第3讲随机变量及其分布（原卷版）

第31讲随机变量及其分布知识清单知识点01：离散型随机变量知识点02：离散型随机变量的分布列知识点03：离散型随机变量分布列的性质知识点04：离散型随机变量的均值(数学期望)与方差知识点05：均值(数学期望)与方差的性质知识点06：二项分布知识点07：超几何分布知识点08：正态分布题型讲解（举三反三）题型1：分布列的性质题型2：离散型随机变量的分布列及数字特征题型3：均值与方差中的决策问题题型4：二项分布题型5：超几何分布题型6：正态分布强化训练一、单选题（8）二、多选题（3）三、填空题（3）四、解答题（5）知识点01.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.知识点02.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.知识点03.离散型随机变量分布列的性质(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.知识点04.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(数学期望)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝n∑i=1xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝n∑i=1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(知识点05.均值(数学期望)与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).知识点06.二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).知识点07.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min知识点08正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值1σ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.题型1：分布列的性质【例11】（2023·全国·模拟预测）两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（

）【变式11】（2021·河南南阳·模拟预测）已知为正数，随机变量的分布列为则（

）A． B． C． D．0123(1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A“摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件A和事件的概率；题型2：离散型随机变量的分布列及数字特征A． B． C． D．3【例22】（2024·全国·模拟预测）随机变量的分布列如下：012【例23】（2025·陕西西安·模拟预测）某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示：(1)求m的值；X01Pb【变式22】（2025·湖南·一模）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为．【变式23】（2025·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题.(1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差；(2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率.题型3：均值与方差中的决策问题(1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A、B、C、D四个选项中任选一个选项；策略二：在A、B、C、D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的期望；【例32】（2025·陕西安康·模拟预测）目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1.(1)若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列；(2)为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？【例33】（2025·山西·一模）新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0分），某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的．(1)已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率；(2)小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望．(2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围.【变式32】（2024·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局．(1)求甲在第3局中获胜的概率；(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金．(1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；(2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；题型4：二项分布A． B． C． D．【例43】（2025·浙江杭州·三模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，；(2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由．A． B． C． D．【变式43】（2025·云南大理·模拟预测）在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6.(1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望；(2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率.题型5：超几何分布A．3 B．4 C．5 D．6【例53】（2025·河北·模拟预测）某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”．(1)从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；(2)从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望．①取出的最大号码服从超几何分布；②取出的黑球个数服从超几何分布；③取出2个白球的概率为；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为A．①② B．②④ C．③④ D．①③④(1)在一次测试中输入了个语句，翻译结果有个被认可，现从这个语句中抽取个，以X表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，求的分布列和数学期望；题型6：正态分布A． B． C． D．【例63】（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：每周体育锻炼的时间（小时）人数34811412085(1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）；(2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．一、单选题A． B． C． D．A．1.8 B．3.6 C．4.2 D．4.8A．180 B．185 C．190 D．195123A． B． C． D．5．（2021·全国·模拟预测）2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是我国经济里程碑式的新飞跃.尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产业产值增长量分别为0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为（

）A． B． C． D．A． B．7 C． D．6二、多选题10．（2025·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为456780.10.30.311．（2025·湖南长沙·二模）下列说法中，正确的是（）三、填空题13．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是．四、解答题(1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望.16．（2025·陕西汉中·一模）某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果．(1)设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率；(2)若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中