23.1 锐角的三角函数第2课时 正弦与余弦（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册第二十三章解直角三角形

23.1锐角的三角函数第2课时

正弦与余弦目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂反馈分层练习课堂小结学习目标1．理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；(重点、难点)2．在直角三角形中求正弦值、余弦值．(重点)任意画

Rt△ABC

和

Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能试着分析一下吗？ABCA'B'C'新知探究

在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

这就是说，在直角三角形中，当锐角

A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．ABCA'B'C'新知探究ABC∠A的邻边b∠A的对边a斜边c

如图，在Rt△ABC

中.我们把锐角A

的对边与斜边的比叫做∠A

的正弦，记作sinA，即概念归纳任意画Rt△ABC

和

Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与

有什么关系？你能试着分析一下吗？ABCA'B'C'新知探究

这就是说，在直角三角形中，当锐角

A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．

在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'ABCA'B'C'新知探究ABC∠A的邻边b∠A的对边a斜边c

同理，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即概念归纳锐角

A的正弦、余弦、正切都叫做锐角A

的三角函数.概念归纳例2在Rt△ABC中，∠C

=

90°，如图，已知

AC=12，BC=5，求∠A的各个三角函数.┌ACB125解：在Rt△ABC中课本例题例3如图，在平面直角坐标系内有一点

P（3，4），连接

OP，求

OP与

x轴正方向所夹锐角

α的各个三角函数.xyOQ(3，4)Pα解：过点

P作

x

轴的垂线，垂足为

Q.在

Rt△PQO

中，OQ

=

3，QP

=

4，得课本例题1.如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB=10，AC=6，求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB.ABC106解在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC==8.课堂练习sinA==cosA==tanA==sinB==cosB==tanB==2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=8,CD⊥AB,求sin∠ACD,COS∠BCD解：根据勾股定理，得

3.如图,分别写出两个直角三角形中ㄥA和ㄥB的各个三角函数.

4.如图，在平面直角坐标系内有一点P(2,5),连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.P(2,5)Oαxy

5.菱形ABCD的两条对角线分别为AC=8cm，BD=6cm,求tan∠BAC

C1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(

)分层练习-基础D2.如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是(

)3.[2022·滨州]在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为________.4.如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝________.【点拨】C5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB等于(

)C6.[2022·宜宾]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3.将△BCD折叠到△BED的位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为(

)【点拨】利用矩形和折叠的性质可证△AFD≌△EFB，得BF＝DF，设DF＝x，则AF＝5－x.在Rt△ADF中利用勾股定理列方程求出x的值，进而可求出cos∠ADF的值.D7.[2023·包头]如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为(

)【点拨】∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5.设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a＋1，其中a>0，∴a2＋(a＋1)2＝52，解得a＝3(负值已舍去)，∴a＋1＝4.∴cosα＝

.故选D.

B8.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则下列三角函数值正确的是(

)B9.[2023·南充]如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(

)D10.如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为(

)【点拨】求正弦的前提是在直角三角形中，根据网格构造直角三角形是解题的关键.本题易直接求AB与AC的比值而出错.11.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝

.求：

(1)点B的坐标；

分层练习-巩固(2)cos∠BAO的值.12.如图，点M是正方形ABCD的边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.(1)求证：AE＝BF；

【证明】∵四边形ABCD为正方形,∴AB＝AD,∠BAD＝90°.∴∠BAF＋∠DAE＝90°.∵DE⊥AM，BF⊥AM，∴∠DEA＝∠AFB＝90°.∴∠ADE＋∠DAE＝90°.∴∠BAF＝∠ADE.在△DEA和△AFB中，∴△DEA≌△AFB(AAS).∴AE＝BF.(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值.【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ECD＋∠CED＝90°.∵∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠CED＝90°.∴∠AEF＝∠ECD.

∴△AEF∽△DCE.13.[2023·宜昌]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF.(1)若正方形ABCD的边长为2，点E是AD的中点.①如图①，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE；分层练习-拓展②如图②，当tan∠FCE＝时，求AF的长；【解】如图①，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H.∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，∴△GEH∽△CED.

∵点E为AD的中点，AD＝2，∴AE＝ED＝1.(2)如图③，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，