九年级上学期数学考点突破与提分-二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质练习题（含答案）

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质目标导航目标导航课程标准（1）会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；（2）通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；（3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．知识精讲知识精讲知识点01二次函数与之间的相互关系1．顶点式化成一般式

从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．2．一般式化成顶点式．对照，可知，．∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．【注意】1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．知识点02二次函数的图象的画法1．一般方法列表、描点、连线2．简易画法：五点定形法步骤：(1)先根据函数解析式，求和，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．【注意】当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，知识点03二次函数的图象与性质1．二次函数图象与性质函数二次函数(a、b、c为常数，a≠0)图象开口方向对称轴顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而．简记：在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而．简记：最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最值，抛物线有最高点，当时，y有最值，2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征a开口向上开口向下b对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧c图象过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交b2-4ac与x轴有唯一交点与x轴有两个交点与x轴没有交点知识点04求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，．【注意】如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．能力拓展能力拓展考法01二次函数的图象与性质【典例1】如图所示是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（

）A．③④ B．①② C．②③ D．②③④【即学即练】如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（

）A．第一或第四象限 B．第三或第四象限C．第一或第二象限 D．第二或第三象限【即学即练】关于抛物线，下列说法错误的是（

）A．当时，对称轴是轴 B．当时，经过坐标原点C．不论为何值，都过定点 D．时，对称轴在轴的左侧考法02二次函数的最值【典例3】已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【即学即练】已知二次函数＝﹣+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（

）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【即学即练】已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（

）A．4 B．2 C．–2 D．-4考法03二次函数性质的综合应用【典例5】已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2

；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【即学即练】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④【典例6】已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．①当时，点在抛物线上；②对于任意的实数m，都是方程的一个根；③若，当时，y随x的增大而增大；④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．【即学即练】如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）分层提分分层提分题组A基础过关练1．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y35．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（

）A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点6．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．8．二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2（a<0）．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；10．已知抛物线．(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当为何值时，函数取得最大值，请求出这个最大值．题组B能力提升练1．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（

）A．， B．，C．， D．，2．如图是二次函数y＝ax2﹣x＋a2﹣9图象，图象过坐标原点，则a的值是（

）A．a＝3 B．a＝－3 C．a＝－9 D．a＝3或a＝﹣33．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（

）A． B． C． D．5．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图像可能是（

）A． B． C． D．6．二次函数（）的部分图象如图所示，图象过点（，0），对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点A（，），点B（，），点C（，）在该函数图象上，则；（5）m为任意实数，则．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．已知二次函数，当时，自变量的取值范围是______．8．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此抛物线的解析式和对称轴．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；题组C培优拔尖练1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．2．若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜13．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图，下列结论错误的为（）A．b2﹣4ac＞0 B．a+b+c＞0C．ax2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝04．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（

）A．abc＜0 B．a＋b＞m（am＋b）（m≠1）C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝15．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…012……tmn…且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．已知抛物线（c为常数）经过点，，，当时，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．7．已知二次函数，当时，函数的最大值为8，则的值是____．8．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．9．已知抛物线的顶点（0，1）．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，直线交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与4的大小关系．(3)如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．10．北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：(1)点的坐标；(2)该抛物线的函数表达式；(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质目标导航目标导航课程标准（1）会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；（2）通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；（3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．知识精讲知识精讲知识点01二次函数与之间的相互关系1．顶点式化成一般式

从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．2．一般式化成顶点式．对照，可知，．∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．【注意】1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．知识点02二次函数的图象的画法1．一般方法列表、描点、连线2．简易画法：五点定形法步骤：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．【注意】当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，知识点03二次函数的图象与性质1．二次函数图象与性质函数二次函数(a、b、c为常数，a≠0)图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac＞0与x轴有两个交点b2-4ac＜0与x轴没有交点知识点04求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，．【注意】如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．能力拓展能力拓展考法01二次函数的图象与性质【典例1】如图所示是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（

）A．③④ B．①② C．②③ D．②③④【答案】C【详解】解：①由图象可知：，，由对称轴可知：，∴，∴，故①错误；②由对称轴可知：，∴，∵抛物线过点，∴，∴，∴，故②正确；③由对称轴为直线，抛物线过点，∴抛物线与x轴的另一个交点为，∴的两个根是，，故③正确；④由图象可知，当时，，∴，故④错误；故选：C．【即学即练】如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小【答案】C【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（

）A．第一或第四象限 B．第三或第四象限C．第一或第二象限 D．第二或第三象限【答案】A【详解】解：∵4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，∴此二次函数过点（-2，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=，∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能在第一或第四象限．故选：A．【即学即练】关于抛物线，下列说法错误的是（

）A．当时，对称轴是轴 B．当时，经过坐标原点C．不论为何值，都过定点 D．时，对称轴在轴的左侧【答案】D【详解】解：A、抛物线，当时，对称轴是直线，即轴，故选项A正确，不符合题意，B、当时，过点，故选项B正确，不符合题意，C、当时，，此时解析式中的正好可以消掉，故选项C正确，不符合题意，D、抛物线的对称轴是直线，当时，对称轴在轴右侧，故选项D错误，符合题意，故选：D．考法02二次函数的最值【典例3】已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【即学即练】已知二次函数＝﹣+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4【答案】D【详解】∵二次函数＝﹣+2x+4＝﹣+5，∴该函数的对称轴是直线＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（

）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【答案】C【详解】解：二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的最小值为－2，该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧，，，且时，y=c=－2，，，解得，．故选C．【即学即练】已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（

）A．4 B．2 C．–2 D．-4【答案】C【详解】解：将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得1+b+c=m，1-b+c=3m，∴b=-m，c=2m-1则，对称轴为，∵a=1＞0∴最小值在x=-处，最小值为-6，∴=-6，=4c+24，将b=-m，c=2m-1代入，得-8m-20=0解得m=-2或m=10又∴m=-2故选：C.考法03二次函数性质的综合应用【典例5】已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2

；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【答案】D【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)，∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，根据顶点坐标公式，，∴，即，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴=42=16，解得a=，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．【即学即练】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④【答案】D【详解】解：∵抛物线经过点，，∴抛物线的对称轴为直线，故①正确；设抛物线关系式为：，∵抛物线经过点，∴-4a=2，解得：，∴抛物线关系式为：，∴当时，y有最大值，故②错误；∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0），∴AB=5．当x=0时，y=2，∴点C坐标为（0，2），∴，∵，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故③正确；当OP⊥AC时，OP取最小值，此时根据三角形的面积可得，∴，解得OP=，∴OP的最小值为．故④正确；故正确的有：①③④，故选：D．【典例6】已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．①当时，点在抛物线上；②对于任意的实数m，都是方程的一个根；③若，当时，y随x的增大而增大；④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．【答案】②【详解】解：抛物线（为常数）中，当时，抛物线，若，则，点不在抛物线上，即①说法错误，不符合题意，方程即，或，解得，，对于任意实数，都是方程的一个根，即②说法正确，符合题意，抛物线（为常熟）中，，开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，即若，，当时，y随x的增大而增大，不一定正确，即③说法错误，不符合题意，抛物线（为常数）中，当时，，解得，，抛物线与轴的交点坐标为、，当时，，“④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点”的说法错误，（因为当时只有一个交点），不符合题意，综上所述，说法正确的是②，故答案为：②．【即学即练】如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）【答案】①②③【详解】∵抛物线与x轴相交于于点，，∴令y=0得：，解得：，∴A（-1，0），B（3，0），∴AB=4故①正确；∵抛物线与y轴相交于于点C，∴令x=0得：y=6，∴C（0，6），∴OC=6，故②正确；过点作轴，交于点，如图1所示．设直线的解析式为，将、代入，得，解得，直线的解析式为．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，点的坐标为，则点的坐标为，，，当时，面积取最大值，最大值为．故③正确，故答案为：①②③．分层提分分层提分题组A基础过关练1．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】解：将点（m，3）代入中得，，故代数式的值为3，故选：D．2．二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝【答案】B【详解】解：由图表可知：x=0时，y=-6，x=1时，y=-6，∴二次函数的对称轴为：，故选：B．3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定【答案】A【详解】解：当x＝1时，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；当x＝﹣2时，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，所以y1＞y2．故选：A．4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3【答案】A【详解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴与直线x＝﹣1距离越近的点的纵坐标越大，∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），∴y1＞y2＞y3，故选：A．5．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（

）A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点【答案】B【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线：，则若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意；B、抛物线的对称轴为直线：，若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，选项说法正确，符合题意；C、当，时，，则当a＝1时，函数图像不经过点（﹣1，1），选项说法错误，不符合题意；D、当a＝﹣2时，，，则函数图像与x轴有两个交点，选项说法错误，不符合题意；故选B．6．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：①抛物线开口向下，，∵，∴，，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，，故错误；②观察函数图象，可知：当时，，，故错误．③抛物线的对称轴为，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，当时，，，故正确；④抛物线与轴有2个交点，△，故正确．故选：B．7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．【答案】-5【详解】解：由知，当x=2时，y有最小值为-4-m，∵该函数的最小值为1，∴-4-m=1，解得：m=-5，故答案为：-5．8．二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．【答案】且【详解】解：将代入得①，将代入得②，由②①得，，，抛物线的对称轴为直线，当时．随着的增大而减小，时，，解得，时，，解得，故答案为：且．9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2（a<0）．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；【答案】(1)x=1(2)y=－x2+2x－1【详解】（1）解：∵抛物线，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）由（1）可得，∵抛物线的顶点在x轴上，∴，解得，=－1，∵a<0，∴a=－1，∴抛物线的解析式为．10．已知抛物线．(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当为何值时，函数取得最大值，请求出这个最大值．【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是(2)当时，函数取得最大值，最大值是3．【详解】（1）解：∵－1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴是直线，∵，∴顶点坐标是；（2）∵抛物线的顶点坐标是，∴当时，函数取得最大值，最大值是3．题组B能力提升练1．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】由题意可得新抛物线的顶点为，∴原抛物线的顶点为，设原抛物线的解析式为，代入得：，∴，．故选：D．2．如图是二次函数y＝ax2﹣x＋a2﹣9图象，图象过坐标原点，则a的值是（

）A．a＝3 B．a＝－3 C．a＝－9 D．a＝3或a＝﹣3【答案】A【详解】解：∵抛物线经过原点，∴a2-9=0，解得a=3或a=-3，∵抛物线开口向上，∴a=3，故选：A．3．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．4．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵抛物线的最低点的纵坐标为，∴，即∴，当m=1时，抛物线为．故选：B．5．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图像可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意．故选：B．6．二次函数（）的部分图象如图所示，图象过点（，0），对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点A（，），点B（，），点C（，）在该函数图象上，则；（5）m为任意实数，则．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【详解】解：∵对称轴为直线x=2，∴-=2，∴b=-4a，∴b+4a=0，∴（1）正确；∵经过点（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=b-a=-4a-a=-5a，∴4a+c-2b=4a-5a+8a=7a，∵a＜0，∴4a+c-2b＜0，∴4a+c＜2b，∴（2）不正确；∵5a+3c=5a-15a=-10a＞0，∴（3）正确；∵|-2-2|=4，|-2|=，|-2|=，∴y1＜y2＜y3，∴（4）不正确；当x=2时，函数有最大值4a+2b+c，∴am2+bm+c≤4a+2b+c，∴（5）不正确；综上所述：（1）（3）正确，故选：A．7．已知二次函数，当时，自变量的取值范围是______．【答案】x≤-2或x≥4【详解】解：∵二次函数，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，则，即，解得，或，∴当时，自变量x的取值范围是或，故答案为：或．8．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____．【答案】(6，5)【详解】∵AB与x轴平行，而点A，B均在抛物线上，∴点A与点B关于直线x=1对称，∵点A的坐标为，∴B点坐标为，故答案为．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此抛物线的解析式和对称轴．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝(2)存在，P的坐标为（，﹣）【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：解得：

∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣∴抛物线的对称轴为x＝．（2）解：存在，理由如下：连接PB由抛物线的对称性得：PA＝PB∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，设直线BC的解析式为y＝kx+m，将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，得，解得：，即直线BC的解析式为y＝x﹣2．令x＝，则有y＝﹣2＝﹣，即点P的坐标为（，﹣）．∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）．10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；【答案】(1)，顶点坐标为（1，4）；(2)0＜y≤4【详解】（1）解：将A（−1，0）和B（3，0）代入y＝−x2＋bx＋c，得，解得：，∴抛物线的解析式为：，∵，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）∵当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝0，∴由函数图象可得：当0＜x＜3时，0＜y≤4．题组C培优拔尖练1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线＞0，∴b＞0，∵与y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=图象在第二四象限，只有D选项图象符合．故选：D．2．若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【答案】D【详解】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．故选：D．3．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图，下列结论错误的为（）A．b2﹣4ac＞0 B．a+b+c＞0C．ax2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝0【答案】D【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故选项A正确不符合题意；由图象可知，当x=1时，y>0，所以a+b+c＞0，故选项B正确不符合题意；由图象可知，抛物线的最低点为(-2,-1)，所以ax2+bx+c≥﹣1，故选项C正确不符合题意；由图象可知，抛物线的对称轴为x=-2，，所以4a﹣b＝0，故选项D错误符合题意．故选：D．4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（

）A．abc＜0 B．a＋b＞m（am＋b）（m≠1）C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝1【答案】D【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故A正确；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y有最大值为a+b+c，∴am2+bm+c＜a+b+c，∴am2+bm＜a+b，∴a+b＞m（am+b）（m≠1），故B正确；由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故C正确；由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴另一交点的横坐标大于2小于3，∴当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴3a