高考数学中总练习题

高考数学中总练习题.

1.已知函数/(x)=alnx—x+l(a£R)

(1)求函数/(制的单调区间；

(2)当a<0时,对任意的内£(。，1］，(与〈/)，都有/(%)-/(々)<4

求实数〃的取值范围.

2.已知定义在［0,用）上的函数/（x）=gx2+av+cosx.

（1）若为定义域上的增函数，求实数。的取值范围;

（2）若。=一1,）=〃七）=0,工产占，/（玉））为了（X）的极小值，求证:

%+x2<2%.

解:(1)由/(X)+OT+COS龙得:/'(X)=x+a-sinx.

・・,/（x）为上的增函数，..J'（x）=x+。-sinxNO在［0,内）上恒成立,

BPiz>sinx-x,

,

令g(x)=sinx-x(为之0),贝I](g(^)=cosx-l<0,

・•.g（”在［。,+8）上单调递减，.•.g（x）Kg（（））=（）,即g（"a=。,

.-.^>0,即实数。的取值范围为［0,收）.

（2）当。=一1时，/（x）=^x2-x+cosx,贝lj/'（x）=x-l-sinx,

.\/ff（x）=l-cosx>0,/（x）在［0,+00）上单调递增，

xr（o）=-i<o,广（不）="-i>o,

x<0

.-.3XOG（O,^-）,使得/'（不））=0,且当人0（。,与）时，r（）；当餐,2）时,

r（6>。；

••.“X）在（（）,』）上单调递减，在（如”）上单调递增，贝打小。）为/（X）的极小

值.

42

设王<工2,v/（0）=l>0,y（^-）=—■一7r-\>0,：.0<x］<x（）<x2<^,

设尸(%)=〃玉+力一〃F一6(0<)〈%),

f

/.F(x)=2x{)-2-2sin^cosx,/.F*(x)=2sin^sinx.

VA^€(0,^),.,.sinxo>O,又sinx>0,/.F*(x)>0,

.••尸(x)在(0,4)上单调递增，

z

F（0）=2%）-2-2sinx0cos0=2%）—2—2sin飞=2（$一1一sin升J=2/'（改））=0,

F(x)>F(0)=0,...尸(x)在(0,万)上单调递增,

.\F（x）＞F（O）=f（xo）-f（xo）=O9

x

丁•/（xj=f（2）=f（^c+（马一与））＞/（%-（七一%））=/（2%-x2）

71

0<x,

~^<X0<X2<712x0-x2<0

又/(x)在(0,%)上单调递减，Y＜2X0-X2,即X+W〈2XO.

所以始)在区间(1，白上单调递增，即⑴=0.所以即。⑺在区

间0,e2］上单调递增，即/)We(e2)二生则，所以］n(x丙)《乂曰，即用均

e—1e—i

We粤

所以火快的最大值为e察.

18.已知困数f(x)=av-21nx-2,g(x)=axex-4x.

(1)求函数/(©的极值；

(2)当。>0时，证明：(x)-2(Inx-x+1)>2(hi«-In2).

19.已知函数/(x)=e"-xe为自然对数的底数)，g(x)=lnx+〃ZK+l.

（1）若/（X）有两个零点，求实数。的取值范围；

（2）当〃=1时，礼/（力+习之83对任意的工£（0,+00）恒成立，求实数，〃的取值范围.

20.已知函数/（x）=xe"-4x-alnx.

<1）当时，求函数/（元）的单调区间;

（2）若/（X）21,求4的取值范围.

方法七：主元变换

例9.已知正实数〃，Sf（x）=x2-a2x\nx.

⑴若a=&,求函数/（%）在［l,e］上的值域；

（2）VXG［^,+OO）,均有/（x）N〃j2_r-l恒成立,求实数。的取值范围.

练习.(2019浙江22)已知实数。工()，设函数,f(x)=〃lnx+Jx+l,x>0.