广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模）数学试卷（含答案）

2026届普通高中毕业班适应性训练数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上,再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案:不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保证答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={−1,0,A.{−1,0}B.{2.在x2−2x8A.56B.-56C.70D.-703.已知复数z满足z⋅i=1−iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知等比数列an满足1a1+1a2+1a3=2A.4B.6.5C.8D.125.函数fx=xA.mn=0C.m−n6.在△ABC中,已知AB+AC=AB−AC=2ABA.−34BCB.−37.已知点P在圆x−22+y2=1上,点O0A.3+22B.3−8.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且A.32,2B.22二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示,其中两个数据被遮盖.成绩/分929395969899100人数5781413下列结论正确的是()A.众数为99B.极差为9C.25%分位数为96D.平均数大于中位数10.如图，在正四面体A−BCD中，点P,A.HFB.PQ⊥平面C.3D.直线DQ与直线PE所成角的余弦值为311.对于函数fx=aA.当ab>0时，函数fB.当ab<0时,函数fC.当fx最小值为b时,D.当a>0,b>0时,函数g三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知双曲线C:x2a2−y213.已知函数fx=xekx在区间−114.我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点P有nn∈N+,n≥3个共点等圆,其中任何两个圆都有两个不同的交点,但任何三个圆除点P外无其他公共点,记这n个共点等圆共有fn四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数fx=sinωx+φ的周期为π(1)求函数y=f(2)比较f11π8与f16.某公司为了了解A商品销售收入y(单位:万元)与广告支出x(单位:万元)之间的关系,现收集的5组样本数据如下表所示,且经验回归方程为y=x25689y162021m28y10.9619.242227.5230.28(1)求m的值；(2)现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析(观测值减去预测值称为残差)，记X表示抽到数据的残差为负的组数,求X的分布列和期望;(3)已知R2=1−i=1nyi17.已知函数fx(1)直线l过点0,23且与曲线y=fx(2)已知Pnxn,yn在导函数y=f′x的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1彼此外切.若18.如图.底面为平行四边形的直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，DC=CC1=4，(1)证明:CA1//平面(2)若平面AA1B1B与平面AMD1所成角的余弦值为(3)若BC⊥CD，直线PC⊥平面PAD1，则在平面AD1，M内是否存在点Q，使得19.已知点F为抛物线C:x2=2py的焦点,点G−(1)求C的方程与点F坐标:(2)过点0,3的直线，与抛物线C相交于A,B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线y=−3(i)若P为线段AB的中点,求证:直线QA为抛物线C的切线;(ii)若直线QA为抛物线C的切线,过点Q作直线AF的垂线,垂足为H,求GH的最大值.1.C集合A={−1,0,故选:C.2.A第4项的二项式系数为C8故选:A.3.C由z⋅i=1−所以复数z在复平面内对应的点为−1所以对应点位于第三象限.故选:C.4.C因为数列an为等比数列,且a2=2又因为1a1+1a可得a1+a3a所以S35.B代入x=0得f0=0代入n=0得fx=xx−m整理得x+m=x−m对任意x恒成立,平方化简得4mx=0对任意x恒成立,因此m=0,因此fx是奇函数等价于反之若m2+n2=此时fx=xx6.DAB+AC=AB−AC两边平方得又AB−AC=2AB即AC2=3AB2如图，∠BCA=30∘，向量AC与BC的夹角为30所以向量AC在BC上的投影向量为ACcos7.D设圆x−22+y2=1的圆心为C过O作圆的切线,设交点为P,如图,由图可知,当OP与圆相切,且P点在第四象限时,∠POA因为OC=2,CP=又A1,1,所以所以cos∠POA8.A由a2−a因此a2由于Δ=4故sin22B−1≥0,即sin22B≥结合B为锐角,则2B∈0,π,故sin2B=1,且因此0<A<π2且0又b=asinBsin故a2由于π4<A<π故a29.AC根据题意,总共有50名市民,所以成绩为92或93的共50−5则99分有14人，众数为99，A正确；极差为100−92因为50×25%=12.5,则第13个数分值为中位数是第25和第26两个数的平均数,由于这两个数都是99,所以中位数为99,设成绩为92的有aa>平均数为92=所以平均数小于中位数,D错误.10.ABD对于A,取BQ中点M,连接HM、在正四面体A−BCD中,根据题意,可得所以FM⊥BC,同理又FM∩HM=M,所以BC⊥平面FHM,HF⊂平面FHM又GH//BC,所以HF对于B,根据正四面体的性质可知AQ=DQ,则PQ⊥AD所以PQ⊥GE,同理又GE∩GH=G,所以PQ⊥平面EFHG,B对于C,设正四面体A−BCD顶点D在平面ABC上的射影为点O,则O为△ABC所以DO=所以3V4V所以3V三棱锥对于D,因为PE//所以∠DQH为直线DQ与直线PE所成的角,则cos∠DQH11.BCD函数fx的定义域为0当ab>0时,f′x=不妨取a>0,b>0,当0<x<ba时,当x>ba时,f′x>0,函数∴f易知当ba=1e时,函数fxmin当ab<0时,若a>0,b<0,因x>0,则ax−b若a⟨0,b⟩0,因x>0,则ax−b<0,f′x<0,则fx由A项分析可知,当fx最小值为b时,有afxmin=fb令t=ba,则lnt+令ht当0<t<1时，h′t>0所以ht在0,1上单调递增,在则hxmin=h1即ba=1,b=a,此时fxmin=当a>0,b由ba+t>0ba−t>0,可得则g′t=f′则g′故当t∈0,ba时,g′t<0,即gt12.y由双曲线方程为x2a2−y2b2=1由题意得:2b=2×2a=4a双曲线的渐近线方程为y=±因此,C的渐近线为y=±13.−∵f∵fx=xekx∴f′x≥0∴ekx1+kx≥∵eλx>0,∴1∴1∴k的取值范围为−14.21过同一点P有n个等圆,当增加第n+1第n+1个圆与前n个圆各有一个除P因此递推关系为:fn当n=3时,三个等圆过同一点每两个圆有2个交点,但P是公共点,所以除P外,每两个圆有1个交点,三个圆中两两组合的数量为C3因此f3由递推关系式可得:ff...f将这些式子累加得:f所以fn又因为fn=211,所以n2−因式分解得:n−21n+20=0,解得:又n∈所以n=15.(1)f(2)f(1)由条件可知,2πω=π,得fπ2=f2π3可知,函数f所以2×7π12+φ因为φ<π2,所以k=1所以fx(2)f11π8=sin2×11π8+π3=sin37π12=sin3π+π12=−sinπ1216.(1)x=y因为y=2.76x+5.44解得m=(2)5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，所以X可能取值为0,1,2,PPP所以X的分布列为X012P110353期望EX(3)i=1所以经验回归方程的拟合效果是不良好.17.1(2)S(1)因为fx=13x设切点坐标为x0,13x可得切线方程为y−13x0代入点0,23可得23=−2所以直线l方程为y=(2)由(1)可知:f′x=x2由题意可知:⊙Pn的圆心为Pnxn因为⊙Pn与⊙Pn+可得xn−xn+整理可得xn−xn+可知数列1xn是以首项1x1=1则1xn=1+则xn所以Sn18.(1)连接A1D,交AD1于点E,连接因为四棱柱ABCD−A1B1C所以E为A1D中点,又M为CD所以EM//CA1,又EM⊂平面AMD1,CA1⊄(2)以AB,AD,AA1则AB⋅AD=4×设平面AA1B1B则m⊥令y1=−2,则x1=cos设平面AMD1的法向量为又AM=由n所以2x令x2=2,则所以n=又m=mn由m⋅所以3cos所以cosθ=23或所以cos∠BCD(3)因为三棱柱ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，且BC⊥CD，故可以则A2设Px,y,z因为PC⊥平面PAD1,所以整理得x−2z=0x−12+y−22+α:x−2z=0上,其中平面要使得PQ为定值,则NQ//由已知θ=π2，由(2)得平面AMD1而n⋅n1=8−8=0则NQ//平面AM则直线NQ与平面AMD1无交点,故不存在点Q使得PQ19.(1)∵点G−2,1∴p∵点F为抛物线C:x2=4y(2)(i)∵过点0,3的直线与抛物线C相交于A,B两点，设过点0,3的直线方程为将y=kx+3代入C:整理得到x2如图,设Ax1,y1