高等数学第九章课外习题

第九章习题

A组

22

1.lim(x+,y)sin一是()

，孙

(A)oo；(B)1；(C)0；(D)振荡地不存在

♦a

2.u=y^,则竺=()

dx

Z14Z1乙

z—]]—]z_X—

(A)—；(B)——7)/；(C)yx\ny；(D)——-yx\ny

x~x~x~x~

3.设川=/(x,y)g(x)+〃(x,y)，其中均为可微函数，则＜二()

ox

(A)f・g'+瓦；(B)力・g+%；(C)力・g'+%;(D)力,g+/・g'—%

4.设z=/(x,y),x=y+e(y),其中°是可微函数，则一=()

dx

(A)/；+T7^；(B)/：+7^P(C)/;+[I+96)]；(D)*+/;[I+9'()，)]

5.设z=ln(x2+y2),则dz[(]j)=()

(A)dx+dy\(B)-(cbc-^-dy)；(C)自十勺；(D)0

2尸+y-

6.若"=xy-z,则一=()

(A)xc；(B)(x-1M~；(C)--------；(D)\—c~

ez+1

7.曲线x=sin2r,y=sinr,z=cos,在相应于/=—的点处一个切线向量

4

与z轴正方向成锐角，则此向量与y轴正向的夹角余弦为()

11VIV2

(A)一一；(B)-；(C)----；(D)——

2222

8.曲面2=/+)，2在点(1,2,5)处的切平面方程为()

(A)2x+4y+z=ll；(B)-2x-4y+z=-5；(C)2x-4y-z=-15；

(D)2x-4y+z=-5

ULI

9.函数〃=3/y2一2),+4x+6z在原点沿OA=(2,3,1)的方向导数为()

QQQ8

(A)--=；(B)-=；(C)

V14V14V6

10.设〃=2盯一z?,则〃在点(2,-1,1)处的方向导数的最大值为()

(A)276；(B)4；(C)2A/2；(D)24

11.若/(x,y)=x+(y2—i)arcsin土，则人(2,1)=

12.函数z=J1—ln(g，)的定义域为

13.设z=")'tan2,则包=_________

xdy

14.设Z=T~~r?其中“浦可导，则包=

dz

15.设2=»1而y=0(x)是可导的正值函数，则一二________

dx

16.设z=而1=＜：05/,y=〃，则一=_________

dt

Voz

17.设z=/(〃)，u=xy+—,/(〃)可导，则一=______________

xdy

18.设〃=，则du=

19.己知u=exy+xsin(2y+1),则du=

20.设函数"=(孙)",则du2n=

21.设z=f(x2-y2,exy),则dz=

22.已知z=z(x,y)是由x+y+z+"=0所确定，则票=

(-V

23.设x=x(y,z)由方程arctan(x优)+)/=1确定，则一=______

&

24.由方程xyz++方+?2=④所确定的函数z=z(x,y)在点

(1,0,-1)处的全微分立(1,0,-1)=

25.设Z?-2xz+y=0确定了z=z(x,y),则a匕一广

26.曲线x=2/,y=sin/,z=cos3/在(0,0,1)处切线的方程为

27.曲线x=dcos，y=elsintz=2e'在相应于t=0点处的切线方程

为____________

X=y2

28.曲线（1上点0，一1，1）处的法平面方程是

41.若函数/(x,y)=lx2+ax+xy2+2y在点(1,-1)取得极值，则常

数”

42.判断点P(1,O)是否函数z=x2-xy+y2-2x+y的极值点_____

B组

1.设〃=，则)|(3,2,2)二()

(A)41n3；(B)81n3；(C)324In3；(D)162In3

2.若曲线x=，+cos，，y=t+\,z=l-sin/在0</<2"上的对应P点

处的切线向量与三个坐标轴正向的夹角相等，则P点对应的,值为()

兀

(A)0；(B)—；(C)2〃；(D)7t

2

3.曲线x=sin/,y=cos21,x=sin/cos/在对应于f="那点处的引线

与xoy面的夹角是()

7Z、7C.TC1

(A)—；(B)—；(C)—；(D)urccos

243忑

4.函数2=工3十丁3-3X2一3)，2的极小值点是()

(A)(0,0)；(B)(2,2)；(C)(0,2)；(D)(2,0)

5.设/(%y)=x+y+g(x-y),若/(x,0)=x2,则于(x,y)=

6.由曲线13/+2"=12绕轴旋转一周得到的旋转曲面在点

[z=0

(0,区6)处指向外侧的单位法向量为.

7.设z=/（孙+上），其中/可导，求名,互上.

xdxdxdy

8.设二阶偏导数连续，z=/（"siny,x—y）,求互二

'dxdy

2久2

9.设z=M\2x,匕），/具有二阶连续的偏导数，求三J

xdxdy

aa2

10.设z=/（/—/,孙），f有二阶连续偏导，求空，衿

dxoxcy

IL已知卬=/（2尢+y,孙），/有二阶连续偏导，求悬.

12.〃有连续二阶导数，2=芳9（），+冰）+矶），一0¥）］+31+"，⑺力,

证明：蓝一“f^=（），

o2o2

13.设〃=）7（2）+烟（）），其中7,g二阶连续可导，求xW+y¥

yxdxd-y

3z3z

14.设/(〃，v)可微，/(x十2y-3z,孙z)=0确定了z=z(x,y)，求丁，丁.

oxdy

QzQz

15.设方程月(孙,y+z,xz)=0确定z=z(x,y),其中F可微，求丁,二.

oxdy

AA

16,设0。一2,〉一2)=0确定2=z(x,y),其中夕(〃,u)可微，求S+S.

oxdy

灯.z十°zd2z

17.右cz,求公旃

18.设由孙z-ln(yz)=-2确定z=/(x,y),求z；(0,l),z[(0/).

19.设z=z(x,y)是由f+y+z?=旷'(?)确定的隐函数，/可微，求得.

20.设函数z=z(x,y)是由是一2代M(％+2)=0所确定,求dz.

21.设z=/(x,y)是由方程z=y—x+x"+f所确定，求虑.

22,设函数z=z(%,y)由z=/(x+j+z)所确定,/可导，/'wl求dz.

23.z=z(x,y)由z=g(二,上)确定，g(〃,v)具有连续偏导数，求dz.

ZZ

24.设"=*""，其中2=2(工,丁)是由方程21+丁一3,+xyz=O所确定

的隐函数，求处(1J0).

x=2t

25.求曲线(y=sinf(0<r<2兀)平行于平面y+z=1的切线方程.

Z=cos/

222_么

"+>+Z=。在点M"L—2,1)处的切线与法平面方程.

{x+y+z=0

27.在第一卦限内求曲面z=p上一点，使过该点的切平面垂直于平面

2x+y+3z=0,且与三个坐标面所围立体的体积为5.

0115

28.平面Ar+By—z=/I是曲面z=2x92+在点处的切平

面，求4.

29.设平面3%+2y一々=1与曲面/+丁+22—应=1在点(0,日,4)

处的切平面垂直，求；L

30.设方程xyz+yjx2-ky2+z2=也确定了z=z(x,y),求曲面

z=z(x,y)在点处的法线方程.

31.过直线l10x+2>'_2z=27作曲面3/+y2_z2=27的切平面，求此

[x+y-z=0

切平面的方程.

32.证明：曲面=1上任一点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体

体积为常数.

33.证明：锥面z+丁+3的所有切平面都通过锥面的顶点.

34.证明：曲面/(区三,三2]=0的切平面总通过一定点(其中/(〃,v)

可微分，均为常数).

35.设M(Xo，yo，Zo)是曲面z=xf(—)上任一点，试证明在这点处曲面的法

X

线垂直于向径而，其中〃〃#)是可导函数.

36.设曲面方程为z=or+/(by+cz)(aW0、b、c都是常数)，/(〃)可

微.证明该曲而的任一切平面都与一常向量A=(-,-c,/?)平行.

a

37.设曲面方程为尸(z-以,z—〃v)=O,为正常数)。/(〃一)具有

一阶连续偏导数，且勺+工工0。试证通过此曲面上任一点处的法线恒垂

直于一常向量A=S,a,ab).

UL1U

38.求函数〃二4^+^^+以？在点(I，。处沿向量op方向的方向导数，

并说明它是否为该函数在该点处的方向导数的最大值.

39.设u=/(r),r=^x2+y2+z2,其中/可微，求gradw.

40.在椭球面2x2+2y之+z2=1上求一点，使函数/(x,y,z)=x2+y24-z2

在该点沿方向，=(1,-1,0)的方向导数最大，井求出最大值.

41.求函数于(x,y)=(x+y2+2j)的极值.

42.求4,/7的值，使积分/=£(。+)¥-%2)2小的值最小.

43.分解已知正数。为〃个正数之和，使它们的平方和最小.

44.设小呜,c吗)=(l+cosx)(l-cosy),求―)在单位圆内的

最大值和最小值.

45.求函数z=x2+y2在柱面(x-V2)2+(y-V2)2=4上的最大值和

最小值.

46.求函数Z=X2-2/-3在闭区域X2+/<2上的最大最小值.

47.在过点(2,1,1)的所有平面中，哪一个与三坐标面在第一卦限内围成的立

体体积最小？

48.求椭圆/+”2=4上一点，使之到直线2工+3v一6=()的距离最短.

49.求内接于椭圆V+3y2=12且底边平行于长轴，并且有最大面积的等

腰三角形，求出它的最大面积.

50.求内接于半径为a的半球且有最大体积的长方体.

51.在平面z=4x+2y+l()与曲面，+/=设5的交线上，求竖坐标取

最大值和最小值的点.

52.求曲面五+4+正=1的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之

积为最大，并写出切平面方程.

C组

1.函数z=/(x,y)有生=工2+2y,且.则/(x,y)=()

(A)l+x~y+y~—2x"；(B)—l+x~y+y2—2/.

(C)1+厂y"+y”-2x1；(1))1-x"y—y"+2.x1

-----—,x+ywO

2.设函数7(x,y)=/+),2J,则在(0,o)点处()

0,j+y2=。

(A)连续，偏导数存在；(B)连续，偏导数不存在；

(C)不连续，偏导数存在；(D)不连续，偏导数不存在.

3.设函数/(苍y)在点(0,0)附近有定义，且力(0,0)=3,4(0,0)=1,

则().

(A)dzgo)=3办+c仅；

(B)曲面z=/(x,y)在点(0,0,7(0,0))的法向量为(3,1,1)；

(C)曲线'z=/0/)在点(0。〃0,0))的切向量为(1,0,3)；

U=。

(D)曲线Jz=/(x，y)在点(o,o,/(0,0))的切向量为(3,0,1).

[y=0

4.已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且liin，产=1,

，(厂+》)一

贝IJ()

(A)点(0,0)不是/(A,y)的极值点；(B)点(0,0)是/(乂y)的极大值点；

(C)点(0,0)是/(x,y)的极小值点；(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否

为/(九,丁)的极值点.

5.设函数z=/(无,y)在点(1,1)处可微，且/(1,1)=1,£(1,1)=2,

4(1,1)=3,又0(力=/。,/(覆切，求4/(工)

6.设函数/(〃)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足

=(4z+excosy)e2x9若/(。)=0,尸(0)=0,求/(〃)的表

dx~dy-

达式.

7.已知函数2=z(x9y)由方程(x?+/)z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求

z=z(x,y)的极值.

8.已知函数/(x,y)=x+y+孙，曲线C:f+)/+个,=3,求/(xy)

在曲线C上的最大方向导数.

9.设z=y3+殁2+2pcy+廿x2+a/3~\px+yy),试证：当a。。/时,

函数Z有一个且仅有一个极值；又若夕＜0,则该极值必为极大值.

10.若函数/(x,y)对任意正实数，满足=f"/(x,y),则称/(A,y)

为〃次齐次函数.设/(x,y)是可微函数，证明/(x,y)为〃次齐次函数的充

分必要条件为X+)，=f^y).

*V*Vn

dxdy

D组

1.已知函数/(x,y)满足&(x,y)=2(y+l)e',£(无,0)=(1+1)/,

/(0,y)=J+2yf求/(x,y)的极值.

2.用多种方法证明：H>1,x>0,y"0时成立x"；"7?(土了)〃.

第九章习题解答

A组

l.C,2.C,3.D,4.B,5.A,6.C,7.A,8.B,9.B,10.A,11.1,12.

Ay2弓+xy，（闻仆）

{(x,y)|0<xy<e]f13.1esecxetan514.15.

片中）

yx\ny+xyx-'^(x),16.?C0S/+2/2(4r-3sinr),17.(X+少/⑶+力

18.y2xy~ldx+2yxyInxdy,19.(y*+sin(2y+l))tZr+(/+2]cos(2y+l))4,，

20.2公+dy+21n2dz,21.（2就'+y浮工）公+卜2比'+旄*方）小，,

22.—L,23.[x+j(l+x2e22)],24.dx-6dy,25.-〈(2公+办)，

l+ez3

26.二。二，27.三="=2，28.2x—y+4z—7=0,29.?=二=乔

210112J।-20

或收+产5,30.x+4v+3z-12=0,31.x-y+2z-f=0,32.一二号=二，

z=l•'L-46

33.垂直，34.(1,1,2),35.3x+y—z=O,36.(〃一2//'(片+y；+z；),

b-2%rG+W+z；),c-2z0r(片+y；+zQ),37.-f,38.得，39.

2；2(x,y,z),40.(0,11,14),41.-5,42.是.

B组

1.(C),由%=xvlnx・z・yJ代入.

2.(D),由l-sin/=l=-cos/解.

3.(B),切向量(cos「sin2f,cos2/)L=(T,0,l),与(0,0,1)夹角,互余

角为。

4

4.(B),代入AC—52=36。一1)()，一1)分别检验.

5.令y=。得g(x)=*-x,/(x,y)=(x-y^+2y.

6.曲面为十2），2十3z2-12=0,〃=（6x,4x6z）|（o4&）=（0,4指,6夜），单

位化并取“朝上(第三个分量为正)”的那个［(0,JIG).

v5

7.旨=（y-1）/，裳=（T）r+（yT*+力.

oxxoxdyxxx

8.d=z=e'sinW'+E，

ex

募="cos居+"Sinye8s加-用+/COSyf=fk

9.3=2旎，鲁=鲁=4时；'-容于工

dyoxdydycxx

2）

10.z=24+yf；，Zq=f2-4xyf11"+2（X-//；+xyf2".

1L先求出型=九+4，再得

oy

箴=繇=2工”+(2*+跖+磁.

12.平二丸4”()，+以)-4夕”—闾］+妊〃"”+闾+4“3一词］,

OXZZ

CX乙乙

导苴”(y+ai)+"(y2)］+虻/(y+公)，'(，“)］，

骸+")+/(♦-㈤］+苴”"(。+㈤--词］，代入得

证.

duydux,,

11正二r八f8一白f⑤“r一丁r+g，

XX£,X

yy

14.包二组士或，(其中〃一+2y-3z

=,y=xyz)

&3A-xyfvdy3fu-xyfr

15"…,++叫，f工二环+工

£乙+叫

dF_Fy_XFX+F2

dyF:F2+xFy

16.令F(x,y,z)=(p{x-z.y—z),u=xz,v=yz,F、=(p“，

7r6z(pdz(pdzdz_

1u=v+=1

Fy=0，，E=_〃,_〃，，­=~;—，v—：-'—7-*

8(plt+(pvdy(pu+(pvexdy

..&dzdzy.&dzdzxd2z

i1r7.e——=y----,—-----g—=x,—=--------------七

dxdxdx1+k，dydydy1+夕，Sxdy(l+d

a7ia7

18.将x=O,y=l代入等式得z=/,xz+xy-----------=0,

dyzdy

dz\1cz

7Z,g2z+x—M，---在y+——

z；（O』）S।z8xzZ)IZ“aj.

xy--bybx

xy'——

zz)

2

19.令F=r+/+z-工=2f*/g),Fz=2z

1

z=—-2x+/--

v2z(

20.（注意本题和题21、22分别用了三种不同解法）.

x2yx2yx2y

设F(x,y,z)=e~sin(%+z),Fx=e~sin(x+z)+e~cos(x+z),

F、--2<?A-2vsin(x+z),F.=ex~2ycos(x+z),—=-(1+tan(x+z)),

dx

Sz

一=2tan(x+z),dz=-(14-tan(x+z)dx+2tan(x+z)dy.

办

21.—=-l+/+X7+痴+r偿+1dz_-1+[1+x)ez+x-y

&=—\-xez+x-y

dx2

z+x-y

dzJA-l+(l+x)e

—=1+----19atz=------—dx+dy.

力I-xez+X-y

22.两边微分得必=广"（工+丫+2）即友=ff\dx+dy+dz），

ff

dz=——dx+——dv.

i-.ri-.r

23.解法一：令F(x,y,z)=z-g(2,2)，w=-,v=-，Fx=--gu,Fx=--gvf

zzzzzz

।z

£=1++)g.)，dz=，'----------(gdx+gdy).

z-z-+(xg，+)&,)ltv

解法一：两边对x偏导得.土要+8.二冬,解出

ZZ

—两边对光偏导得Zv=&,•与+&•二解出

z~+（%“+）&）Z~z~

zv=—-----------,RAt/z=zxdx+zxdy.

z-+(xg“+*J

〃刀、$一,,A.zdx-xdzzdy-ydz^,

解法二：dz=g“•或Z一)+gy•"(2)=g“-----—+gy-----r—，解出111dz.

zzz~z~

3x3x3

24.ux=3eyz+eyzx=ezv,由2x+y-3,+xyz=0得

z

2-3ezx+yz+xyzx=0,点(1,1,0)处的边z”1故%(1,1,0)=/.

25.切向量T=（2,8S/o，—siM）,T±（0,l,l）,切点为（工,注，在）和

222

7141

5乃V2V2处方铲％—X---^-V=----"----=--Z一---------和

二一,――,—,切线方程为

2222V2/2-V21/2

5兀66

C------V+——Z+——

_2_=__2_=_2_.

2-V2/272/2

26.切线："=*=法平面-工+2=（）.可用和题23类似的三种

-1U1

方法求解（求三个行列式、二式对X求导、二式求全微分）.

27.设。0，＞（），%oM））为所求点，切平面的法向量为〃=（即内）,-1），但

n1（2,1,3）,得2%+/一3=。，切平面方程为%。一/）+入-0（）'-九）

-（2-工0%）=0,切平面在三坐标轴上的截距为：%o,yo,-xoyo,切平面与

三坐标面所围立体的体积V=~x^yl,解得第一卦限中

6［超方=1

曲面上的点为（1,1,1）和（2,；,I）.

6a

28.解：二=4x,*=6y,故法向量为（4尤6乂一1）|」的=（2,3,-1）,于

exdy（及I）

是，切平面为2(x_；)+3(y_L)_(z_』)=0,即2x+3y—z=』，因

2244

4J」/故一.

23-1%4

29.zz=(2x-z,2y,2z-x)|(o72^)=(---y=,>/2,^),

3.(一))+2层4.a=0,4二;.

30.记F(x,y,z)=xyz+Qx?+)/+z「-V2，

J+,),,dFz

—=xy+/=

6，M+y2+W法yfx2+y2+z2

（-1,72,1）,所求法线方程为x-1yz+1

二r二7TT

31.设切平面为10x+2y-2z-27+4(x+)-z)=0,从

6%_2%_-2z

0得%=Z°，从而切点（儿,%"0）=（3』』）或

10+九2+%—2—A

(3,17,17)，切平面为9x+y—z—27=0或9x+17y—17z+27=0.

32.任取切点(x,y,2),xyz=l,切平面yz(X-1)+xz(Y-y)+xy(Z-z)=0,

333

截距为X*=±=3x,y*=±=3y,Z*=3=3z，四面体体积为

yzxzxy

1***9

V=-XYZ=-.

62

xV

33.zv=.=,zy=,=,锥面上任一点(%,%,z0)的切平面

打+)/yjx2+y2

方程为-/,0,(y-y())+(z-z())=0,即

yxo+)'O{x。+)'o

-x0%-y()y+(z0-3)(z-3)=0,顶点(0,0,3)适合上面方程，故得证.

34.切平面的法向量〃=('一/',」一£,-…)于：--匕与力')，切平

z-c71z-c72(z-c)21(z-c)22

面士工'•(XT)+±£O—74Kz—z)=0,点

Z-CL-C(Z-C)(Z-C)

(X,K,Z)=(a,b,c)适合方程，故得证.

35.法向量为〃=(/(里)-&/'(&)/(&),—I),㈱=(%,)，0*。)，

%///

umruuu

小0M=x0/(九v)—为广(v包)+%广(九v)—z0=0,即nlOM(注意本题是

%%X。

题34的特例，都是空间锥而).

36.令F(x,y,z)=or+f(by+cz)-z,任一点处的法向量是

〃二(〃，bf\qf'-T),n-A=b-bcff-^bcff-b=0,即〃_LA,所以曲面

上任一点处的切平而与常向量4平行.

37.设G(x,y,z)=F(z-ax,z-by),则Gx=-aFu,Gy=-bFv,

Gr=Fu+Fv.曲面法向量〃二(一西,,一%,,匕+£，)

n-A=-abFu-abFv4-ab{Fl(+=0,所以〃_LA.(注：本题和题36实

为同一类型，一般地有“曲面E:尸(以-勿4-咐=0上任一点处的切平面

都与某常向量平行，其中。乃了为常数，/+。2+/。0,产(〃,丫)有一阶连续

的偏导数.”这是柱面的特征.)

38.grad”=(2ax,2Z?y,2cz)||{|f1.=(2a,2b,2c),

生=(2〃,2A2c).=2(〃+”。,该点处方向导数的最大值为

81V3V3V3V3

|gradw|=+加+d.

39噌=尸⑺凯二⑺9舞哈/呜

4=r⑺曰=:⑺三，grad〃=m+*j+?k=r(r)%y,z)=八「)。.

dzdzroxoyczrr

40.设点为P(x,y,z),gradf=(2x,2y,2z),当射线方向与梯度方向一致时方

2x_2y_2z

向导数能取最大值，故T=^i=~o，得P(L」,O),此时

2X2+2/+Z2=122

grad/,=(1,-1,0),最大方向导数|gra明二及.

41.笠=*(2工+2/+4)，+1),笠=/(2)，+2),U=*(4x+4y2+8y+4),

dx办5x~

j=f"(4)，+4),上工=2*,得驻点为(L—1),A=26>0,6=0,

dydxdy~2

C=2e,AC-B2>0,故有极小值/(1,一1)=一£.

[。。1

42.I=--------Q+cib+,I=2。4-b—,I,=ci—，唯~'驻点

523132

〃二'/=—'为所求.

23

〃〃〃〃

43.即求〃二EE在=〃下的最小值•令/=七一a),

/=1i=\i=li=l

解。=°，£七=a,得七=9,i=1,2,L

2

44.令〃=sin式#=cos),则f(u,v)=4(1-zr)(1-v),fu=0,/v=0,

22

2222

得u=v=0,令F(w,v)=4(1-w)(1-v)+A(u+v-1)

1

F=F=u2+v2—1=0,得〃=u=±

uv双所求最大值为/(0,0)=4,

最小值为/(±i.

7T士石)

45.令尸(苍)，)=工2+y2+4*―后)2+(>_")2—4],

Fv=2x+22(x-V2),A=2y+2〃)，一&).解:；=月=:得

限_扬2+(),_向2=4

x=y=O和工=>=2夜,z(0,0)=0,z(2>/2,2>/2)=16.所求最大值

为16,最小值为0.

46.—=2x=0,色=—4y=0圆柱内驻点(0,0),z(0,0)=—3.令

dxdy

F(x,y,2)=x2-2/-3+2(?+/-2),求出圆柱边界驻点(0,±亚),(±也,0),

所以Zgx=z(士也,0)=T，2min=z(0,±>/2)=-7.

47.解法一:设平面为or+by+cz=1,满足2〃+/;+c=l,V='.

babe

即求/(。,〃,。)二次?c,在2a+〃+c=1的最小值.令

F(a,b,c)=abc4-2(24z+Z?4-c-1),解Fa=Fb=F=2a-^b+c-\=0,得

々二>1力=1,c=l,所求平面为曰+上+三=1.

633633

解法二：设所求平面方程为A(x—2)+3(y—l)+C(z—l)=0,则求出三

/、冲12A+3+C2A+B+C2A+B+C、n2A

个截距得V=----------------------------------,记a=----------

6ABC2A+8+C

,BC1

u=--------------，C.原问题即求ubc,u+b+c=1的最

2A+B+C~2A+B+C3V

大值.因。k，7)；,等号当且仅当。=人=。=工时成立.从而

2A:B:C=l:l:l,所求平面为(x—2)+2(y—l)+2(z—l)=0,即

x+2y+2z—6=0.

12x+3y-6|6-2x-3y

48.d(xy)=,令F(x,y)=d(x,y)+2(x2+4/-6),

9713

23

232Ax—^=-=0,8Ay,—=0/曰

F=2Ax--产,F=8/ly--=,解V13-V13得

xV13>vV13

x2+4/=4

89111…、一、.[

x=-

=5»25»"(%,〉[)=-j=,d(x,，K)=-^=，故所求最短距禺为-^=.

-

33V13_713<13

>'2=

5

49.等腰三角形关于y轴对称，设其顶点为40,2),仅-乂y),C(x,y),

其中x>(),则面积S=L・2x・(2—y)=2x—A>，，且一+3丁=12,令

Fv=2-y+2Ax=0

f22

F(x,y,z)=2x-x)+A(x+3y-12),±|<Fy=-x+62y=0得

、/+3y2=12

%)=3x=0

7(舍去)，由实际问题知当x=3,>=-1时，S取最

%=T』2二2

大值.Smax=S(3,-l)=9.

50.以球心为坐标原点，半球的底面为xoy面建立空间直角坐标系.令内妾长

方体的长为2y,宽2工，高z,贝琳积为：V=4pz，其中/+,2+z?二/

(x,y,z20).令F(x,y,z,Z)=4xyz+A(x2+y2+z2-cz2),解方程组

F、=4yz+2Zx=0

F=4xz+24y=0aaa

y「得唯一驻点(冬，冬，冬)由实际意义知当长方体

F.-4xy+2Az=0V3V3<3

x2+y-2+2=cr2

的长为-尸，宽为-尸，高为一尸时体积最大.

A/3V3A/3

51.令尸Cx,y,z,Z〃)=z+A(4x+2y-z+10)+ju(x24-y2-125),解

F、=4A+2/JX=0

F=22+2py=0

方程组y得驻点[(10,5,60)和2(-10,-5,—40).故点

Fz=14=0

4x+2y-z+10=0

/+)，2=125

[(10,5,60)是竖坐标取最大值的点，/^(-10,-5,-40)为最小值点.

52.令F(x,y,z)=&+6+A-)

设切点为(x,y,z),则切平面方程为_L(x-x)+—!尸(丫-)，)+」尸(Z-z)=0,

2&202Vz

XYZ.

即.切平面在三坐标轴上的截距为：

5(x,y,z)=y[xyz,其中4+4+6=1，令

G(x,y,z)=-Jxyz+2(Vx+y[y+Vz-1),解方程组

十=o

2y/x

得x=y=z=-,驻点唯一，且实际上确存在最

A

G>=+=09

工

4-=0

yfx+yfy+yfz=1

大值，故所求点为最大值点.切平面方程为：3x+3y+3z=l.

C组

0Z

1.(A).由——=x~+2y知z=fy+y2+/?*),1=z(x,x2)=x4+x4+/?(x),

故h(x)=1-2x4.

2©.极限*2+),了不存在，而/,(0,0)=4(0,0)=0存在.

3.(C).偏导存在未必可微，故(A)(B)不对；空间曲线是三个一元函数

x=x

的参数方程

y=0，它的切向量为(1,0,，(0,0))即(1,0,3).

z=/(x,0)

4.(A).由连续函数的保号性，在(0,0)的某邻域上!:＜之,

2(x2+y2)22

222222

xy+-(x+y)<f(x9y)<xy-i--(x+y),在(0,0)的任何更小的邻域

上，/(X,)，)都是可正可负,例如取尤=，,y=±-L可以验证.

10

5.—/(x)=3/(x).0'(幻=3"(x).力'(工'+力)],

ax

—(p\x)=3」・[2+3・(2+3)]=51.

dx

a个

6.—=f\evcosy)evcosy,—=-f\excosy)evsiny,

dxdy

=f"(e'cosy)e2xcosy+f\excosy)excosy,

dx

=/〃(/cosy)^2sin2y-f\excosy)excosy.

Sy

空+空=(4z+eAcosy)e2x化为

dxdy

『'(/cosy)e2x=|4f(e'cosy)+excosy]e2x,从而/“(〃)=4/(”)+〃，这

是一个线性非齐次微分方程，对应齐次方程的通解为于(U)=G/+G-2X,

一个特解为一£，故原方程解为/(")=。1'+。262—由/(0)=0,

广(0)=0解得/(〃)=—(e2x-e-2x-4u).

16

7.对方程(Y+V”+Inz+2*+y+1)=0(1)两边对x,y分别求导得

C/)9&13z__

2xz+(x~+y~x)----1--------F2=0(2)

dxzdx令紧吟=。得尸工解得

1

22\2o

尸++7a-z+az+=dxdyIxz+1=0

8z53(3

z=0(舍)或x=y=—-代入原方程得x=y=-1,z=L对(2)(3)分别

z

_C%c3z/22\z7]\/%\21d2Z

2z+2x-----1-2x-----F(x+y)—7+(—y)(—)H-=---0-----(4)

dxdxdx2Z2dxzdx2

22

再求导得,-dz.22、dz1、/3z3z、1dz，代

2记+2至+(，+》)+(+=0(5)

dxdyl'dxdy

dzdzd2z(」)(与+哺=o

2z+2y诙+2苏+(x2+y)而+(6)

z-dyzdy~

入x=y=