2020大学初等数论高分上岸专用备考题库及完整答案

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一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.下列哪个数是模7的二次剩余？(A)2(B)3(C)5(D)62.若\(a\equivb\pmod{m}\)，则下列哪项一定成立？(A)\(a^2\equivb^2\pmod{m}\)(B)\(a^3\equivb^3\pmod{m}\)(C)\(a^k\equivb^k\pmod{m}\)对所有正整数\(k\)成立(D)\(a\equivb\pmod{2m}\)3.欧拉函数\(\phi(12)\)的值是？(A)2(B)4(C)6(D)84.下列哪个数是模11的原根？(A)2(B)3(C)5(D)75.若\(p\)是奇素数，则\(a^{p-1}\equiv1\pmod{p}\)是哪个定理的内容？(A)中国剩余定理(B)费马小定理(C)威尔逊定理(D)欧拉定理6.若\(n\)是正整数，且\(\gcd(a,n)=1\)，则\(a^{\phi(n)}\equiv1\pmod{n}\)是哪个定理的内容？(A)费马小定理(B)欧拉定理(C)威尔逊定理(D)中国剩余定理7.下列哪个数是模5的二次非剩余？(A)1(B)2(C)3(D)48.若\(p\)是素数，则\((p-1)!\equiv-1\pmod{p}\)是哪个定理的内容？(A)费马小定理(B)欧拉定理(C)威尔逊定理(D)中国剩余定理9.下列哪个数是模13的二次剩余？(A)3(B)5(C)7(D)1110.若\(a\equivb\pmod{m}\)，且\(c\equivd\pmod{m}\)，则下列哪项一定成立？(A)\(a+c\equivb+d\pmod{m}\)(B)\(a-c\equivb-d\pmod{m}\)(C)\(a\cdotc\equivb\cdotd\pmod{m}\)(D)以上全部二、填空题（总共10题，每题2分）1.若\(\gcd(a,b)=1\)，则称\(a\)和\(b\)是________。2.模\(m\)的完全剩余系中，与\(m\)互素的数的个数等于________。3.若\(p\)是素数，则\(\phi(p)=\)________。4.若\(a\equivb\pmod{m}\)，则\(a-b\)是\(m\)的________。5.若\(a\)是模\(p\)的原根，则\(a\)的阶是________。6.若\(n\)是正整数，且\(\phi(n)=n-1\)，则\(n\)是________。7.若\(a\)是模\(m\)的二次剩余，则勒让德符号\(\left(\frac{a}{p}\right)=\)________。8.若\(p\)是奇素数，且\(a\)是模\(p\)的二次非剩余，则\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\)________\(\pmod{p}\)。9.若\(n\)是正整数，且\(\sigma(n)=2n\)，则\(n\)称为________。10.若\(p\)是素数，且\(a\)是模\(p\)的原根，则\(a\)的幂次模\(p\)可以生成________的剩余类。三、判断题（总共10题，每题2分）1.若\(a\equivb\pmod{m}\)，则\(a^2\equivb^2\pmod{m^2}\)。（）2.若\(\gcd(a,m)=1\)，则\(a\)在模\(m\)下有乘法逆元。（）3.模\(m\)的完全剩余系中一定包含\(0\)。（）4.若\(p\)是素数，则\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)。（）5.若\(a\)是模\(p\)的二次剩余，则\(-a\)也是模\(p\)的二次剩余。（）6.若\(a\)是模\(m\)的原根，则\(a\)的阶是\(\phi(m)\)。（）7.若\(n\)是完全数，则\(n\)一定是偶数。（）8.若\(p\)是素数，则\(p\)的原根一定存在。（）9.若\(a\equivb\pmod{m}\)，则\(\frac{a}{d}\equiv\frac{b}{d}\pmod{\frac{m}{d}}\)，其中\(d=\gcd(a,b,m)\)。（）10.若\(a\)是模\(p\)的二次非剩余，则\(\left(\frac{a}{p}\right)=-1\)。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述欧拉定理的内容及其证明思路。2.什么是模\(m\)的原根？如何判断一个数是否是模\(m\)的原根？3.解释中国剩余定理的内容，并举例说明其应用。4.什么是二次剩余？如何利用勒让德符号判断一个数是否是模\(p\)的二次剩余？五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论费马小定理与欧拉定理的联系与区别。2.讨论模\(m\)的原根存在的条件及其意义。3.讨论完全数的性质及其研究意义。4.讨论二次剩余在密码学中的应用。答案与解析一、单项选择题1.A2.A3.B4.A5.B6.B7.B8.C9.A10.D二、填空题1.互素2.\(\phi(m)\)3.\(p-1\)4.倍数5.\(p-1\)6.素数7.18.-19.完全数10.所有非零三、判断题1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题1.欧拉定理指出，若\(\gcd(a,n)=1\)，则\(a^{\phi(n)}\equiv1\pmod{n}\)。证明思路基于群论，利用剩余类的乘法群的性质，证明\(a\)的阶整除\(\phi(n)\)。2.模\(m\)的原根是指其阶为\(\phi(m)\)的数。判断方法是验证\(g\)的所有真因数幂次模\(m\)不为1。3.中国剩余定理指出，若模数两两互素，则同余方程组有唯一解。例如，解\(x\equiv2\pmod{3}\)，\(x\equiv3\pmod{5}\)，得\(x\equiv8\pmod{15}\)。4.二次剩余是指存在\(x\)使得\(x^2\equiva\pmod{p}\)。勒让德符号\(\left(\frac{a}{p}\right)\)为1时是二次剩余，-1时是非剩余。五、讨论题1.费马小定理是欧拉定理的特例（\(n\)为素数时）。欧拉定理推广至任意模数，但要求\(\gcd(a,n)=1\)。2.模\(m