随机变量的数字特征课件

随机变量的数字特征

一、案例[轮胎质量]为了比较两家工厂生产的轮胎质量，某汽车运输公司做了这样的试验，让14辆车况相同的汽车分别装上这两家工厂生产的牌号为A，B的轮胎，并且统计了每辆车在轮胎损坏前所行驶的公里数，见下表A牌轮胎B牌轮胎公里数1100012000140008000100001400040000车辆数1243211频率从每组轮胎所行驶的平均公里数来看：（km）B牌轮胎的平均公里数为

（km）所以汽车运输公司认为B牌轮胎质量较好．

A牌轮胎的平均公里数为

二、概念和公式的引出离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量

的分布列为

……

……若级数

绝对收敛，则称级数

为随机变量

的数学期望或均值，记作

或

即

．如果上式中的级数不绝对收敛，这时称的数学期望不存在．

一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04，若其产值（单位：元）分别为6，5.4，5，4，0，求产品的平均产值．

三、进一步练习练习1[产品的平均产值]解

产品产值

是一个随机变量，其分布列为

65.45400.70.10.10.060.04所以

练习2[产品质量]一段时间的考察，

的分布列分别是

01230.70.10.10.1问哪一台机床加工的产品质量好些？

01230.50.30.20设A、B两台自动机床，生产同一种标准件．生产表示，经过1000只产品所出的次品数分别用解

随机变量

的数学期望分别为

因为

，所以自动机床A在1000只产品中所出的平均次品数较少．因此，我们认为A机床加工的产品质量较高．

四、案例[误差评价]

线切割机床在切割某一批圆柱形钢件时，已知切割后的平均长度为30cm，要判断该机床的切割水平．如果切割后的钢件大部分都在30cm左右，则符合精度要求，我们认为切割水平较好；如果切割后的钢件离30cm差异较大，虽然同样满足切割的平均长度为30cm，但我们认为切割水平有问题．

那么，究竟用什么办法来对机床切割水平进行评价呢？

五、概念和公式的引出离散型随机变量的方差

设是一随机变量，如果

存在，则称

为

的方差，记作

，并称

，即

为

的均方差或标准差．

设甲、乙两工厂生产同一种设备，其使用寿命（单位：小时）的分布列见下表，试比较两厂生产的产品质量．

六、进一步练习练习[质量评价]8009001000110012000.10.20.40.20.18009001000110012000.20.20.20.20.2解

两厂生产的设备使用寿命的均值相等，但从分布列可以看出，甲厂生产的产品使用寿命比较集中在1000小时左右，说明甲厂产品质量的稳定性较好，而乙厂生产的产品使用寿命却比较分散，说明乙厂产品质量的稳定性比较差．下面用方差来进行描述．因为

，所以甲厂产品寿命的分散程度比较小，产品质量比较稳定，比乙厂的产品质量好．7.4.2连续型随机变量的数学期望和方差

一、概念和公式的引出

二、进一步的练习

一、概念和公式的引出连续型随机变量的数学期望

设连续型随机变量

具有密度函数f(x)，如果广义积分

（或均值），记作

,即

否则，称

的数学期望不存在．

绝对收敛，则称该积分为随机变量的数学期望连续型随机变量的方差

设连续型随机变量

具有密度函数f(x)，如果广义积分

存在，则称该积分为随机变量

的方差，记作

否则，称

的数学期望不存在．

，即

数学期望有以下性质：

（1）E(c)=c，其中c为常数；

（2），其中c为常数；（3）（4）如果

相互独立，则

方差有以下性质：

（1）（2），其中c为常数；（3），其中c为常数；（4）如果

相互独立，则

二、进一步练习练习1已知在[a,b]上服从均匀分布，即

，解求

.因为，即

的密度函数为

所以

7.4.3常见随机变量的数学期望和方差

一、概念和公式的引出0-1分布设

服从0-1分布，则

二项分布

设

，则

泊松分布

设

，则

均匀分布

设

，则

正态分布

设

，则

特别地，当

时，

一、概念和公式的引出7.4.4随机变量函数的数学期望和方差

一、概念和公式的引出

二、进一步的练习

一、概念和公式的引出和方差可按下列公式计算．

如果

是离散型随机变量，且分布列为

设是的函数，随机变量

的数学期望，则

如果

是连续型随机变量，且密度函数为

，则

二、进一步练习练习1设的分布列为－2－1011/41/81/21/8的数学期望．求解由离散型随机变量函数的数学期望的公式，有练习2[飞机受力]设风速v在（0，a