2021年医学高等数学期末核心考题及答案

2021年医学高等数学期末核心考题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$的定义域是（）A.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(-\infty,1)$C.$(1,+\infty)$D.$(-\infty,+\infty)$2.当$x\to0$时，与$x$等价的无穷小是（）A.$sinx$B.$ln(1+x)$C.$e^x-1$D.$arctanx$3.设$f(x)=\begin{cases}x^2,x\leq1\\ax+b,x>1\end{cases}$在$x=1$处可导，则$a$，$b$的值分别为（）A.$a=2$，$b=1$B.$a=2$，$b=-1$C.$a=-2$，$b=1$D.$a=-2$，$b=-1$4.曲线$y=\frac{x^2}{2}$在点$(2,2)$处的切线方程是（）A.$y=2x-2$B.$y=2x+2$C.$y=x+1$D.$y=x-1$5.若$f(x)$在$(a,b)$内单调递增，则$f'(x)$在$(a,b)$内（）A.大于零B.小于零C.等于零D.大于等于零6.定积分$\int_{0}^{1}e^{x^2}dx$的值是（）A.$e-1$B.$\frac{e-1}{2}$C.$e+1$D.$\frac{e+1}{2}$7.函数$f(x)=x^3-3x^2+9x-5$的单调递增区间是（）A.$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$B.$(-1,3)$C.$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$D.$(1,3)$8.设$z=x^2+y^2$，则$\frac{\partialz}{\partialx}$等于（）A.$2x$B.$2y$C.$x^2$D.$y^2$9.交换积分次序$\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx$等于（）A.$\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}f(x,y)dy$B.$\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy$C.$\int_{1}^{0}dx\int_{0}^{x}f(x,y)dy$D.$\int_{1}^{0}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy$10.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$的和是（）A.1B.0C.$\frac{1}{2}$D.不存在二、填空题（每题2分，共20分）1.函数$f(x)=\sqrt{x-1}+\ln(x-2)$的定义域是______。2.极限$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$的值是______。3.曲线$y=\frac{1}{x}$在点$(1,1)$处的切线方程是______。4.函数$f(x)=x^3-3x^2+1$的极小值是______。5.定积分$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx$的值是______。6.函数$f(x)=x^2e^{-x}$的单调递减区间是______。7.设$z=\ln(x+y)$，则$\frac{\partialz}{\partialy}$等于______。8.二重积分$\iint_{D}xydxdy$，其中$D$是由$y=x$，$y=2$，$x=0$围成的区域，其值为______。9.幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛半径是______。10.微分方程$y'+y=e^{-x}$的通解是______。三、判断题（每题2分，共20分）1.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处连续。（）2.当$x\to0$时，$sinx$与$x$是等价无穷小。（）3.若$f(x)$在点$x_0$处可导，则$f(x)$在点$x_0$处一定连续。（）4.曲线$y=x^3-3x^2+2x$的拐点是$(1,0)$。（）5.定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$的值与积分变量的符号无关。（）6.函数$f(x)=x^3-3x^2+9x-5$在区间$(-\infty,+\infty)$内无极值。（）7.设$z=x^2+y^2$，则$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$。（）8.二重积分$\iint_{D}dxdy$表示区域$D$的面积。（）9.幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$的收敛域是$(-1,1)$。（）10.微分方程$y''+y=0$的通解是$y=Asinx+Bcosx$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述函数连续性的定义。2.如何求函数的极值？3.定积分有哪些基本性质？4.二重积分的计算方法有哪些？五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的可导性。2.讨论曲线$y=x^3-3x^2+2x$的单调性和凹凸性。3.讨论二重积分$\iint_{D}xydxdy$的计算方法，其中$D$是由$y=x$，$y=2$，$x=0$围成的区域。4.讨论幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛域和和函数。答案：一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.D6.B7.A8.A9.A10.A二、填空题1.$(2,+\infty)$2.$e$3.$y=-x+2$4.$-1$5.$\frac{\pi}{2}$6.$(0,2)$7.$\frac{1}{x+y}$8.$\frac{4}{3}$9.110.$y=e^{-x}+C$（$C$为任意常数）三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.×10.√四、简答题1.若函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，且$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。2.求函数极值的步骤：（1）求函数的导数$f'(x)$；（2）令$f'(x)=0$，求出驻点和不可导点；（3）检查驻点和不可导点两侧导数的符号，确定函数的极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。3.定积分的基本性质：（1）$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数）；（2）$\int_{a}^{b}[f(x)\pmg(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx$；（3）$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$（$a<c<b$）；（4）若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geq0$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0$；（5）若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$存在。4.二重积分的计算方法：（1）直角坐标法：将二重积分化为累次积分进行计算；（2）极坐标法：将二重积分化为极坐标形式进行计算。五、讨论题1.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处无定义，所以函数在$x=1$处不连续，也不可导。2.对$y=x^3-3x^2+2x$求导得$y'=3x^2-6x+2$，令$y'=0$，解得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。当$x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}$或$x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$y'>0$，函数单调递增；当$1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$y'<0$，函数单调递减。对$y'$求导得$y''=6x-6$，令$y''=0$，解得$x=1$。当$x<1$时，$y''<0$，函数凸；当$x>1$时，$y''>0$，函数凹。3.二重积分$\iint_{D}xydxdy$可以用直角坐标法计算，先对$y$积分，再对$x$积分。积分区域$D$为：$0\leqx\leq2$，$x\leqy\leq2$。则$\iint_{D}xydxdy=\int_{0}^{2}dx\int_{x}^{2}xydy=\frac{4}{3}$。4.幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛半径为$R=1$。当$x=1$时，级数为$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，发散；当$x=-1$时，级数为$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$，收敛。所以幂级数的收敛域为$(-1,1]$。设