2026高中【MST新思路思维扩展】(二轮复习) 上-数列

板块五数列考点一.等差等比数列的计算一．等差数列性质1.an=a1+(n-1)d中的知三求一．1.关于等差中项：如果成等差数列，则,在等差数列中，若且．2．，用此公式要求必须具备三个条件：．3．，此公式要求必须具备三个条件：（有时比较有用）．总之：两个公式都表明要求必须已知中三个．2.an与Sn之间一步转换例：；．公式一：（其中为奇数）例：．公式二：例：；．当也成等差数列时，均有．3.只有S的模型与最值问题性质1.等差数列中：，则有可以求出，甚至．注意：①若，则一定有：；．②，，成等差数列，公差为性质2.等差数列中：为首项是，公差是的等差数列，若，则特别的，若，则有．性质3.关于等差数列最值和零点区间问题有最大值；有最小值，若，则有同时取得最值，的最大值；,的最大值.【例1】（2025·新课标Ⅱ卷）记为等差数列的前n项和，若则（

）A． B． C． D．【例2】（2025·天津卷），则数列的前项和为（

）A．112 B．48 C．80 D．64【例3】（2024•新课标II卷）记为等差数列的前n项和，若，，则________.【例4】（2024•甲卷）等差数列的前项和为，若，，则（）A. B. C.1 D.2【例5】（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【例6】（2019•北京）设等差数列的前项和为，若，，则，的最小值为．【例7】（2019•新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则．【例8】（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{}的前项和为，若，，，则（）A． B． C． D．二．等比数列性质1.关于等比中项：如果在a．b中插入一个数G，使a．G．b成GP，则G是a．b的等比中项．（注意两解且同号两项才有等比中项）例：2与8的等比中项为G，则2.等比数列的有关性质：①．与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方．②．若，则．3.一般公式推导：设①乘以公比，②①②：，时：时：注意：（1）和各已知三个可求第四个．（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆．（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况．4.等间隔的等比数列比值公式1：．例如：①②③④强调：一定要项数相等，才能用此定理。推论：在等比数列中，当项数时，．公式2：．例如：①； ②； ③；④(重点)．【例9】（2025·北京卷）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（

）A． B． C．16 D．18【例10】（2025·新课标Ⅱ卷·多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（

）A． B．C． D．【例11】（2025·新课标Ⅰ卷）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为.【例12】（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则A．120 B．85 C． D．考点二.数列递推1．整体等比数列构造递推式转化为，为待定系数①．当时，，．②．当时，同除以，得：数列是以，则．（将在后面详细叙述）③.转化成即解出；可得数列为首项，为公比的等比数列，．【例13】（2025·安徽模拟）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（

）A．510 B．514 C．1022 D．1026【例14】（25·广东深圳期末）已知数列的前项和为，其中，，则（

）A． B． C． D．【例15】（2025·江苏·三模）已知数列满足，，.设，若不等式对于任意都成立，则正数的最大值为.2.显形与隐形和式代换显形和式代换：隐形和式代换：两式想减可得【例16】（2025·江西九江阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．3.分式差分方程的通解差分方程称为分式线性差分方程,其中,是四个常数,且.像设是一个常数,则令,即任取方程的一个根,应有设为方程的两个根,①,则有令,就得到，由于是常数,所以,也就有.②当时，，数列为首项，为公差的等差数列；【例17】（2025·多选·江西阶段练习）设函数，数列满足，，则（

）A． B．数列是等比数列C． D．4.分式周期数列，当，是周期为2的周期数列；当时，是周期为3的周期数列；当时，是周期为4的周期数列；当时，是周期为6的周期数列；也可以理解为，分别取代入，均符合此规律.【例18】（2025·黑龙江辽宁模拟预测）已知函数满足，则下列结论正确的是（

）①；②，使得；③若，则；④若，则A．①③ B．①②③ C．②④ D．①③④【例19】（2025•多选•青岛月考）设数列和的项数均为，称为数列和的距离，记满足的所有数列构成的集合为．已知数列和为中的两个元素，项数均为，下列正确的有A．数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为4 B．若，则 C．若，则 D．若，，数列和的距离小于2017，则的最大值为34565.二阶常系数线性差分方程，得，可知：．（Ⅰ）当时，数列同时满足数列则有两式联立，消去得：特征根解方程法：令，再将代入即可．（Ⅱ）当时，，两边同除以得：数列，特征根解方程法：令，再将代入即可．【例20】（2025·安徽阶段练习）若数列满足，则称为佩尔数列．在佩尔数列中，．【例21】（（2024•多选•威海期末）记为数列的前项和，若，，则A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列6.斐波那契数列Fn+1=Fn+Fn-1.由F1关于比内公式的算法，，即，，我们令，，，则，，（可轮换），故满足，解这个线性方程组得Fn=151+52n-1-52n，为此差分方程的特征方程（也称为特征多项式），，为此差分方程的特征根，所以我们可以将线性差分方程表示为，代入和即可解出和.【例22】（2024•课标I卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.【例23】（2024•多选•新县模拟）满足的数列称为卢卡斯数列，则A．存在非零实数，使得为等差数列 B．存在非零实数，使得为等比数列 C． D．【例24】（2024•渠县月考）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即（1）（2），，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2024项的和为A．1348 B．675 C．1349 D．1350考点三.调和等差数列与对数放缩称为调和数列，也称调和等差数列.利用，所以，故有；利用，所以，故有；关于调和级数，,易知这个数列是发散的，趋向于无穷大.【例25】（2024•多选•苏州开学）若数列满足：，对，有成立．则A． B．，使得 C．对，都有 D．对，都有【例26】（2025·多选·全国专题练习）（多选）已知数列的前n项和为，设，数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．【例27】（襄阳四中2026届高三数学综合测试•T7）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.【例28】（2025·多选·四川绵阳模拟预测）已知数列满足，，，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．是递增数列考点四.裂项相消法一．常见裂项相消1.若为等差数列，且首项为，公差为，数列的前项和为，则有：①（接龙型），②（隔项型）③（根式型）【例29】（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．2.特殊等差数列与裂项相消：若等差数列满足：，则，则数列前项和【例30】（2025·黑龙江哈尔滨阶段练习）已知数列的前n项和，且，数列，均为等差数列，又数列的前n项和为，且，则的值为.【例31】（2025•雨花区月考）已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．3.带有等比数列的裂项相消：（其中，）【例32】（2024•多选•江西模拟）已知数列的前项和为，，且，数列与数列的前项和分别为，，则A． B． C． D．4.等差与等比混合型：①；②注意：通常采用反推法，就是从右边往左边推导，具体情况将会在例题中说明．【例33】（2025•武安市期中）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和，，．（1）求数列和的通项公式；（2）设的前项和，求证：．5.正切裂项相消若为等差数列，则，故，【例34】（2024•安徽月考）已知数列的前项和为，，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前2024项和．6.阶乘型与裂项相消：【例35】（2025·广东高三下阶段练习）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，其中，则（

）A． B． C． D．7.错位相减的裂项分析法若，，,求的前项和，可以采用以下三种方法：方法一（错位相减）： ①②①-②得：．整理得：．【例36】求数列1++++…+的前n项和．【解析】①②①-②得：整理得：方法二（对通项进行裂项相消）：令，所以，所以，，；方法三（对和式进行待定系数）：因为，故，则，所以，代入，，所以；对比以上三种，法二显然最简单，法一则不能搞定的求和，法三计算量比法二大，但是处理一些复杂的求和优势大.【例37】（2025·山西·一模）数列满足，，，则数列的前n项和是．【例38】（2024•天津卷）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．（1）求数列前项和；（2）设，，其中是大于1的正整数．（ⅰ）当时，求证：；（ⅱ）求．【例39】（2024•多选•青羊区模拟）记数列的前项和为，且满足，．则A． B．是递增数列 C． D．考点五.二次函数数列的通项与放缩1.不动点在二次函数顶点可求通项型法一：迭代：法二：两边取对数得：顶点为不动点抛物线顶点为不动点的抛物线【例40】（2025•河北模拟）已知数列满足，且，则；令，若的前项和为，则．【例41】（2025·多选·山西晋中模拟预测）若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列满足：，点在函数的图象上.设，则（

）A．为平方递推数列B．C．D．使得成立的的最小值为2026【例42】（2023•北京）数列满足，下列说法正确的是A．若，则是递减数列，，使得时， B．若，则是递增数列，，使得时， C．若，则是递减数列，，使得时， D．若，则是递增数列，，使得时，2.平方式可裂项递推型（唯一不动点切点）若有两个不动点，当且仅当一个不动点在顶点时，即，则一定有：，此时属于可求通项的递推模型，例如，此模型就是由于，不动点为，，且为的顶点，故能完成平方式递推；若仅有一个不动点，且不动点不在顶点时，则一定有：，此时属于可直接裂项相消求通项模型，例如，此模型就是由于，不动点为，且不是的顶点，故能完成裂项递推，我们做一下总结：①②③④【例43】（2025•多选•泰安四模）已知数列满足，且，数列的前项和为，则下列选项正确的是A． B．数列单调递增 C． D．【例44】（2024•多选•福建期中）数列满足，，则下列说法正确的是A．若且，数列单调递减 B．若存在无数个自然数，使得，则 C．当或时，的最小值不存在 D．当时，3.牛顿法与平方式递推关于平方式的递推（1）迭代法，先求出，（2）对数代换法：（3）蛛网图分析，即不动点为，为方程结论：（若，思考：当时，分析单调变化。（4）切线法与“牛顿数列”切线法：用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值.这种方法叫做“切线法”.由图可得，在点(x0,f(x0))处做切线y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，令y=0，就得到切线与x轴交点的横坐标为x牛顿数列：若数列{xn}的通项关系满足xn+1=xn-f(x若，则牛顿数列通项是一个完全平方式递推。【例45】（2025•道里区校级四模）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于A．2025 B．2026 C． D．4.由二倍角构造的递推形如时，不妨令，，可以利用；【例46】（2025•浙江月考）已知且，则的值为A． B． C． D．【例47】（2025•济南月考）数列满足，记，则的最大值为．【例48】2025·多选·山东菏泽一模）已知，则（

）A． B．C． D．5.由余弦定理构造的数列递推【例49】（2025·上海浦东期末）已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为．【例50】（2025·北京海淀期中）函数定义域为，对于，记．已知，且，，给出下列四个结论：①长度分别为1，，的三条线段可以构成一个直角三角形，②，；③，；④，其中所有正确结论的序号是．【例51】（2025·上海期末）已知（是正整数）是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为．若，，，．有下列两个命题：①既存在最小项又存在最大项；②既存在最小项又存在最大项．则（

）A．①真；②真 B．①真；②假 C．①假；②真 D．①假；②假考点六.蛛网图与数列放缩的精度1．一级等比放缩精度当，，若为两个不动点，如图所示，我们假设，此函数符合模型，则根据蛛网图，当时，则有，两个不动点为，，如左图，，如右图，，如此对不动点蛛网图的斜率翻译放缩，称为数列放缩的一级精度。显然，凸函数也符合斜率递减趋势，参考下面两个例题即可。【例52】（2024•多选•济南二模）已知数列满足，，记数列前n项和为，则对于任意的，下列结论正确的是（）存在，使B.数列单调递增C.D.【例53】（2024•多选•沈河区期中）已知数列满足：，，，则下列结论正确的是A． B． C． D．【例54】（2025•多选•大连模拟）设数列满足，，记数列的前项和为，则A． B． C． D．【例55】（2025•多选•赣州二模）设数列的前项和为，，，则A． B． C． D．【例56】（2025•通州区期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，下列说法正确的是A．当时，数列为递减数列 B．数列不可能为等比数列 C．当，，都有 D．当时，，，都有2.二级调和等差精度若，则，此为调和等差数列构造，也是常见的二级精度构造。【例57】（2025•北京九月月考）已知数列满足，且．给出下列四个结论：①；②；③，，当时，；④，，当时，．其中所有正确结论的个数为A．1 B．2 C．3 D