广东省东莞市东华、东华松山湖高级中学2025-2026学年高三下学期寒假学习质量检测数学试题（含答案）

东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2025-2026学年高三寒假学习质量检测高三数学满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1.集合A=x x2A.−∞,−1B.C.1,32.设等差数列an的前n项和为Sn.若S3=15A.12B.15C.18D.213.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,已知角α的终边在第一象限,且cosα=13，将角α的终边按照逆时针方向旋转60∘，得到角βA.1+2C.22+4.已知复数z=2+i，设z,z在复平面内对应的向量分别为aA.5B.3C.5D.35.已知定义在R上的函数fx满足f1−A.f−13=1B.6.若a,b是方程lnx2+lnA.23B.27C.-27D.-237.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,A是C的左顶点，PA.32B.63C.18.已知函数fx=ax−x1x−x2x−x3a>0,设曲线y=fx在点A.18B.-8C.−23二、多项选择题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,A.PQ⊥BDB.BD1C.平面PQR//平面ACD1D.DR⊥10.下列命题正确的是()A.若X∼N4,B.已知Y关于x的经验回归方程为y=0.2x+a,且xC.一组样本数据x1,x2,…,xnn>2,其中x1是最小值,xn是最大值,则xD.若事件A,B满足PAB=PA1−P11.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,AC的中点为M,b=2,且cosCcosB=A.BB.△ABD的面积的最大值为C.若△ABC为锐角三角形,BM的取值范围为D.BD的最小值为2三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2x+ay5的展开式中含x4y的项的系数是13.有一摸球游戏,规则如下:在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10个白球,不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束.则最后只剩红球的概率为_____.14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题,通常通过计算它们之间的“距离”来实现,闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为A=aB=b1,b2,⋯,bn,则这两组数据间的闵氏距离dABq=k=1n四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙两人参加某高校的入学面试,入学面试有2道难度相当的题目,甲答对每道题目的概率都是23,乙答对每道题目的概率都是12,每位面试者共有两次机会,若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过,甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的,(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X，求X的分布列与期望.16.已知数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an(2)设集合P=x∣x=an,n∈N∗,Q=x∣x=6n−2,n∈N∗,等差数列cn17.如图,三棱柱ABC−A1B1C1中,平面BB1C1C⊥平面(1)证明:B1C//平面(2)证明:平面A1BM⊥平面(3)若∠CAA1=60∘，求直线AB18.已知函数fx(1)当a=1时，求函数fx的图象在点(2)若fx有两个零点，求实数a(3)设gx=ax−2ex+2a,若函数y=fx与y=gx19.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=(1)求椭圆C的方程；(2)过点2,0的直线l交椭圆C于A,B两点，M为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足OA+OB=mOM(3)如图，直线GH为椭圆C与抛物线C1:y2=2pxC与抛物线C1上,线段OH交C于点N,求△NGH1.C因为A=B={x∥x所以A∩B={x∣故选:C.2.B设等差数列an的公差为d,首项为a因为S3所以3a1+3×22d=所以a故选:B3.C因为α是第一象限角,所以sinα>0,所以又由题意可知β=所以sinβ故选:C.4.B复数z=2+i,则所以a=故a⋅故选:B5.C由f1−x=f1+x由f2−x=2−f2+x,可知函数对于f2−x=2−f2+x,取又由f1−x=f1+x,取x=1由函数的周期性和对称性,可得f4=故选:C.6.Clnx2+lnx5因为a,b是方程ln所以lna,lnb是方程则lna则loga故选:C7.D已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右焦点为F1−c,0,F2c故PF2=2c,又△PF1A为等腰三角形,若PF1=AF1,则2c=a−若PF1=PA,可得2c=a2+3c2,即若AF1=PA,可得a−化简得2ac=−2c2,因为c>0,所以a因此,椭圆的离心率为13故选:D8.Afxf因为k2=−f因为a>0,所以x2−x所以x1<x2<不妨取x1k1=f′x1=ax1−x2x1−x3>0, 9.AC对于A,因为P,Q分别是A1B1因为在正方体ABCD−A1B1C1D1因为BD//B1D1对于B,因为R,O1分别是BB1而RO1∩平面PQR=R,所以BD1与平面对于C,因为PQ//A1C1因为AC⊂平面ACD1,PQ不在平面ACD1内,所以因为RQ//BC1,因为AD1⊂平面ACD1,RQ不在平面ACD1又PQ∩RQ=Q,PQ,RQ⊂平面PQR如果DR⊥平面PQR,而RQ⊂平面PQR,所以则根据勾股定理有DR设正方体的棱长为1,则在直角三角形DAR中,AD所以DR2=ADD很显然DR2+RQ2=DQ2不成立,所以10.BD对于A,由于X∼NP1<X<对于B,将x,y=a,4.8代入y=0.2x+a对于C,将原来17个数从小到大排列,17×则17个数的75%分位数为17个数中的第13个数,去掉其中最大和最小两个数据后，15×75故剩下的15个数据的75%分位数为15个数中的第12个数字,也是17个数中的第13个数,故两者可能相等，C错误，对于D,PAB=PA1−PB=P故选:BD.11.ACD对于A,已知cosCcosB=2a即cosCsinB=2则有sinB+C=2又由于A∈0,π,所以sinA而B∈0,π,所以B=π对于B,在△ABC中,由余弦定理cosB=a2所以ac=a2+c2−4≥2ac由于S△所以△ABD的面积的最大值为23，故选项对于C,在△ABC中,由正弦定理得aa由AC的中点为M,有BM=BM△ABC为锐角三角形,则0<A<π当A∈π6,π2,有有203+163sin2A−π6∈对于D,设A=θ,所以a=433B==32tan故当2θ+φ=π2BD2取最小值323−873,所以BD的最小值为故选:ACD12.12x+ay5展开式的通项公式Tr+1=C5r2x5−rayr=故答案为:113.1在5个红球,10个白球中,5个红球的放法有C155种,即基本事件总数为C155,由于最后一个是红球,那么在前14个球中有10个白球,4个红球,其中4个红球的放法有故所求概率P=故答案为:1314.2法1:由题意得dMN令fx=1+e所以当x∈−∞,0时,f′x所以fx在−∞,0上单调递减,在0所以fx≥f0=2,所以当x≤t时,dMN1=t−x+1+当t<x<1+et时,dMN1=x当x≥1+et时,dMN1=x−t综上所述，dMN1法2:dMN1=t−x作QH⊥PM于H,令gx=ex−令g′x=0所以函数gx在区间−∞,0上单调递减,在区间0g故dMN1故答案为:2.15.(1)设事件A为“甲通过面试”，事件B为“乙通过面试”，PA=23+PB=12+所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率P(2)随机变量X的可能取值为2,3,4.P随机变量X的分布列为X234P1116所以随机变量X的期望为EX16.1(2)T(1)由Sn=当n≥2时,当n=1时,a所以数列an是首项为1,公差为3的等差数列.故a(2)因为P=x∴P又∵cn∈P∪Q,其中c∴c∵cn的公差是∴c又∵64∴解得:m=22,所以设等差数列cn的公差为d则d=所以cn所以cn的通项公式为c因此数列cn的前n项和T17.(1)连接AB1与A1B交于点N，连接三棱柱侧面AA1B1B为平行四边形,所以N又M为AC的中点,所以MN//又因为B1C⊄平面A1BM所以B1C//平面(2)因为∠BCC1=120∘又因为CC所以B1所以B1C12=因为平面BB1C1C⊥平面ACC1A1,平面所以B1C⊥平面又因为MN//B1C,所以MN⊥又MN⊂平面A1BM,所以平面A1BM(3)由∠CC1A1=∠故CA1以C为坐标原点，CA1,CC1则B1所以AB=设平面A1BM的法向量为则n⋅A1B=−3x−y+3则n=设直线AB与平面A1BM所成角为则sinθ故直线AB与平面A1BM所成角的正弦值为18.(1)由f′当a=1时，f故fx的图象在1,f1处的切线方程为y=−(2)由f′x当a≤0时，令f′x<0,fx当a>0时,令f′x=0,则x=a2f所以fx在0,a2单调递增,在故fx极大值=fa故fx有两个零点,即f(3)由于gx=ax−2ex+2a=依题意共有4个不同的零点,所以fx与gx不妨设y=gx的两个零点为x1,则有x1因为fx3=aln所以lnx又lnx<x,则(1)当x1<x2<x3<x4由②③得a=2代入①得lnx3又lnx将④代入⑤式可得2x3由等差数列性质及x4=x3+1,可得可得x4=ex3,解得x3=(2)当x1<x3<x2<x4时，即lnx3,x又lnx3将④代入⑥式可得x3+代入③可得x4=e4x3，解得x这与④矛盾，故实数a不存在.综上所述，不存在实数a使得四个零点成等差数列.19.1(2)0(3)4(1)由题意知，2a=22，所以设Px,yx∈−2,2因为P在椭圆C上,所以x22+y2则PF1⋅PF2=x2所以当x2=2时,取得最大值,即所以c2所以椭圆C的方程为x2(2)设直线l的方程为x=联立x=ty+2xΔ=4t2−8t2+2=因为OA+OB=mOM所以xM又点M在椭圆上,所以8mt2+2因为m∈455,433又t2>2,因此由弦长