《机器人学基础》-第4章

第4章

机器人逆运动学机器人逆运动学是正运动学的逆过程,是在已知末端位姿矩阵的条件下求解满足条件的关节角的问题。逆运动学求解是对机器人进行轨迹规划、运动控制的基础,是机器人控制领域特别重要的问题。4.1

逆运动学解的存在性与多重解4.1.1解的存在性解的存在性问题取决于机器人的工作空间。简单地说,工作空间是指机器人末端执行器所能达到的范围。只有目标位姿在工作空间内,逆运动学的解才存在。机器人的工作空间分为可达工作空间、灵活工作空间与次工作空间。可达工作空间是指机器人正常运行时,末端执行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围。灵活工作空间是指在总工作空间内,末端执行器可以任意姿态达到的点。次工作空间是指总工作空间中去掉灵活工作空间所余下的部分所构成的工作空间。当一个机器人少于6自由度时,它在三维空间内不能达到全部位姿。对于所有包含转动关节和移动关节的串联型6自由度机构,其逆运动学均是可解的。4.1

逆运动学解的存在性与多重解4.1.2多重解问题除了解的存在性问题,求解逆运动学时容易遇到的另一个问题就是多解问题。例如对于一个具有3个旋转关节的平面机械臂来说,在具有合适的杆长和较大的关节运动范围时,它从任何方位均可到达工作空间内的任何位置,即它的逆运动学存在无数组解。多解问题就要求在进行逆运动学求解时,需要根据一定的标准选择一组合适的解,常用的选解标准有“最短行程”“最小能量”等原则。“最短行程”解即为在关节的运动范围内选择一组使得各个关节角的变化量最小的解。根据“最短行程”原则选择运动学逆解时也存在多种选择方式,例如对各关节的变化量进行加权,使得选择的解尽量移动靠近末端执行器的小连杆。此外,对于具有多重解的机器人,尤其是具有冗余自由度的机器人来说,选择运动学逆解时也需要考虑避障问题。4.2

三个相邻关节轴线交于一点的逆运动学求解逆运动学没有通用的求解算法,通常将机器人的逆运动学解法分为数值解法和解析解法两类。数值解法是指通过迭代的方法对运动学方程进行求解,此种方法求解速度较慢,且不能保证求出全部的解。解析法是指通过代数或者几何的方法,得到关节角的数学表达式,本课程主要讨论解析解法。解析法中几何法与代数法并不完全区别,几何法中可以引入代数描述,代数法可以通过几何性质来简化求解过程,二者仅是求解过程不同。根据可解性的定义,研究表明,所有包含转动关节和移动关节的串联型6自由度机构均是可解的。但是这种解一般是数值解,对于6自由度机器人来说,只有在特殊情况下才有解析解:例如存在几个正交关节轴或者有多个αi

为0°或±90°。一般计算数值解比计算解析解耗时,因此,在设计机械臂时重要的问题是使封闭解存在。4.2

三个相邻关节轴线交于一点的逆运动学求解具有6个旋转关节的操作臂存在封闭解的充分条件是相邻的三个关节轴线相交于一点,下面对下图所示三个相邻关节轴线交于一点的逆运动学进行求解。给定末端位姿矩阵如下4.2

三个相邻关节轴线交于一点的逆运动学求解根据第3章的正运动学可以求解出所示机构的正运动学表达式:令式(4-1)和式(4-2)相等,可以得到:解得：4.2

三个相邻关节轴线交于一点的逆运动学求解当θ2≠0时,可以解得:当θ2=0时,可以化作如下形式:4.2

三个相邻关节轴线交于一点的逆运动学求解即:可以解得:同理当θ2=π

时,可以解得:4.3逆运动学的几何解法下面以平面三连杆机器人为例来说明逆运动学的几何解法。针对如图所示的一个平面三连杆机构,其逆运动学问题可以描述为:给定末端坐标系原点的位置坐标x、y和末端连杆的方位角ϕ,计算满足条件的3个关节角θ1~θ3。图中用实线和虚线画出了一个末端位姿对应的两组解。4.3逆运动学的几何解法针对实线表示的一组解,根据余弦定理可以得到:其中l1

和l2

分别表示连杆1

和连杆2

的长。可以求解θ2:此种情况下解得的θ2

在0°~-180°的范围内,虚线代表的解可以通过θ′2=θ2

得到。4.3逆运动学的几何解法求解θ1

需要先得到β

和ψ

的表达式:则当θ2<0

时,对应图中实线解:则当θ2>0

时,对应图中虚线解:又因为该连杆机构始终位于平面内,角度可以直接相加,则三个连杆的转角之和即为末端连杆的姿态。根据上式求解θ3

则可以完成该机械臂的逆运动学求解。4.4逆运动学的代数解法针对如图所示的机械臂,已知末端坐标系原点的位置坐标x、y和末端连杆的方位角ϕ,则可以给定末端位姿矩阵如下:根据第3章的正运动学理论,求得正运动学方程:4.4逆运动学的代数解法令式(4-18)和式(4-19)相等,可以得到4个非线性方程:将式(4-22)和式(4-23)平方相加得到:则可以求解出4.4逆运动学的代数解法此时为了使θ2

有解需要保证,如果不满足此约束条件,则说明此时目标点不在机械臂的工作空间内。如果满足约束条件,则:可以解得:将式(4-22)和式(4-23)写成如下形式:令:则式(4-28)和式(4-29)可以写作:4.4逆运动学的代数解法式(4-32)和式(4-33)可以看作一个二元一次方程组,则可以解出:根据式(4-34)和式(4-35)解得:最后,由式(4-20)和式(4-21)可得:此时θ1

和θ2

为已知量,根据式(4-37)则可以最终求解出θ3。需要注意的是,由于根据式(4-26)和式(4-27)求解θ2

时有两组解,所以此平面三连杆机械臂最终可以解出两组解。4.5典型机器人的逆运动学举例例4.1针对下图中的RPR型三自由度机器人,求解其逆运动学。4.5典型机器人的逆运动学举例设给定机器人末端位姿矩阵为:令上式与下式相等4.5典型机器人的逆运动学举例可以得到6个非线性方程:可以解得：4.5典型机器人的逆运动学举例根据可以解得：当c1=0时当s1=0时4.5典型机器人的逆运动学举例例4.2对于图中的6自由度工业机器人来说,其逆运动学在工作空间内一般存在8组解。以下对其逆运动学进行求解。4.5典型机器人的逆运动学举例求解逆运动学时,给定末端位姿矩阵,根据第三章所给

可以计算

令:①求θ1。通过上一章学习可得：4.5典型机器人的逆运动学举例令因此，有：计算可得:或4.5典型机器人的逆运动学举例②求θ3。根据上一题可得：改写为如下形式：令:4.5典型机器人的逆运动学举例则可化为：令：4.5典型机器人的逆运动学举例则可化为：可以解得：4.5典型机器人的逆运动学举例③求θ2。令：其中整理得:可得：4.5典型机器人的逆运动学举例④求θ5。由机械臂关节位姿矩阵推导可知:由于前文已经求解出θ1~θ3,可以求解出

则根据可以求解出

的数值。令:4.5典型机器人的逆运动学举例得解得4.5典型机器人的逆运动学举例下面分两种情况讨论θ4

和θ6

的解法。当θ5≠0°时:⑤求θ4

。根据前文得：因此可得:4.5典型机器人的逆运动学举例⑥求θ6

。根据前文得：因此可得:4.5典型机器人的逆运动学举例当θ5=0°时,s5=0,c5=1,可以得到:此时只能求出θ4

和θ6

的和,这种情况可以先任意选取θ4,再根据和角确定θ6

的值。在实际应用中,通常选择θ4

的值与当前值保持不变。至此完成了RS10N型6自由度工业机器人逆运动学的完整求解。4.5典型机器人的逆运动学举例依照上述内容,采用美国MathWorks公司出品的Matlab软件,编写了RS10N型6自由度工业机器人逆运动学的完整求解实例,利用此程序可以依据工业机器人末端位姿求解各关节角度。4.6逆运动学对机器人的设计约束根据4.1节的内容可以知道,对于6自由度机器人来说,当存在几个正交关节轴或者有多个αi为0°或90°,可能得到解析解。所以当设计6自由度机械臂时,通常会有3根相交轴,并尽量使αi

为0°或90°。此外,为了使机械臂有更大的灵巧工作空间,通常将机械臂的末端连杆设计得短一些。习题4.1机器人的工作空间分为哪几种?如何定义?4.2

6自由度的机器人在何种条件下可能存在解析解?4.3试分析解析解和数值解各自的优点与局限性。4.4对于存在多重解的逆运动学问题,有哪些典型的选解标准?4.5如图所