高中教师招聘考试数学试卷

中学数学老师聘请考试数学试题

一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在答题卡

对应的方格内）

1.已知集合A={-1,0,1},集合8={(x,y)|xe-yeA}，则集合B中

所含元素的个数为（）

A3B5C7D9

2.若函数/⑴=E,则“f（e））=

InJ,x＞1

A3B26+1CeD1

3.函数/*）=2》+/3_2在区间（0,1）内的零点个数是

A0B1C2D3

4.若。＞0力＞0,。+〃=2,则下列不等式对一切满意条件的名。恒成立的是

（）

（填写正确命题的编号）.

A③⑤B①②④C②③⑤D①③⑤

5.若AA8C外接圆的半径为1,圆心为为圆。的直径，且，则方•瓦

等于（）

A.3B.6C.3D.26

2

6.设曲线/（x）=2小-〃在点（1,〃）处的切线与直线2x-y+l=O平行，则实

数。的值为

BWC2D3

卜I

7.复数的共聊复数是（)

A-l-iB-l+zCl-iD\+i

8.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆=l（a>b>0）的焦点与顶

点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则

椭圆的离心率为（）

A.-B.-C.—D.—

3232

9.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是（）

84

A.-B.-C.4D.8

33

10.已知等差数列｛6｝中，则为2的值是（）

A.15.B.30C.31D.64第9题

选择题答题卡

题号12345678910

答案

二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，将正确的答案填在

横线上。

11.已知a,ac分别是AA3c的三个内角A,BC所对的边，若

£且8是A与。的等差中项，贝JsinA=

12.已知圆C过点（1,0）,且圆心在1轴的正半轴上，直线/：），=x-l被该

圆所截得的弦长为20,则圆C的标准方程为.

13.设是两条不同的直线，a,尸，丁是三个不同的平面.有下列四个

命题：

①若all/3,mua，nu。，则mHn；

②若m.LamH/3,则a_L/?；

③若〃」a,nl/3f_La,则mlP；

④若a_Ly,/3ty,mLa则_L/?.

其中错•误•命题的序号是

14.已知小-m)7=%+研+4/2+%F的绽开式中15的系数是189,则实

数m=.

15.将容量为〃的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一

组至第六组的数

据的频率之比为2：3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和为27,

则〃

三.解答题(本题共6小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤)

16.(本题满分8分)

己知函数/(x)=3cos@r+°)(co>0,-—<(p<0)的最小正周期为不，且

其图象经过点(生,0)。

12

(1)求函数/(幻的解析式；

(2)若函数g(x)=/(1+g),a、/?G(0,^),且g(a)=l,g(/?)=言2,

2624

求g(a-夕)的值。

17.(本题满分8分)

已知单调递增的等比数列｛/｝满意：%+为=20,67.=8.

(I)求数列的通项公式；

(II)若勿=%+log/“，数列出｝的前n项和为S“，求S”.

2

18.(本题满分9分)

如图，在三棱锥P-A8C中，AB=AC,。为8C的中点，2。，平面4?。,

垂足。落在线段AO上.

(I)证明：APLBC,P

(II)已知BC=8,PO=4,40=3,OD=2.

求二面角A-AP—C的大小.

A

19.(本题满分10分)°

B

一个盒子里装有标号为1,2,3的3大小、颜色、质地完全相同的小

球，现在有放回地

从盒子中取出2个小球,其标号记为x,y,记〃=|“一1|十|我一y|.

(1)设〃的取值集合为M,求集合M中全部元素的总和；

(2)求〃=2时的概率.

20.(本题满分10分)

已知椭圆C：三+==13＞方＞0)的离心率为¥，其中左焦点F(-2,

a2b22

0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段的中点M

在

圆』+)2=1上，求〃?的值.

21.(本题满分10分)

已知~不》=^^在时有极值0.

(1)求常数〃、人的值；(2)求/(x)的单调区间.

参考答案

二、11.12.(x-3)2+y2=413.①④14.3,-315.60

2

三、

16.解：（1）依题意函数的最小正周期7二二二〃，解得0=2,所以

co

f(x)=3cos(2_r+°)

因为函数/(万的图象经过点(q,0),所以3cosQx三+⑼=(),

得至2x2+夕=24+工,攵£Z,^fl(p=k7r--,keZ,

1223

由一工<°<0得°=一工，故/(x)=3cos(2x-马oooooo4

233

分

(2)依题意有g(x)=3cos[2x(二+2)-&]=3cosx,由g(a)=3cosa=1

263

得cosa=,，同理g(/0=3cos/=当旦，得cos0二旦,

344

而a、/£(0,—j，所以sina=71-cos2a-

23

所以g(a-/?)=3cos(a-0)=3(cosacosy9+sinasin/?)=

oI722V2V14V2+4V7

3x(—x--d-----x----)=--------oooooooo8分

34344

17.解：（I）设等比数列｛〃”｝的首项为4,公比为q,

依题意，有卜尸,面=20,解之得卜二；或卜二2.

[%二«4二8〔4=2

又｛4｝单调递增，♦・・["=：，♦・.〃”=2".

5分

[%=2

(H)依题意，〃=2"+log|2"=2"-〃,

2(1—2")〃(〃+l)=2“+i2"S+D,

S8

1-2~2—-"2~'

分

18.

（I）证明：由，D是中点，得AD_LAC,

又。。_1_平面，，得POBC

因为尸OcAD=。，所以3CJ_平面，故8CJ.PA。。。。3分

(II)解：如图，在平面内作3MJLPA于M,连。

因为8C_LPA得附，平面，所以，。

故NBMC为二面角B——C的平面角。。。。。。5分

在RtAADB^AB2=AD2+BD2=41,得AB="I

在RMON,PD2=PO2+OD2,

在用APZ龙中，PB2=PD2+BD2,

所以P3?=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6.

在RrAPOA中,PA2=AO2+OP2=25,得尸A=5.

T7znnx+-272

乂cosZ.BPA=-------------=一，从WlJsinZBPA=----

2PAPB33

故=PBsinZBPA=4起

同理GM=472.

因为BAV+MC?=BC2

所以NBMC=90。，即二而角B----C的大小为

90°.oooooo9分

19.解：(1)由题意得:

当x=l时，y可以取1,2,3,对应的〃的值为0,1,2;

当x=2时，y可以取1,2,3,对应的77的值为2,1,2;

当x=3时，y可以取1,2,3,对应的〃的值为4,3,2;

故〃的取值集合M为{0,1,2,3,4}.

所以集合M中全部元素的总和为0+l+2<H4=10..5

分

(2)记取出的2个小球的标号为X,)，，则5)，)共有9种状况:

(1,1),(1,2)(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).其中

(1,3),(2,1),(2,3),(3,3)满意、=2,

共，种状况。故〃=2时的概率为ooo10分

9

\c_41

--.---

a2

a=2V2

20.解：(1)由题意得，得c=2解得

b=2

a2=/72+c2

22

故椭圆的方程为：--+=1OOOQOOOOOO4分

84

?

(2)设点A(X],)，]),B(X2,>2)»线段的中点为M(x(),yo),

x2_2y__

由,8+4—消去)得，3”+4mx+2m