法2：阴影部分为正方形，边长为，故面积可表示为；故答案为：；．（2）∵与都表示同一个图形面积，∴－4．故答案为：－4．（3）∵2a+b=6，ab=4，∴【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．14．（2022·江苏·七年级期中）【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：(1)写出图1中所表示的数学等式_________．(2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．(3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．【答案】(1)(2)(3)(4)13【分析】（1）根据大正方形面积=两个边长分别为a、b的小正方形面积+2个长方形面积进行求解即可；（2）根据空白部分的面积=大正方形面积-4个长方形面积进行求解即可；（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图甲和图乙的阴影部分面积求出，，据此求解即可．（1）解：∵，，∴，故答案为：；（2）解：∵，，故答案为：；（3）解：∵，∴，∴，∴；（4）解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由题意得：，，∴，故答案为：13．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键．题组C培优拔尖练1．（2022·江苏·扬州市七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

……

……请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（

）A．2022 B． C． D．4042【答案】B【分析】首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．【详解】解：由题意：，…，…，可知，展开式中第二项为含项，∴展开式中含项的系数是﹣4044．故选B．【点睛】本题考查杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题．2．（2022·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．【解析】2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2•29+1=（29+1）2，此时n=9+1=10，

218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2•217+1=（217+1）2，此时n=2×17=34，

1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2•29•2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此时n=-20，

综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．故选：D．【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．3．（2022·郑州七年级月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（）A．136 B．86 C．36 D．50【答案】B【分析】根据完全平方公式进行变形，可得出答案．【详解】解：设a=m-53，b=m-47，则ab=25，a-b=-6，∴a2+b2=（a-b）2+2ab=（-6）2+50=86，∴（m-53）2+（m-47）2=86，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．4．（2022·湖南·岳阳八年级阶段练习）已知，则的值是___________．【答案】62【分析】将已知等式两边平方，化简可得结果．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：62．【点睛】本题考查了分式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．5．（2022·四川师范大学附属实验学校八年级期中）当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式．【答案】±140【分析】利用完全平方公式的结构特征求解即可．【详解】解：∵100－kxy+49＝是一个完全平方式，∴k＝±140，故答案为：±140．【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式中和的平方等于平方和加乘积的二倍，差的平方等于平方和减乘积的二倍．6．（2022·湖北·八年级期末）已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．【答案】2大4【分析】先把配成完全平方式与一个常数和的形式，然后根据任何数的平方都是非负数即可求解．【详解】解：，∵