2026年湖南省衡阳市高一下学期第一次月考数学练习卷（人教A版）（解析版）

2026年湖南省衡阳市高一下学期第一次月考练习卷数学试题（解析版）题号12345678910答案CCBCCBDCABCDBCD题号11答案BC1．C【分析】根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．【详解】依题意，三个集合之间的关系如图所示，所以，，，．故选：C．2．C【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状.【详解】依题意，，若，则（反之亦成立），则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以.由，两边除以（），设，则方程变为：，解得由，得.所以，，故.在中：，，即（等腰）.由勾股定理：，而，故（直角）.综上，是等腰直角三角形.故选：C3．B【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值.【详解】根据题意，得，当，，时，，此时，所以.故选：B.4．C【分析】根据根与系数的关系得，进而根据方程的虚根和实数根分类讨论，即可求解.【详解】若是方程的两个虚数根，所以，且，则，，解得，（满足），若是方程的两个实数根，所以，且，则，当时，，，当时，，，由可得，令，由于，所以，故函数在单调递减，且，故在无实数根，综上可得，零点个数为3，故选：C5．C【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.【分析】由题意可得，故，所以，故选：C.6．B【分析】根据向量的数量积及投影向量公式求解即可.【详解】设向量与的夹角为.因为，所以.因为在上的投影向量为，所以①.在上的投影向量为，所以，即②.将①代入②中，，即，所以，因为，所以，所以.7．D【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解．【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，令，则，，可得.故选：D．8．C【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系，因为，，，所以，因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上，设点，因为，所以，所以，解得，所以，所以，所以当时，取得最大值为.9．ABCD【分析】利用数量积的运算律判断A，利用数乘向量的意义判断B；利用数量积的意义及数乘向量分析说明判断C；利用向量数量积的意义判断D.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，因为与都是实数，则向量与共线，向量与共线，而与是任意两个向量，故C错误；.对于D，若，则或或，故D错误.故选：ABCD.10．BCD【分析】根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D.【详解】，，故A错误；以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，则，，故B正确；，三点共线，，即，故C正确.，，，，，，故D正确.11．BC【分析】对于A，直接代入结合复数三角形式即可求解；对于B，根据复数运算得的虚部为，再由复数的概念即可求；对于C，根据题意，先求得，再判断即可；对于D，由即可判断．【详解】对于A，当时，，则对应的三角形式为，故A错误；对于B，，又，所以，则的虚部为，，，解得，B正确；对于C，先求，根据复数模的性质：若，则，对于，模为，所以，要使为正整数，则必须是完全平方数，即（），则，因为，所以，即，因为，，，又因为，所以，故，所以从到，共个正整数，选项C正确；对于D，由，，，，故D错误．故选：BC．12．①②④【分析】根据新定义先得到①②正确，③错误，然后在和的情况下推导出矛盾，从而得到，即④正确.【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等.这表明对任意的，当且仅当，有.将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点.因为A中任意两个不同点之间的距离都不相等，设是最小的距离，则，若或为第二小的距离，则余下的个点至多只能对应个元素，则至多个元素，；当是第二小的距离时，则，若n为奇数时，与上面推导相同，至少会存在一个点不属于M,所以；所以①②正确，③错误；对于④，假设，.由于，故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点.特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.不妨设，并记为点，则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.对两个不同点，记直线的倾斜角为.假设存在使得，不妨设，则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾.所以两两不相等，不妨设.由于，，故，，所以.故，同理.而对，有或，故.所以，这意味着，矛盾.这表明假设不成立，所以，④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对集合新定义的理解，以及三角形中边长的大小关系与角度的大小关系之间的对应，即所谓的“大边对大角”.13．【分析】设复数所对应的点为，设复数所对应的点为，由得到点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆，利用矩形和圆的面积公式求解即可.【详解】复数2和所对应的点分别为，，设复数所对应的点为，设复数所对应的点为，，，点轨迹是以点为圆心，半径为的圆，点在线段上移动，点的轨迹为：以线段上的点为圆心，半径为的圆的并集，即点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆，，，复数对应点所构成图形的面积为.故答案为：.14．4048【分析】由得，结合条件与复数的三角形式可得，其中是三次单位根，且，于是有，由可得，于是，，进而可求得的值.【详解】由得，又因为，所以，即，整理得，其中是三次单位根，满足且，于是有，，因为，，即，，由可得，于是，，所以.故答案为：4048.15．【分析】根据可得【详解】，，即的取值范围是．16．(1)（i）；（ii）(2)4【分析】（1）由已知条件求出三角形的角，再根据同角三角函数的关系和正弦的两角和公式即可求出；（2）设，，再根据正弦定理得到的关系，继而得到面积的表达式，最后根据函数的性质即可求出；（3）通过建立平面直角坐标系，结合面积比例列出的关系式，再利用均值不等式即可求出最小值.【详解】（1）（i）因为，，所以△是等边三角形，，

而，，则，所以.

由题意点在边上，，故.

（ii）由于，则，，，所以，由正弦定理，，，所以，则，因此，

，则，，

令，，因为，所以在单调递增，在单调递减，则时最大，而，所以.

（2）分情况讨论并建立对应平面直角坐标系：①当点在边上时，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，，，，，则，，，则

易有，，所以，，当且仅当，，，分别为，，的中点时，，所以.

②当点在边上时，可分为在线段上和在线段上两种情况，而两种情况显然等效.设在线段上，考虑固定点，由于，增大时，点更靠近点，点更靠近点，则增大，直到点与点重合，最大值为，设此时与交于点，，则，，，，，

设是点到的距离，是点到的距离，则，，，，则.综上所述，的最小值是4.17．(1)(2)(3)【分析】(1)结合题意利用待定系数法得到方程组求解得到结果,（2）对方程两边同时除以结合第一问，利用待定系数法求解即可，（3）令，把可看作方程的三个根，利用第二小问的思路进一步求解得到，同时得到结合的取值范围得到结果即可.【详解】（1）令,则对比项系数,得:.（2）令，则.显然方程两边同时除以，得:，即:.是方程的三个根.由（1）知:故.（3）令，则，且.可看作方程的三个根，令，则对比项系数，得:当时，有.18．(1)(2)或4【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解.（2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解.【详解】（1）已知，则.若，根为实数，虚部为0，不满足.若，根为虚数，由求根公式得：.由可知，，.所以（2）i）当，即时，由韦达定理知：，.若，两根异号，.由或（，故舍去）.若，两根同号为负，，由，矛盾，舍去.ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得，综上，或4.19．(1)(2)（i）答案见解析；（ii）【分析】（1）由题意有，进而求解；（2）（i）根据已知先求1的5次