初中七年级数学下册：一元一次方程解行程问题与其他典型问题教案

初中七年级数学下册：一元一次方程解行程问题与其他典型问题教案

学科：初中数学

年级：七年级下册

版本：人教版

课时：1课时(约45分钟)

一、课标要求与教材分析

（一）课标要求解读

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对本阶段“方程与不等式”领域提出了明确要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。在解决实际问题中，要求学生能通过分析问题，寻找等量关系，经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程，发展模型观念与应用意识。本节课的“行程问题”及其他典型问题，正是培养学生运用一元一次方程这一数学模型解决复杂现实情境的绝佳载体，旨在提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。

（二）教材内容与地位分析

本节课选自人教版七年级数学下册第三章《一元一次方程》的后续应用部分。在此之前，学生已经学习了方程的概念、等式的性质以及解一元一次方程的一般步骤。本节课是将方程知识从单纯的技能操练转向综合应用的承上启下之关键节点。教材通过“行程问题”这一经典模型，引导学生将复杂的文字叙述转化为清晰的数学表达式（方程），其思想方法可迁移至后续的工程问题、利润问题、配套问题等诸多应用领域，乃至八年级学习的分式方程、九年级学习的一元二次方程的应用。因此，本节课的教学效果直接关系到学生建模思想的确立和应用能力的形成。

二、学情分析

（一）认知基础

1.知识储备：学生已经掌握了解一元一次方程的基本方法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），并初步接触了简单的列方程解应用题（如数字问题、和差倍分问题），对寻找等量关系有初步体验。

2.经验储备：学生在小学阶段已经接触过用算术方法解决基本的相遇、追及问题，对速度、时间、路程三者的基本关系（路程=速度×时间

）非常熟悉。

（二）潜在困难与障碍

1.思维转型困难：学生习惯于小学算术的逆向思维（从问题出发，逆向推导条件），对代数方法的正向思维（设未知数，用未知数表示其他量，寻找等量关系建立方程）尚不适应，常常感觉“绕弯子”。

2.复杂情境分析障碍：面对涉及多个对象、多种运动状态（如相遇、追及、环形跑道、顺逆流航行）的综合性问题时，难以清晰梳理运动过程，准确提取有效信息，常因对题意理解不清而导致等量关系错误。

3.符号化表达能力欠缺：将文字语言描述的动态过程，准确翻译为用未知数、已知数及运算符号表示的代数式存在困难。

4.单位换算与忽视：行程问题中常涉及速度单位（如米/秒与千米/小时）的换算，以及时间单位（小时与分钟）的统一，学生容易忽略，导致方程两边量纲不一致。

（三）教学应对策略

针对以上学情，本设计将采用“情境直观化、过程图示化、关系表格化、步骤程序化”的策略。利用动画或线段图直观展示运动过程；借助表格系统梳理不同对象在不同阶段的已知量和未知量；总结列方程解应用题的一般思维程序，帮助学生跨越从算术思维到代数思维的鸿沟。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.熟练掌握行程问题中的基本等量关系：路程=速度×时间

。

2.能准确分析相遇问题、追及问题、环形跑道问题中的运动过程，并找出其中的等量关系（如总路程和、路程差、跑道长等）。

3.能合理设未知数，熟练运用列表、画线段图等方法分析题意，列出方程解决上述类型的行程问题。

4.能将行程问题中的建模思想迁移至工程问题、配套问题等其他典型应用问题，并列出相应方程。

（二）过程与方法

1.经历“审题—分析—图示/列表—建模—求解—检验—作答”的完整解题过程，掌握用一元一次方程解决实际问题的基本步骤。

2.通过对比算术解法与方程解法，体会代数方法在解决复杂问题时的普适性和优越性，感受模型思想。

3.在小组合作探究中，提升信息提取能力、语言转译能力和逻辑表达能力。

（三）情感、态度与价值观

1.在解决贴近生活的实际问题过程中，体会数学的应用价值，激发学习兴趣。

2.通过克服复杂问题分析的挑战，培养不畏困难、严谨求实的科学态度和理性精神。

3.在交流与反思中，形成合作意识和批判性思维。

四、教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.运用画线段图、列表格等方法分析行程问题的数量关系。

2.3.寻找并建立各类行程问题（相遇、追及）中的等量关系，正确列出方程。

4.教学难点：

1.5.对复杂动态过程（如环形跑道多次相遇、航行问题中的静水速度与水流速度）的抽象与理解。

2.6.从问题中准确识别有效信息，并将其转化为代数语言，特别是如何根据不同的等量关系灵活设未知数。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含运动过程动画演示）、实物投影仪、导学案。

2.学生准备：直尺、铅笔、练习本、预习导学案中的基础回顾部分。

六、教学过程设计

第一阶段：创设情境，温故知新(约5分钟)

活动一：情境导入，激活旧知

教师展示高铁运行、快递配送、体育竞赛等动态图片或短视频。

师：同学们，我们的生活中充满了“运动”。如何精确地计算两车何时相遇、快递何时送达、运动员何时超越？这离不开对运动过程中数量关系的数学刻画。今天，我们就用已经掌握的“一元一次方程”这把利器，来攻克这些有趣的“行程问题”。

活动二：基础回顾，搭建支架

1.快速口答：已知速度v、时间t，路程s=？；已知路程s、时间t，速度v=？；已知路程s、速度v，时间t=？

2.请将下列关系用字母表示：

1.3.甲的速度是5km/h，乙的速度是vkm/h，甲先行2小时，乙再出发，则甲走的路程是______，乙走的路程是______。

2.4.A、B两地相距S千米，甲从A到B，乙从B到A，同时出发，相遇时甲走了m千米，则乙走了______千米。

3.5.甲在乙后方100米，甲速度是xm/s，乙速度是ym/s（x>y），同时同向出发，甲追上乙时，甲比乙多走了______米。

（通过填空，复习基本公式，并为后续用代数式表示相关量做铺垫。）

第二阶段：新知探究，建模引领(约25分钟)

核心探究一：相遇问题

例题1（导学案示例）：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶90公里；一列快车从乙站开出，每小时行驶140公里。两车同时开出，相向而行，多长时间后两车相遇？

【教学设计】

1.动画演示：用课件动画清晰展示“相向而行”至“相遇”的全过程，强调两车所用时间相同。

2.引导分析：

1.3.设未知数：设两车出发x小时后相遇。

2.4.画线段图：师生共同在黑板上绘制线段图，将抽象的“480公里”和两车运动的路程直观表示出来。

甲站——————(相遇点)——————乙站

慢车路程→←快车路程

90xkm140xkm

总路程：480km

3.5.填表梳理：

对象

速度(km/h)

时间(h)

路程(km)

慢车

90

x

90x

快车

140

x

140x

4.6.寻找等量关系：从线段图或表格中清晰可见，慢车路程+快车路程=总路程

。

7.建立模型：根据等量关系列出方程：90x+140x=480

。

8.求解验证：学生独立解方程230x=480

,x=48/23≈2.087

（小时）。引导学生讨论作答格式，并可将时间换算为约2小时5分钟。强调检验：将x值代入，90*(48/23)+140*(48/23)=230*(48/23)=480

，符合题意。

9.方法提炼（板书）：

1.10.等量关系：甲路程+乙路程=总路程（相距路程）

2.11.关键：同时出发，则运动时间相等。

变式训练1：将例题1改为“慢车先开出1小时，快车再相向开出”，问快车开出几小时后两车相遇？

引导学生分析时间差异：慢车时间比快车多1小时。设快车开出x小时后相遇，则慢车用时为(x+1)

小时。等量关系不变。方程：90(x+1)+140x=480

。对比与例题1设未知数的异同，体会“设直接未知数”的优化思想。

核心探究二：追及问题

例题2：小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。

(1)爸爸追上小明用了多少时间？

(2)追上小明时，距离学校还有多远？

【教学设计】

1.动画演示：展示小明先行、爸爸后追的动态过程。

2.对比分析（与相遇问题对比）：

1.3.运动方向：同向。

2.4.等量关系核心：从出发点到追及点，两人所走的路程相等。

5.图示化分析：

家——————(追及点)—————————学校

小明：80m/min，先走5min，后走tmin

爸爸：180m/min，走tmin

强调：小明走的总时间比爸爸多5分钟。

6.列表辅助：

设爸爸追上小明用了x分钟。

对象

速度(m/min)

时间(min)

路程(m)

小明

80

x+5

80(x+5)

爸爸

180

x

180x

7.建立模型：等量关系：爸爸的路程=小明的路程

。方程：180x=80(x+5)

。

8.求解与拓展：

1.9.解方程得x=4

。答：爸爸用了4分钟追上小明。

2.10.对于问题(2)，引导学生用两种方法求解：①计算爸爸的路程180*4=720

米，则距学校1000-720=280

米；②计算小明的路程80*(4+5)=720

米，结果相同。培养学生从不同角度验证答案的意识和多解归一的思想。

11.方法提炼（板书）：

1.12.等量关系：快者路程=慢者先行路程+慢者后行路程

或快者路程=慢者总路程

。

2.13.关键：从同一地点出发（或视为同一起点），追及时路程相等。

变式训练2（环形跑道追及）：一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米；乙练习跑步，平均每分钟跑250米。两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人首次相遇？

引导学生理解环形跑道“同向追及”的等量关系是：快者路程-慢者路程=跑道一圈的长度

。设经过x分钟首次相遇，方程：550x-250x=400

。对比直线追及，深化对“路程差”的理解。

核心探究三：航行（飞行）问题

例题3：一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时。顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时。求无风时飞机的速度和两城之间的航程。

【教学设计】

1.概念辨析：清晰讲解并板书：

1.2.顺风速度=无风速度（静风速度）+风速

2.3.逆风速度=无风速度（静风速度）-风速

3.4.此关系类比于船在静水、顺流、逆流中的速度关系。

5.统一单位：2小时50分=2+50/60=17/6

小时。强调这是列方程前的关键步骤。

6.选择未知数：引导学生比较，设无风速度为xkm/h，还是设两城距离为ykm更简便？通常设“无风速度”为直接未知数，利用“往返路程相等”建立方程更直接。

7.列表分析：

设无风时飞机的速度为x千米/时。

飞行状态

速度(km/h)

时间(h)

路程(km)

顺风

x+24

17/6

(x+24)*17/6

逆风

x-24

3

3(x-24)

8.建立模型：等量关系：顺风航程=逆风航程

（因为往返于同一两城之间）。方程：(x+24)*17/6=3(x-24)

。

9.求解与检验：去分母（两边同乘6）求解。得出x值后，可代入计算航程。强调检验答案的合理性（速度应大于风速）。

第三阶段：迁移拓展，巩固提升(约12分钟)

活动一：方法迁移至“工程问题”

示例：一个工程，甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成。两队合作，需要多少天完成？

引导学生与行程问题类比：

1.将“总工作量”看作“总路程”，设为1。

2.将“工作效率”看作“速度”。

3.合作时，甲工作量+乙工作量=总工作量

，类似相遇问题。

设合作需x天，则方程：(1/20)x+(1/30)x=1

。强调寻找“单位1”和效率表示方法。

活动二：综合应用练习（导学案核心部分）

学生独立或小组合作完成以下梯度练习题，教师巡视指导，投影展示典型解法与错误。

【A组：基础巩固】

1.A、B两地相距15千米，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米。两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，几小时后两人相遇？

2.甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米。如果甲让乙先跑1秒，甲经过几秒可以追上乙？

【B组：能力提升】

3.一列客车长200米，一列货车长280米，在平行的轨道上相向行驶。从两车头相遇到两车尾相离经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3:2，问两车每秒各行驶多少米？

（提示：等量关系为客车路程+货车路程=两车车长之和

）

4.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母。为了使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

（引导学生分析配套比例，建立等量关系：螺母数量=2×螺钉数量

）

【C组：思维拓展】

5.某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时。已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时。若A、C两地的距离为10千米，求A、B两地的距离。

（此题需分类讨论C在A的上游还是下游，培养学生分类讨论思想。）

第四阶段：课堂小结，反思升华(约3分钟)

活动：师生共构思维导图

教师引导学生共同回顾本节课内容，形成结构化知识网络（板书或PPT生成）：

一元一次方程解应用题（行程类及其他）

|

v

核心步骤：审→设→找→列→解→验→答

|

v

分析工具：线段图、表格法

|

v

典型模型：

1.行程问题

-相遇：甲路程+乙路程=总路程

-追及：快路程=慢路程（同地）或快路程-慢路程=初始距离（路程差）

-环形跑道：相遇（反向）→路程和=一圈；追及（同向）→路程差=一圈

-航行：顺流(风)速=静速+水(风)速；逆流(风)速=静速-水(风)速

2.思想迁移：工程问题（把工作量看作路程，工作效率看作速度）

师：方程思想的核心是将未知视为已知参与运算，通过等量关系建立平衡。希望同学们能将今天的建模经验，运用到未来更多、更复杂的实际问题中去。

七、分层作业设计

1.必做题（面向全体）：

1.2.课本对应章节的练习题。

2.3.完成导学案【A组】和【B组】的错题订正与反思。

3.4.整理本节课的笔记，用自己的语言复述解决行程问题的关键步骤。

5.选做题（面向学有余力者）：

1.6.独立解决导学案【C组】第5题，并写出完整的分析过程。

2.7.自编一道涉及相遇和追及的综合型行程问题，并给出解答。

3.8.查阅资料，了解“相向而行”与“相对而行”在数学表述上的异同。

八、板书设计（纲要）

一元一次方程的应用（三）

——行程问题及其他

一、基本关系：路程(s)=速度(v)×时间(t)

二、典型模型与等量关系：

1.相遇问题：S甲+S乙=S总(同时出发，t相等)

图示：…→←…

例1：90x+140x=480

2.追及问题：S快=S慢(先)+S慢(后)(同地出发，路程等)

图示：