电路分析(第2版) 课件 chap3-2 动态电路方程及其解

13.2动态电路方程及其解一电路的状态含储能元件的电路：电路方程是微分方程

响应的建立需要时间uR(V)t02+10V−+uR−8

St=02

i+uC−+10V−8

St=02FiuC(V)t010uC(0)2二电路的状态变量1、状态变量是反映电路动态特性的一组数量最少的变量。2、若已知t0时的状态变量和t≥t0

时的输入，就能确定在t≥t0时电路中的全部变量。3、能反映电路储能状态的变量：电容电压uC和电感电流iL状态变量：电容电压uC、电感电流iL3三电路方程的建立例1：建立电路方程解：is=iR+iC由KVL:uR−uC=0由VCR:uR=RiR1、建立方程的依据——两类约束由KCL:时间常数4例2：建立电路方程解：由KVL:us=uR1+uR2+uL

由VCR:uR1=R1iL

uR2=R2iL时间常数5例3：建立电路方程+uL-+uS

-+

uC

-+

uR

-LRCiLiCiR解：iL=iR+iC由KVL:uL+uC=uS

uR−uC=0由VCR:uR=RiR以uC为变量，KCL改写成：KVL改写成：由KCL:6以iL，uC为变量，KCL改写成：KVL改写成：整理：状态方程反映了电路状态的演变情况，状态变量的变化率是当前状态和当前输入的函数2、状态方程：由状态变量及其一阶导数和激励函数构成的方程+uL-+uS

-+

uC

-+

uR

-LRCiLiCiR7四固有响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应1、方程的解设一阶或二阶微分方程：初始条件：y(0)，y’(0)线性微分方程解的结构:y(t)=yh(t)+yp(t)其中:yh(t)为齐次解，yp(t)为特解8齐次解yh(t)

齐次方程：设解为：y=Kest

则代入方程：b2s2y+b1sy+b0y=0特征方程：b2s2+b1s+b0=09（1）一阶方程：b2=0

特征根或固有频率：s=−b0/b1齐次解yh(t)，设解为：y=Kest

特征方程：b2s2+b1s+b0=0∴齐次解

yh(t)=Kest

10（2）二阶方程：特征根为s1、s2（4种情况）

a、两个不相等的实根s1，s2：yh(t)=K1es1t

+K2es2t

b、两个相等的实根s：yh(t)=(K1+K2t)est

c、两个共轭复根：s1=

+j

，s2=

−j

yh(t)=(K1sint

+K2cost)e

td、两个共轭虚根：s1=j

，s2=−j

yh(t)=K1sint

+K2cost

齐次解yh(t)，设解为：y=Kest

特征方程：b2s2+b1s+b0=011特解yp：

形式与激励x(t)相同

输入函数x(t)的形式特解yp(t)的形式PcosbtQ1sinbt+Q2cosbtPQP0+P1t+P2t2Q0+Q1t+Q2t2Pe

t

（≠特征根，一阶）Qe

tPe

t

（

=特征根，一阶）Qte

t将yp(t)代入方程，求各系数（Q或Q0、Q1…）121、齐次解yh(t)：由特征方程、特征根求得yh(t)2、特解yp(t)：形式与激励x(t)相同，

将yp(t)代入方程，求各系数3、求yh(t)中的常数K或K1，K2：以初始条件代入y(t)=yh(t)+yp(t)小结13例4：已知uC(0)=U0，求uC（t>0）RUS+uC－CuC(0)=U0Si解：（1）列方程（2）齐次解：特征方程：RCs+1=0特征根：s=−1/RC令

=RC：s=−1/

14（3）特解：令uCp=Q得：uCp=US（4）求常数K：uC=uCh+uCp=Ke−t/

+US代入初始条件:uC(0)

=K+US=U0∴K=U0

−

US∴uC=(U0

−

US)e−t/

+US(t

≥0)RUS+uC－CuC(0)=U0Si15例5：求uC，iL。已知iL(0+)=2A，uC(0+)=5V解：（1）列方程：Ri+uL+uC=

US1

10V+uC－2FS0.5HiL由KVL由VCR16（2）齐次解：特征方程：s2+2s+1=0

s1=s2=−1

∴uCh=(K1+K2t)e−t

（3）特解：设uCp=Q

∴

uCp=101

10V+uC－2FS0.5HiL17

齐次解：uCh=(K1+K2t)e−t

特解：uCp=10（4）常数：uC=uCh＋uCp=(K1+K2t)e−t

＋

10

代入：uC(0)

=K1＋

10=5∴

K1=−5

又u’C(t)

=−(K1+K2t)e−t

+K2e−t

u’C(0)

=−K1

+K2=1∴

K2=−4∴uC=10−(5

+4t)e−t

V（t

≥0）

iL=C·duC/dt=(2+8t)e−t

A（t

≥0）1

10V+uC－2FS0.5HiL182解的分解

uC=

(U0

−

US)e−t/

+

US齐次解暂态响应transientresponse,TR

特解稳态响应steady-stateresponse,SSRUS+uC－CuC(0)=U0Si

由激励决定的又称强制响应（forced-response，FR）

由电路决定的（齐次方程，特征根）又称固有响应（naturalresponse，NR）19若

U0=4，US=12uC124t0−8uCTRuCSS暂态/固有响应的作用：调整初始值与稳态值之间的差距RUS+uC－CuC(0)=U0Si

uC=

(U0

−

US)e−t/

+

US齐次解暂态响应transientresponse,TR

特解稳态响应steady-stateresponse,SS20uC=−(5

+4t)e−t

+10iL=(2+8t)e−t1

10V+uC－2FS0.5HiLiL(0+)=2A，uC(0+)=5V齐次解暂态响应固有响应

特解稳态响应强制响应213一阶网络的暂态/稳态响应

uC=uCTR+

uCSS

uC=

Ke−t/

+US

一阶电路的暂态响应：

uCTR=Ke−t/

iLTR=Ke−t/

（一阶RC电路：=RC；一阶RL电路：=GL）二阶电路的暂态响应：

4种形式，由特征方程求特征根得到RUS+uC－CuC(0)=U0Si22

直流激励下的稳态响应：电容：uCSS=uC(∞)

直流稳态

uC(∞)恒定

iC

=0

电容等效为开路电感：iLSS=iL(∞)

直流稳态

iL(∞)恒定

uL

=0

电感等效为短路RUS+uC－CuC(0)=U0Si

uC=uCTR+

uCSS

uC=

Ke−t/

+US23例6：在t=0时开关闭合。求t≥0时的iL和uL。解：初始值：iL(0-)=iL(0+)=0

il(t)由暂态响应和稳态响应组成。iLSS=

iL(∞)=4A稳态响应暂态响应=GL=0.1；iLTR=Ke–10t

iL(t)

=iLTR+iLSS=

Ke–10t

+4代入初始条件：iL(0)

=K+4=0∴

iL(t)=4–4e–10t

At≥0

uL(t)=0.2diL/dt=8e–10t

t≥02

8V0.2HiL+uL－得

K=−4244一阶网络的固有频率与固有响应特征根：RCs+1=0

s=−1/RC

C含源电阻网络R+uC－C+Us－L含源电阻网络RiLL+Us－特征根：Ls+R=0

s=−R/L

固有响应：uCNR=Kest

iLNR=Kest25电容电路中，令

=RC，为时间常数量纲：RC=Rq/u=q/(u/R)=q/i=t

（时间，秒s）电感电路中，令

=L/R=GL，为时间常数量纲：L/R=(

/i)/R=

/(Ri)=

/u=t

（时间，秒s）

∴s=−1/

，具有频率量纲，为固有频率R+uC－C+Us－特征根：RCs+1=0

s=−1/RC

R