第二十一章 四边形 章末复习 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章四边形

人教版2026·八年级下册章末复习平行四边形四边形两组对边分别平行只有一组对边平行梯形一个角是直角一组邻边相等距形菱形一组邻边相等一个角是直角正方形21.3.3.2正方形的判定

教学课件教学过程分页内容第1页：复习导入（3分钟）1.回顾旧知：提问学生“我们已经学习了哪些特殊的平行四边形？它们的定义和判定方法分别是什么？”2.梳理关系：引导学生梳理矩形、菱形与平行四边形的从属关系，明确“矩形是有一个角为直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形”。3.引出课题：展示正方形实物图（如魔方、地砖），提问“正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么如何判定一个图形是正方形呢？今天我们就来探究正方形的判定方法。”第2页：探究一：从矩形出发判定正方形（8分钟）1.提出问题：“矩形具备什么条件时会成为正方形？”引导学生思考：矩形的四个角都是直角，若要成为正方形，还需满足边的条件。2.合作探究：让学生分组讨论，结合矩形和正方形的性质对比，得出猜想“有一组邻边相等的矩形是正方形”。3.逻辑证明：引导学生结合矩形的定义和正方形的定义进行证明。已知：四边形ABCD是矩形，AB=AD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AB=CD，AD=BC。又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD，且∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形。4.得出结论：板书判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。第3页：探究二：从菱形出发判定正方形（8分钟）1.类比提问：“菱形具备什么条件时会成为正方形？”引导学生类比探究一的思路，从角的角度思考：菱形的四条边相等，若要成为正方形，还需满足角的条件。2.自主探究：让学生独立思考并写出猜想“有一个角是直角的菱形是正方形”。3.验证证明：请一名学生上台板演证明过程，其余学生在练习本上完成。已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC。又∵∠A=90°，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD是正方形。4.得出结论：板书判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形。第4页：探究三：从平行四边形出发判定正方形（10分钟）1.深层提问：“如果从平行四边形出发，需要满足什么条件才能判定为正方形？”引导学生结合前两个判定定理，思考平行四边形成为正方形的双重条件。2.小组讨论：组织学生分组讨论，明确“平行四边形要成为正方形，既要满足矩形的条件，又要满足菱形的条件”，进而得出猜想“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形”。3.推理验证：引导学生结合平行四边形、矩形、菱形的定义进行推理。∵平行四边形中，有一组邻边相等则为菱形，有一个角是直角则为矩形，∴既是菱形又是矩形的平行四边形是正方形。4.拓展思考：提问“还有其他判定正方形的方法吗？”引导学生得出“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”，并简要说明证明思路（对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为正方形）。5.汇总判定方法：梳理并板书正方形的三种核心判定方法，强调“正方形是特殊的矩形和菱形，判定时需抓住‘边相等’和‘角为直角’的双重特征”。第5页：例题讲解（12分钟）1.例题呈现：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F。求证：四边形CEDF是正方形。2.分析思路：引导学生思考：①

先判断四边形CEDF的形状（平行四边形）；②

再证明它是矩形（有三个角是直角）；③

最后证明它有一组邻边相等（角平分线的性质）。3.规范证明：板书证明过程：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，∴∠DEC=∠DFC=∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形。又∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF，∴矩形CEDF是正方形。4.变式提问：“如果将题目中的Rt△ABC改为一般三角形，还能判定四边形CEDF是正方形吗？为什么？”强化学生对判定条件的理解。第6页：数学活动——黄金矩形和剪拼正方形（15分钟）1.活动引入（3分钟）：展示黄金矩形相关实物图（如巴特农神庙、书籍封面），提问“这些图形为何看起来如此和谐美观？它们蕴含着特殊的比例关系——黄金比例。今天我们就通过剪拼活动，探索黄金矩形与正方形的关联。”明确活动目标：①

认识黄金矩形的特征；②

掌握将黄金矩形剪拼为正方形的方法；③

深化对正方形判定的理解。2.新知铺垫（2分钟）：讲解黄金矩形定义：宽与长的比值为(√5-1)/2（约0.618）的矩形叫做黄金矩形。出示一个标准黄金矩形纸片（标注长为a，宽为b，b/a=(√5-1)/2），引导学生观察其特征。3.剪拼探究（7分钟）：①

分组操作：每组发放一张黄金矩形纸片、剪刀、直尺、铅笔，要求学生尝试通过剪拼，将黄金矩形转化为一个正方形。②

引导思考：“剪拼的核心是保证面积不变，如何利用黄金矩形的边长关系剪出合适的部分？”提示学生先以黄金矩形的宽为边长，在矩形内部剪出一个正方形（标注正方形ABCD，剩余部分为矩形AEFD）。③

验证发现：让学生测量剩余矩形AEFD的长和宽，计算比值，发现其仍是黄金矩形，体会“黄金矩形剪去一个正方形后仍为黄金矩形”的特性。④

成果展示：邀请2-3组上台展示剪拼过程，说明剪拼依据。4.逻辑关联（3分钟）：提问“我们剪拼出的图形为何是正方形？如何用今天所学的正方形判定定理验证？”引导学生回答：剪去的部分以黄金矩形的宽为边长，故四条边相等，且矩形的角为直角，因此剪出的图形是“有一组邻边相等的矩形”，符合正方形判定定理1，故为正方形。强化“剪拼操作”与“理论判定”的联系，深化对判定定理的应用。1.知识梳理：引导学生回顾两部分核心内容：①

正方形的三种核心判定方法：从矩形出发（有一组邻边相等）、从菱形出发（有一个角是直角）、从平行四边形出发（双重条件）；②

黄金矩形特征及剪拼正方形的方法，明确剪拼与正方形判定的关联。2.思想总结：强调“类比探究”（类比矩形、菱形的判定思路）和“转化思想”（将正方形的判定转化为矩形或菱形的判定）的应用。3.易错提醒：总结常见错误，如“只满足一个条件就判定为正方形”，提醒学生判定时需同时满足矩形和菱形的相关条件。知识结构图平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形矩形菱形正方形知识回顾几种特殊四边形的性质边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等对角相等互相平分对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形对边平行且四边相等对角相等轴对称图形互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角对边平行且四边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角轴对称图形知识回顾几种特殊四边形的常用判定方法条件平行四边形矩形菱形正方形1.定义：两组对边分别平行；2.两组对边分别相等；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.一组对边平行且相等.1.定义：有一个角是直角的平行四边形；2.对角线相等的平行四边形；3.有三个角是直角的四边形.1.定义：一组邻边相等的平行四边形

；2.对角线互相垂直的平行四边形；3.四条边都相等的四边形.1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；2.有一组邻边相等的矩形；3.有一个角是直角的菱形；4.对角线垂直平分且相等知识回顾任意四边形平行四边形正方形矩形菱形5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角且一组邻边相等一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等知识回顾其他重要概念及性质1.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离.abABCDEF两条平行线之间的距离处处相等.知识回顾2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.ABCDEDE∥BC，且

DE=BC.

知识回顾3.直角三角形斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.ABCO

BO=BD=AC.

D知识回顾中考考法1．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3是外角，则∠1＋∠2＋∠3＝(

)A．100°B．180°C．210°D．270°【点拨】如图，延长AB，DC.∵AB∥CD，∴∠4＋∠5＝180°.∵多边形的外角和为360°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－(∠4＋∠5)＝360°－180°＝180°.【答案】B中考考法2．按要求完成下列各小题．(1)一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数；【解】设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)×180°＝360°＋900°，∴n＝9.∴这个多边形的边数是9.中考考法(2)如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF的度数．中考考法【解】∵正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴其每个内角为540°÷5＝108°.

∴∠ABC＝∠EAB＝108°.∴∠ABF＝180°－∠ABC＝180°－108°＝72°.∵长方形每个内角为90°，∴∠F＝90°.∴∠BAF＝180°－∠F－∠ABF＝180°－90°－72°＝18°.∴∠EAF＝∠EAB＋∠BAF＝108°＋18°＝126°.中考考法3．如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(

)A．AD＝BC，∠B＝∠DB．AD∥BC，AB＝CDC．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，∠A＝∠BC中考考法4．如图，在▱ABCD中，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则△ABE的面积为________．16中考考法中考考法5．如图，在▱ACFD中，点B，E分别在AC，DF上，AB＝FE，AF交CE于点N．中考考法(1)求证：四边形BCED是平行四边形；【证明】∵四边形ACFD是平行四边形，∴AC∥DF，AC＝DF.∵AB＝FE，∴BC＝DE.∴四边形BCED是平行四边形．中考考法(2)已知DE＝6，连接BN，若BN平分∠DBC，则CN的长为________．6【点拨】由(1)可知，BC＝DE，四边形BCED是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠DBN＝∠CNB.∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN.∴∠CBN＝∠CNB.∴CN＝CB＝DE＝6.中考考法6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G分别是BC，AC，AD的中点，若∠EFG＝130°，则∠EGF的度数为(

)A．20°B．25°C．30°D．35°B中考考法7．在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为________米．300中考考法中考考法8．[2025杭州一模]如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB∶AD＝3∶5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连接CD，F为DC的中点，则线段EF的长是________．中考考法中考考法9．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝________时，该活动框架是矩形．90°中考考法10．[2025河北]如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，A′