自动控制原理 课件 第二章 自动控制系统的数学模型

自动控制原理第二章自动控制系统的数学模型1目录123自动控制系统的微分方程654拉普拉斯变换自动控制系统的传递函数自动控制系统动态结构图及其等效变换反馈控制系统的传递函数信号流图及梅逊公式数学模型的基本概念系统数学模型是分析系统的基础，是综合设计系统的依据静态特性：在恒定的或缓变的输入量的作用下，系统所表现出来的性能或属性。一般均可用代数方程来描述。动态特性：在变化剧烈的输入量的作用下，系统表现出来的性能或属性。一般均可用微分方程来描述。过渡过程：系统由一个平衡状态进入到另一个新的平衡状态之间的时间历程。数学模型属于仿真模型的一种。仿真模型通常包括实体模型和数学模型两大类。实体模型：几何相似模型、速度相似模型及动态特性相似模型等均属此类模型。数学模型：这类模型没有具体的实体。它通常利用代数方程、微分方程、空间状态方程或传递函数等数学手段来描述系统的静、动态特性。(1)确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进一些中间变量。(2)根据物理或化学定律，列出微分方程。(3)消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括扰动量)关系的微分方程（标准形式）。(4)输入量在等号的右边，输出量在等号的左边，两端的导数项均按降次排列。环节负载效应一、线性系统微分方程建立的一般步骤机械系统1(1).牛顿第二定律：F=ma(2).简化模型为质量块m、弹簧k、阻尼器ff—粘滞摩擦系数k—弹簧系数方向：均为阻碍物体运动趋势二、线性系统微分方程的建立举例例2-1.求外力F(t)与质量块m位移ｙ(t)之间的微分方程解由牛顿第二定律列出方程图2-1弹簧-质量-阻尼器系统即式中，ｆ——为阻尼系数；ｋ——为弹簧的弹性系数。ky(t)——弹性拉力——阻尼器阻力机械位移系统二、线性系统微分方程的建立举例弹簧－阻尼器系统点A:点B:例2-2二、线性系统微分方程的建立举例(2).典型元件的电压与电流的关系(1).环路电压定律和节点电流定律电气系统2二、线性系统微分方程的建立举例RLC网络例2-3由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以为输入量，以为输出量的网络微分方程。解：设流过电感L的电流为i（t）则：带入后消去电流为i（t）则得如下方程：空载二、线性系统微分方程的建立举例直流他激电动机设激磁电流恒定并忽略电枢反应。ω为转速，Ua为电枢电压，Mc为负载1)电枢回路的电势平衡方程为：2)电动机的反电势方程为Ce为电动机的电势常数，单位为v·s／rad。

3)电动机的电磁转矩方程为Cm为电动机的转矩常数，单位为Nm／A。

4)电动机轴上的动力学方程为J为转动部分折算到电动机轴上的总转动惯量，其单位为N·m·s2。消去ea、ia、M三个中间变量，可以得到描述输出量ω，输入量ua及扰动量M之间的关系的微分方程为：电机的电磁时间常数电机的机械时间常数电压传递系数转矩传递系数通常电枢的电感La很小，所以电磁时间常数可以忽略不计，于是电动机的微分方程可以简化为：如果取电动机的转角作为输出，则上式可改写为二、线性系统微分方程的建立举例一、拉氏变换(Laplacetransform)的定义满足条件1.在任一有限区间，分段连续，只有有限个间断点2.有限性，即当时间趋紧无穷大时，收敛于某一个数定义：式中称为原函数称为象函数阶跃函数的定义如果A＝1,称为单位阶跃函数,记为1（t），即对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一个恒值输入量。如左图所示A该函数的拉氏变换为：单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。二、拉氏变换举例（典型函数拉氏变化）脉冲函数拉氏变换为:函数的图形如图所示。脉冲函数的积分就是阶跃函数单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。二、拉氏变换举例（典型函数拉氏变化）斜坡函数也称等速度函数，其定义如果A＝1，称为单位斜坡函数，如图所示输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，如右图所示该函数的拉氏变换为：单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s2。分部积分法阶跃函数1二、拉氏变换举例（典型函数拉氏变化）指数函数正弦函数和余弦函数欧拉公式二、拉氏变换举例（典型函数拉氏变化）三、拉氏变换的性质1.线性性质（叠加性质）：该定理表示：①常数与原函数乘积的拉氏变换等于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。②若干原函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换之代数和。2.延时性质（时域位移性质）：3.衰减性质（复域位移性质）：三、拉氏变换的基本性质4.微分性质：设，则各阶导数的拉氏变换为：特别注意：三、拉氏变换的基本性质设，则特别注意：当是n重积分时，5.积分性质：6.终值性质：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)，7.初值性质：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)，三、拉氏变换的基本性质时间比例尺性质、频域微分性质、卷积性质这是复变函数的积分，一般难以直接计算。通常用查拉氏表的方法求拉氏反变换。若原函数F(s)在表中不能直接查到，则需将F(s)展开成部分分式,再对每项象函数求拉氏反变换，将各反变换的原函数相加，就得到F(s)的原函数。这种方法称为部分分式法留数法由象函数F(s)求原函数f(t)称拉氏反变换，用表示，数学定义为：四、拉氏反变换四、拉氏反变换F(s)一般可以写成如下形式：根据极点的不同，可以分成如下三种情况讨论分析式中是F(s)的极点。四、拉氏反变换F(s)只含有不相同的实数极点1.无重实根式中是待定的常数，它是的留数,按下式求得。

F(s)的拉氏反变换为：四、拉氏反变换1.无重实根求拉氏反变换。解:留数法待定系数法常用不常用查表例2-5解:求拉氏反变换令微分定理四、拉氏反变换1.无重实根例2-6四、拉氏反变换2.共轭复根若F(s)的极点中含有复数极点，仍可用上面单极点的处理方法来分解F(s)，只是ki是复数如果s1,s2是共轭复数极点，则k1,k2也是共轭复数，故两个求一个即可。即可得到一复数方程，用待定系数法分别令实部与虚部相等，即可解出k1,k2四、拉氏反变换2.共轭复根例2-7解：求原函数k1,k2,k3代入上式得取拉氏反变换得四、拉氏反变换2.共轭复根例2-7求原函数假设有个重复极点四、拉氏反变换3.重根求拉氏反变换解：四、拉氏反变换3.重根例2-8一、传递函数的基本概念定义：对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换Y(s)与输入量的拉氏变换X(s)之比。表示方法：初始条件为零微分定理根据定义说明：（1）特征方程：传递函数中分母等于零的方程称作特征方程：（2）极点：使特征方程为零的s=pi称为极点。i=1,2,…,n（3）零点：是传递函数为零的s=zj称为零点。j=1,2,…,m共同决定了系统的动态过程一、传递函数的基本概念求取方法：（1）直接计算法。根据具体的物理系统，列写出系统的运动微分方程，再对其进行拉氏变换，最后求得系统的传递函数。（2）函数方块图计算法。这种方法是根据系统“传递函数”方块图的不同连接，通过对方块图的计算法则，求出系统的传递函数。（3）实验法。对于十分复杂或根本无法建模的系统，目前还只能利用实验的方法来求得系统的传递函数。用实验法来修正求得的结果。性质：（1）传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。（2）传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的次数n，即m≤n。且系数均为实数。（3）在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函。（4）传递函数的定义只适用于线性定常系统。一、传递函数的基本概念（5）当系统输入量是单位脉冲函数，即结论：当系统的输入量为单位脉冲函数时，则系统输出量的象函数，即为系统的传递函数。显然，这是一个用实验法得到系统传递函数的重要方法。而系统的输出量xo(t)，则通常称之为单位脉冲响应函数。二、典型环节及其传递函数一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和延时（滞后）环节。环节：从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些基本环节组成，能组成独立的运动方程的一部分称为一个环节。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，各环节不能有相互影响（无负载效应）。1.比例环节输出量与输入量成正比的环节，又称放大环节注意：比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化。如杠杆机构、啮合齿轮的转速比、理想运算放大器等，测速发电机在控制系统中常用作速度传感器，提供与转速成正比的电压信号。2.惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为传递函数为式中T为时间常数，K为比例系数ui uo R

C iRC电路为惯性环节，输出电压Uo和输入电压Ui的关系为二、典型环节及其传递函数例：有源四端网络二、典型环节及其传递函数3.微分环节输出正比于输入的微分的环节，微分方程为传递函数为注意：1.当输入为阶跃函数时，输出为脉冲函数，实际上是不可能的（常和其它元件配合使用），称为理想微分环节（无惯性系统）。2.微分环节具有预见性（提前校正）、增加系统阻尼（增加稳定性）的作用。如液压缸的流量和活塞位移的关系为： x(位移)是不能产生阶跃的（除非没有惯性）。4.一阶微分环节微分环节和比例环节的并联时（又称比例微分控制）二、典型环节及其传递函数5.积分环节输出正比于输入的积分的环节，微分方程是传递函数是注意：输入为定值时，输出将正比于时间。齿轮齿条传动传动副，齿条的位移y与齿轮转速n的关系液压缸的活塞位移和流量的关系

6.延时环节当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间τ后，才能复现输入信号，在时间0到τ的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为延时（滞后）环节。纯滞后环节的数学表达式为延迟定理二、典型环节及其传递函数7.振荡环节振荡环节的微分方程是传递函数为称阻尼比

对于振荡环节有介于0和1之间

该环节因为含有两种贮能原件，在信号的传递中，隐能量的转换而使其输出带有振荡性质。当输入为单位阶跃函数时，输出可用拉氏变换求得环节的输出响应，如右图所示响应。左图是一个典型的R-L-C振荡电路i回路电压定律联立上面两方程，消去中间变量电流i说明上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点：1.系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型的数学模型。2.同一装置（元件），如果选取输入、输出量不同，它可以成为不同的典型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为输出时，它却是一个积分环节。3.在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。4.典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。框图是系统中各个元件功能和信号流向的数学图形。在控制工程中，人们习惯用框图说明和讨论问题1.只要依据信号的流向，将各环节的框图连接起来，就能容易构成整个系统。2.通过框图可以评价每一个环节对系统的影响，便于对系统进行分析和研究。3.框图和传递函数一样，包含了与系统动态性能有关的信息，但和系统的物理结构无关。框图结构框图函数框图：将系统中各元件的名称或功用写在框图单元内，并标明它们的连接顺序和信号流向。：将系统中各元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单元连接起来。说明系统构成和工作原理说明环节特性、信号流向、及变量关系本节主要讲述对象√×结构图的基本组成单元1.信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，且信号只能单向传输。2.方块单元：即一个元件或环节的传递函数方块图，该方块可以对信号进行数学变换，流入方框的称为输入信号R(s),流出方框的称为输出信号C(s)，其变换关系为G(s)R(s)C(s)3.比较点：表示两个或多个信号在此代数相加减。又称比较器，如下图所示。其中“+”号表示相加，“－”表示相减。4.引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。如果已知系统的组成和各组成部分的传递函数，就可以通过上述四种基本单元将系统各部分连接起来，构成整个系统的结构图。X(s)X(s)二、结构图的等效变换前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。各环节的传递关系为G1(s)G2(s)G3(s)X(s)Y(s)Y1(s)Y2(s)G(s)＝G1(s)G2(s)G3(s)X(s)Y(s)传递函数的定义1.串联这表明环节串联可以用一个等效环节去取代，等效环节的传递函数为串联各环节传递函数的乘积。写成一般形式为注意：串联环节之间应无负载效应。输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。三个环节的输入部分都为X，而输出分别为Y1、Y2、Y3

，G(s)=G1(s)+G2(s)+G3(s)X(s)Y(s)2.并联二、结构图的等效变换这表明几个环节并联时，可以用一个等效环节去取代，等效环节的传递函数为各环节传递函数的代数和。写成一般形式为注意：减号放入传递函数内时（相减时的减号包含在Gi(s)内）G(s)=G1(s)+G2(s)+G3(s)X(s)Y(s)2.并联二、结构图的等效变换如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反馈连接。其中G1(s)G2(s)可以是等效方框图，即它们可以是由若干元件方框串、并联组成。按图中的传递关系有E(s)B(s)X(s)Y(s)3.反馈二、结构图的等效变换E(s)B(s)注意：如果反馈为正反馈，如上图，则相应的闭环传递函数为闭环传递函数3.反馈二、结构图的等效变换4.引出点的移动将分支点跨越框图移动时，必须遵循移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则。G(s)X(s)X(s)Y(s)ABG(s)X(s)Y(s)X(s)ABABG(s)X(s)Y(s)Y(s)X(s)Y(s)Y(s)G(s)AB1.引出点后移2.引出点前移二、结构图的等效变换5.比较点的移动将比较点跨越框图移动时，应遵循移动前后总输出量保持不变的等效原则。G(s)X1(s)X2(s)+-Y(s)ABX2(s)X1(s)G(s)G(s)+-Y(s)AB1.比较点后移2.比较点前移G(s)X1(s)X2(s)+-Y(s)ABG(s)X1(s)X2(s)+-Y(s)AB1/G(s)二、结构图的等效变换利用结构图的变换规则简化系统的结构图时，可根据具体情况采取不同的简化方法。相邻的比较点（相加点、综合点）可交换次序，相邻的引出点可交换次序。如果结构图只有简单的串、并联和反馈连接时，可先计算简单的串、并联和反馈连接部分，然后再逐步简化整个结构图。如果结构图中存在交叉连接或交叉反馈时，则先应作分支点或综合点的移动，消去交叉现象后，再按简单连接方式逐步简化。变换后，各前向通道传递函数的乘积不变。变换后，各回路传递函数的乘积不变。6.

系统框图的简化原则二、结构图的等效变换G1G2G3G4G5G6+-+++-X(s)Y(s)解：这是一个没有交叉现象的多环系统，里面的回路称为局部反馈回路，外面的回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和综合点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。IIIIII例2-9简化框图并求总的传递函数7.

例题二、结构图的等效变换IIIIIIIII解：将引出点A后移(跨越G2)至B处和比较点C前移至D处。然后按简单串、并联和反馈连接的简化规则即可ACDB这是一个有交叉现象的多环系统，G2是G2G3H2、G2G3G4回路和G1G2H1回路的公用单元例2-10简化框图并求总的传递函数设系统如下图所示，图中R(s)—参数输入，

D(s)—扰动1、开环传递函数系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即2、只有输入作用下的闭环传递函数令D(s)=0，则求得系统的输出为如果H(s)=1，则上图系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为3、扰动D(s)作用下的闭环传递函数令r(t)=0当系统同时受到R(s)和D(s)作用时，由叠加原理得系统总的输出为系统总的误差为信号流图也是一种图示法，将它应用于线性系统时必须先将系统的微分方程组变成以S为变量的代数方程组，且把每个方程改写为下列的因果形式信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路节点在图中用“o”表示，它表示系统中的变