电路分析(第2版) 课件 第二章 电阻电路分析

12.1图与电路方程七桥难题1234657ABCD怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？

如何“一笔画”出以上图形？第二章电阻电路分析图中有3个以上顶点的度为奇数时，该图无法一笔画出2图论的基本定义和概念拓扑图：抽象实际问题得到的由点、线构成的几何图形，反映了点、边邻接关系。图是边（或支路，是图中的线段）和点（或节点，是支路的连接处或终端）的集合。I1I5I4I2I3I6+us1−+us2−is1ABCDI1I2I3I6I5I4ACBD3有向图：各支路都有参考方向的图（电压降，电流方向）；否则为无向图。子图：若图G包含有图H所有的点集和边集，则称图H为图G的一个子图，图G为图H的母图。连通图：全部节点都为支路连通的图；否则称为非连通图。分离部分的个数称为分离度。图G图H无向图有向图4平面图：若图能表示在一个平面上，使得图的任意两条边仅仅在它们的公共节点上相交，则图称为平面图；否则为非平面图。平面图非平面图5回路：由一组支路构成的闭合路径。秩：图G节点数为n，分离度为k，则称R=n−k为图G的秩。表示连通图中不包含起点的所有节点数。零度：图G为有n个节点，b条支路的连通图，则称

L=b–n+1为图G的零度。表示独立回路的个数。I1I2I3I6I5I4ACBDR=4−1=3L=6−4+1=3

b=6=R+L6树：连接所有节点但不包含回路的子图。树支：构成树的边称为树支。连支：不属于树支的边称为连支。7基本回路：仅含一条连支的回路为基本回路。割集（cut-set）：能被切割/移去而使连通图分为两个分离部分的一组最少数量的边的集合。如果切割/移去这些支路，就会使图成为两个分离部分只要少切割/少移去其中任一支路，图仍然连通ABCD12345ABCD234ABCD138基本割集：仅含一条树支的割集为基本割集。ABCD12345ABCD12345(2,4,5)不是基本割集重要的数量关系：

在分离度为k、点数为n、边数为b的图中

秩R=n

−

k不含起点的节点数，树支数，基本割集数零度L=b–R=b–n+k独立回路数，连支数，基本回路数连通图：R=n–1，L=b–n+110用矩阵表示有向图的节点与支路的连接关系未连：0，进入：−1，离开：1

支路：12345A 1 0 0 0−1

节B−1 1 0 1 0

点C 0−1 1 0 0 D 0 0−1−1 1任一支路必进入一点、离开一点（任一列：+1、−1）删除任一行，仍能充分反映连接关系删除的一行对应的节点为参考点关联矩阵关联矩阵：A=1

000−1−1101

00−110

0ABCD1234511ABCD12345A=1

000−1−1101

00−110

0关联矩阵（以D为参考点）支路12345树支连支=[ATAL]设支路电流向量I=[i1

i2i3i4i5]T

则：AI=1

0

00

−1−11

0100

−1

10

0i1

i2i3i4i5i1

−

i5−i1+

i2+

i4

−i2+

i3==000KCL的矩阵形式：AI=0节点ABC12关联矩阵（以D为参考点）支路12345设支路电压向量U=[u1

u2u3u4u5]T节点电压向量UN=[uA

uB

uC]TATUN=1−1001

−1001010−100uA

uB

uCuA−uB

uB

−

uCuCuB−uA=由节点电压得支路电压：ATUN=Uu1

u2u3u4u5==UABCD12345节点ABCA=1

000−1−1101

00−110

0=[ATAL]132.22b法和支路法一最多数量的变量和方程设电路有b条支路，n个节点，则最多可有

2b个变量：

b个支路电压，b个支路电流

2b个独立方程：

n−1个节点/基本割集的KCL方程

b−n+1个基本回路/平面图的网孔的KVL方程

b个支路的VCR方程

求解电路的2b法143个节点KCL方程3个独立回路KVL方程n=4，b=66条支路VCR方程15支路电流/电压法：以支路电流/电压为变量列方程n=4，b=63个节点KCL方程6个方程，求解6条支路电流16二最少数量的变量和方程（1）变量是独立的

——变量的数量最少（2）变量是完备的——能求得其它所有的变量方程必须满足：

——与变量同样的数量

——独立的方程最少数量的变量必须满足：17节点法网孔法ABCD123456im1im2im3适合于节点少的电路适合于网孔少的平面电路独立的方程n−1个节点KCL方程b−(n−1)个网孔KVL方程独立的变量n−1个节点电压b−(n−1)个网孔电流变量完备性之差为支路电压之差/和为支路电流18割集法

回路法

ABCD123456独立的方程n−1个基本割集KCL方程b−(n−1)个基本回路KVL方程独立的变量n−1个树支电压b−(n−1)个连支电流变量完备性可求连支电压可求树支电流2.3回路法和网孔法一方程的建立19+us1–R1i1+us2–R2i2R3i3i1i3R1i1+R2(i1−i3)+us2−

us1=0R3i3+R2(i3−

i1)−

us2=0网孔法以网孔电流i1、i3为变量立网孔的KVL方程回路法以连支电流i1、i3为变量立基本回路的KVL方程i1i3(R1+

R2)i1−

R2i3=us1−us2−R2i1+(R2+

R3)i3=us220网孔法（适合平面图）以网孔电流为变量立网孔KVL方程+us1–R1i1+us2–R2i2R3i3i1i3i1i3选树：尽量选电流源、待求电流为连支变量：以不含电流源的连支电流为变量方程：不含电流源连支的基本回路的KVL方程回路法二网孔方程的一般形式21(R1+

R2)i1−

R2i3=us1−us2−R2i1+(R2+

R3)i3=us2一般形式（设网孔电流顺时针方向）R11i1−

R12i2−…−

R1nin

=us11−R21i1+R22i2−

…−

R2nin

=us22

……………−Rn1i1−Rn2i2−

…+

Rnnin

=usnn自电阻：R11、R22、…，各个网孔内所有电阻之和互电阻：R12、R13、…，两网孔间公共电阻之和电压升：us11、us22、…网孔内电压源的电压升代数和（网孔电流方向）+us1–R1i1+us2–R2i2R3i3i1i322网孔方程的矩阵形式

RI=UsR为网孔电阻矩阵R=

R11−R12−R13…−R1n

−R21+

R22−

R23…−R2n

……………−Rn1−

Rn2−

Rn3…+

Rnn若网孔电流方向不统一则互电阻的符号由两个网孔电流的方向决定，方向相同为正，方向相反为负

一般形式（设网孔电流顺时针方向）R11i1−

R12i2−…−

R1nin

=us11−R21i1+R22i2−

…−

R2nin

=us22

……………−Rn1i1−Rn2i2−

…+

Rnnin

=usnn三回路方程的一般形式

23一般形式（以连支电流方向）R11i1±

R12i2±…±

R1nin

=us11±R21i1+

R22i2±…±R2nin

=us22……………±Rn1i1±

Rn2i2±…+

Rnnin

=usnn自电阻：R11…，各基本回路内所有电阻之和互电阻：R12…，两基本回路间公共电阻之和，两连支电流方向相同取正，相反取负电压升：us11…基本回路内电压源的电压升代数和（以连支电流方向绕行）+us1–R1i1+us2–R2i2R3i3i1i3(R1+

R2)i1−

R2i3=us1−us2−R2i1+(R2+

R3)i3=us224网孔法说明：对电流源（包括受控电流源）的处理：

1若电流源为某网孔所独有，则该网孔不列KVL方程，网孔电流为已知的电流源

2否则，电流源端口增设电压变量，增立表示电流源的方程

对受控源的处理：

1受控源先当独立源处理

2增立表示控制量的方程例1：求各支路电流25i1i3i25

20

10

+20V

–+10V

–Im1Im2解：设网孔电流Im1和Im2，均为顺时针方向。网孔方程：25Im1−20Im2=20−20Im1+30Im2=−1026求解Im1、Im2：Im1=20−20−103025−20−2030=20×30−(−10)×(−20)25×30−(−20)×(−20)=1.143AIm2=2520−20−1025−20−2030=−25×10−(−20)×2025×30−(−20)×(−20)=0.429A25Im1−20Im2=20−20Im1+30Im2=−1027i1=Im1=1.143Ai2=−Im2=−0.429Ai3=Im2−Im1=−0.714A

各支路电流均可用网孔电流表示。得i1i3i25

20

10

+20V

–+10V

–Im1Im2例2：列网孔方程28解：

(R1+

R2+

R5)i1−R5i2−R2i3=−us5−R5i1−(R3+

R4+

R5)i2−R3i3=us5−R2i1−R3i2+(R2+

R3+

R6)i3=us6

+us6–+us5–R5R1R2R3R4i2i1i3R6例3：求i+9V–3ii1i2–6i+36解：9i1−

3i2=9−3i1+6i2=6ii=i1−

i2

得：

i=1/3A例4：求I（对电流源的处理）2920

+40V

–2A50

30

II12A解：本题含电流源,且电流源为一网孔所独有。该网孔的网孔电流就是电流源的电流值（已知）。该网孔不列网孔方程。网孔1的方程为：50I1+30·2

=40解得:I1=−0.4AI

=I1+2

=−0.4+2=1.6A若电流源（包括受控电流源）为某网孔所独有，则该网孔不列KVL方程，（网孔电流=电流源）例5：列网孔方程（对电流源的处理）307A+6V–I2I3I12

1

1

2

3

解：网孔方程实际上是KVL方程，电流源两端电压是未知量，须增设电压变量U，增列一个表示电流源的方程I1−I3=7网孔方程为−2I1−3I2+6I3=U3I1−I2−2I3=6−

U

−I1+6I2−3I3=0I1−I3=7+U-在不改变电路结构的情况下，改画电路图，把网孔1画在右面，可把变量和方程数减少到2个31+U–7A+6V–I2I3I12

1

1

2

3

3I1−2I2+1·7=

−6−2I1+6I2+3·7=0网孔电流不同，但支路电流一样7A+6V–I2I12

1

1

2

3

7A−2I1−3I2+6I3=U3I1−I2−2I3=6−

U

−I1+6I2−3I3=0I1−I3=7例6：求受控源电路中的Ix32解：将受控源看成独立源，写出网孔方程，增立一个表示受控源的控制量的方程10

+6V

–2

4

+–4V+8Ix–I1I2Ix−2I1+6I2=−4+8Ix12I1−2I2=6−8Ix

Ix=I2故12I1+6I2=6

−2I1−2I2=−4得Ix=I2=3A2.4节点法一方程的建立33以流出为正，列KCL方程节点1：G1(u1–u2)+G5(u1–u3)–is=0节点2：G1(u2–u1)+G2u2+G3(u2–u3)=0节点3：G3(u3–u2)+G4u3+G5(u3–u1)=01234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+

u1–+u2–+

u3–34整理得节点方程为：(G1+G5)u1–G1u2–G5u3=is

–G5u1–G3u2+(G3+G4+G5)u3=0–G1u1+(G1+G2+G3)u2–G3u3=01234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+

u1–+u2–+

u3–G1(u1–u2)+G5(u1–u3)–is=0G1(u2–u1)+G2u2+G3(u2–u3)=0G3(u3–u2)+G4u3+G5(u3–u1)=0二节点方程的一般形式351234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+

u1–+u2–+

u3–(G1+G5)u1–G1u2–G5u3=is

–G5u1–G3u2+(G3+G4+G5)u3=0–G1u1+(G1+G2+G3)u2–G3u3=0一般形式（设流入节点为正）G11u1−

G12u2−…−

G1nun

=is11−G21u1+G22u2−

…−

G2nun

=is22

……………−Gn1u1−Gn2u2−

…+

Gnnun

=isnn自电导：G11、G22、…节点上所有电导之和互电导：G12、G13、…，两节点间公共电导之和，满足对称性电流源：is11、is22、…流入节点的电流源（受控电流源）的代数和36对电压源（包括受控电压源）的处理：1一端接地：不列该节点方程（节点电压为已知）2跨接在两节点间：增设电流变量，增立方程（表示电压源）3电压源与电阻串联的支路等效为电流源与电阻并联的支路4受控源视为独立源，增列控制量方程对电流源（包括受控电流源）的处理：1电流源与电阻串联的支路，电阻为虚元件2受控源视为独立源，增列控制量方程例1：列节点方程3711A0.5A0.1S2340.1S1S1S0.5S0.25S0.5S0.25S+

U1–+U2–+

U3–+

U4–解：选其中一个节点为参考，其余节点电压为U1、U2、U3、U4节点1的自电导：G11=0.1+1+0.1=1.2S节点1的互电导：G12=1S；G13=0；G14=0.1S流入节点1的电流源：Is11=+1A故，对节点11.2U1–U2–0.1U4=138同理，对节点2、3、4可得–U1+2.5U2–0.5U3=–0.5–0.5U2+1.25U3–0.25U4=0.5–0.1U1–0.25U3+0.6U4=01.2U1–U2–0.1U4=111A0.5A0.1S2340.1S1S1S0.5S0.25S0.5S0.25S+

U1–+U2–+

U3–+

U4–例2：求各支路电流39解：该电路共有3个独立节点，但节点2、3都是已知电压源，U2=20V，U3=10V。仅需对节点1写节点方程：+10V–I1I3I25

+20V–10

20

123得U1=14.286VI1=U1/20=0.7143AI2=(20–U1)/5=1.143AI3=(10–U1)/10=–0.4286A(1/5+1/20+1/10)U1−1/5·20−1/10·10=0

例3：求I140解：节点电压U3和U4已知，其值分别为120V和–240V123420k

+120V10k

40k

40k

20k

–240VI1对节点1和节点2写节点方程：10×103U21–1140×103+1+U120×10310×103=020×103120–()10×103U11–=040×103–240–1120×103+1+U210×10340×103+()41化简后得得U1=21.8VU2=–21.8V根据I1的方向：I1=U1–U210×103=21.8–(–21.8)10×10343.6104==4.36mA123420k

+120V10k

40k

40k

20k

–240VI10.175U1−0.1U2=6−0.1U1+0.175U2=−6例4：列出节点方程42解：由于电压源跨接在两个节点之间，电压源支路的电流为未知，设为I。增设一个表示电压源的方程。(G1+G2)U1–G1U2=–I

–G4U2+(G4+G5)U3=I–G1U1+(G1+G3+G4)U2–G4U3=0Us=U1–U3

例5：列出节点方程（含受控源电路）431gux+–uxR1R2R3R4is32解：把受控电流源作为独立电流源列出方程，受控源控制量用节点电压表示。节点1(G1+G2)u1–G2u2=is–G2u1+(G2+G3)u2=gux

节点2G4u3=–gux节点3列写受控源控制量ux与节点电压之间的关系式ux=u1–u2

虚元件44注意：去除虚元件！！虚元件——去除后不影响待求电路变量的值的元件。与电流源串联的元件，且不要求计算它的电压和电流源的电压去除方法：把与电流源串联的元件短路节点1(G1+G2)u1–G2u2=is节点2–G2u1+(G2+G3)u2=gux节点3G4u3=–gux增立：

ux=u1–u2

1gux+–uxR1R2R3R4is32R5例：用节点法求u145u130

+40V–50

20

2A解：50

电阻与电流源串联，应视为短路得：u1=48V若要考虑50

电阻的作用，应考虑另一个节点u2u246以u2=100+u1代入第一式：与短路50

的结果相同u130

+40V–50

20

2Au130

+40V–50

20

2Au247列节点方程时，电压源与电阻串联的支路可视为电流源与电阻并联的支路u130

+40V–50

20

u2–2u1+10

+30V–40

例：列节点方程（电压源与电阻串联支路）节点法小结48

G11–G12…–G1k–G21G22…–G2k….–Gk1–Gk2…Gkkis11is22…iskk=uk1uk2…ukk自电导Gij：节点i上所有电导之和互电导Gij：连接i，j的公共电导电流源(流入)节点电压2.9电路的对偶性49若网络N1和N2的电路方程的形式完全相同，则网络N1和N2对偶分压：u1=usR1R1+R2u2=usR2R1+R2R

=R1+R2us=u1+u2KVL：R1i+R2i=usR1R2+us_+u2－+u1－i分流：i1=isG1G1+G2i2=isG2G1+G2KCL：G1u+G2u=isG1G2i2isi1+u−G

=G1+G2is=i1+i2两图的对偶50若平面图G的秩和平面图H的零度相等，且图G的零度和图H的秩相等，则图G和图H对偶秩=2零度=1秩=1零度=2R1R2+us_+u2－+u1－iG1G2i2isi1+u−电路中的对偶量举例51

电压u

电流I

电荷q

磁链

电阻R

电导G

电感L

电容C

短路

开路KCLKVL

串联

并联

网孔电流imi

节点电压unk

电压源us

电流源is2.5齐次定理和叠加定理线性电路叠加定理齐次定理52线性电路：由线性元件和独立电源组成的电路53线性元件：元件特性曲线为过原点的直线（电阻、电容、电感、受控源）

（1）电压源和电流源不是线性元件，其伏安曲线不过坐标原点；独立源：

（2）电压源和电流源是电路的输入，对电路起着激励作用，其他元件上的电流电压只是激励引起的响应。is(t1)iOu一线性电路二叠加定理

定理：线性电路中任一条支路电流或电压等于各个独立电源单独作用时在该支路所产生的电流或电压的代数和。54Ki和Hi分别为第i个独立电压源和电流源激励的响应系数设线性电路有

个电压源、

个电流源,则任何支路的电压或电流为:

uk(或ik)=K1us1+‥‥+K

us

+H1is1+‥‥+H

is

实例55＝+u=u1+u2i=i1+i256意义：线性电路中电源的独立性。注意：电压源短路；电流源开路；受控源保留。

2、叠加时注意代数和的意义:若响应分量与原响应方向一致取正号，反之取负。

3、叠加定理只能适用线性电路支路电流或支路电压的计算，不能计算功率。1、一个电源作用，其余电源置零：P=i2R=(i1+i2)2R=(i1)2R+(i2)2R=P1+P2叠加定理说明：例1：用叠加定理计算电压u571、5A电流源独立作用时2、2V电压源独立作用时3、所有电源作用时例2：图示电路，已知

uS＝9V，iS＝3A时，uO＝6V；uS＝2V，iS＝−6A时，uO＝−2V。则uS＝5V，iS＝5A时，uO＝？58根据叠加定理，有代入已知条件，有解得则uS＝5V，iS＝5A时若为有源网络，怎么办？例3：图示电路，已知

uS＝1V，iS＝1A时，uO＝−3V；uS＝2V，iS＝3A时，uO＝5V；uS＝4V，iS＝2A时，uO＝6V。则uS＝8V，iS＝7A时，uO＝？59设有源网络中有p个独立电压源，q个独立电流源当电路只有uS，iS变化时，有源网络内部不变则uS＝8V，iS＝7A时解得例4：用叠加定理计算u，i601、28V电压源独立作用时2、2A电流源独立作用时3、所有电源作用时例5：用叠加定理计算电流i611、10V电压源独立作用时2、3A电流源独立作用时3、所有电源作用时三齐次定理62线性电路中，当所有激励增大K倍时，其响应也相应增大K倍。意义：线性电路的齐次性。注意：1、激励是指独立电源；2、只有所有激励同时增大相同倍数时才有意义。例6：求各支路电流63采用递推法设i4

＝1A，则uBD

＝22Vi3

＝1.1Ai2

＝2.1AuAB

＝4.2VuAD

＝26.2Vi1

＝1.31Ai

＝3.41Au

＝33.02V故＝3.

63416i

＝3.41K

＝12.392Ai1＝1.31K＝4.761Ai2

＝2.1K＝7.632Ai3

＝1.1K＝3.998Ai4

＝K＝3.634A64例7：求图示电路中标出的各电流、电压。解：利用线性电路的比例性求解。设I5=1A，则U4=12VI4=12/4=3A（分流）I3=I4+I5=4AU3=6I3=24VU2=U3+U4=36VI2=36/18=2AI1=I2+I3=6AU1=65=30V故得

Us=U1+U2=66V+

US–165V+U2–5

I16

18

4

12

I2

I3

I4

I5+U3–+U4–+U1–65K=165/66=2.5根据电路的比例性有I5=2.5A，I4=7.5A，I3=10A，I2=5A，I1=15A，U4=30V，U3=60V，U2=90V，U1=75V+

US–165V+U2–5

I16

18

4

12

I2

I3

I4

I5+U3–+U4–+U1–2.6替代定理66

在任意集总参数电路中，若第k条支路的电压Uk和电流Ik已知，则该支路可用下列任一元件组成的支路替代:

（1）电压为Uk的理想电压源；（2）电流为Ik的理想电流源；（3）电阻为Rk=Uk/Ik的电阻元件。说明：1、支路k应为已知支路；替代电源的方向与原电路一致2、置换与等效的异同：☆等效电路对一切外电路都等效；置换电路只对某特定外电路等效☆等效电路必可作置换定路；置换电路不一定是等效电路★对外电路无影响67NNkik+uk–(a)iuukikNk的VCRN的VCRiuukikN的VCRiuukikN的VCRN(b)+–ikuk+–N(c)ukik+–N(d)ukikuk/ik例1：求图示电路的uS和R68由电路图可知i=2A，u=28VuS=u+2.6×6=43.6V故利用置换定理，有u1=u−20×0.6−6=10Vi1=0.4A，iR

＝0.2A故R

＝50Ω2.7等效电源定理戴维南定理和诺顿定理最大功率传输条件69等效电压源定理的提出赫尔曼·冯·亥姆霍兹（1821~1894）德国物理学家、生理学家1853年提出了叠加定理和等效电压源定理莱昂·夏尔·戴维南（1857~1926）法国电信工程师1883年两次发表了证明等效电压源定理的论文等效电流源定理的提出爱德华·劳里·诺顿（1898~1983）美国贝尔实验室电气工程师1926年在内部技术报告上描述了等效电流源模型汉斯·费迪南德·梅耶（1895~1980）德国西门子公司研究人员1926年在德国技术期刊上提出了等效电流源模型并给出了详细的证明uSR1R2iS将图示有源单口网络化为最简形式iSR2R1i0R0u0R0R0：除源输入电阻i0：端口短路电流iscu0：端口开路电压uocisc+-uoc戴维南定理与诺顿定理戴维南定理（Thevenin’sTheorem）线性含源单口网络对外电路作用可等效为一个理想电压源和电阻的串联组合。其中：电压源电压u0为该单口网络的开路电压uoc

电阻R0为该单口网络的除源输入电阻R0

说明：（1）该定理为等效电压源定理（2）由定理得到的等效电路称为戴维南等效电路，uoc

和R0称为戴维南等效参数。u0R0ii+-ui任意网络

B证明：（利用叠加定理）＋+-u线性含源二端网络

A＝线性含源二端网络

Ai+-uR0任意网络

BR0+-u线性含源二端网络

Au'=uoc+-线性无源二端网络

Ai+-u''+-uocuoc+-R0为无源网络内阻诺顿定理（Norton’sTheorem）线性含源单口网络对外电路作用可等效为一个理想电流源和电阻的并联组合。i0R0其中：电流源电流i0为该单口网络的短路电流isc

电阻R0为该单口网络的除源输入电阻R0

说明：（1）该定理为等效电流源定理（2）由定理得到的等效电路称为诺顿等效电路，isc

和R0称为诺顿等效参数。+-uii任意网络

B证明：＋+-u线性含源二端网络

A线性含源二端网络

Ai'=isc＝线性含源二端网络

Ai+-uR0isc任意网络

B+-u线性无源二端网络

AiscR0i+-u输入电阻R0的求法（1）等效变换法（除源）

（2）外加电源法（除源）（3）开路短路法（不除源）（4）“除源”指独立源置零，受控源需保留（电压与电流方向关联）等效电源定理的使用说明1、不是任何线性含源单口网络都具有戴维南和诺顿等效电路。2、若求得R0无穷大，则戴维南等效电路不存在；

若R0为零，则诺顿等效电路不存在。例1：用戴维南定理求1Ω电阻中的电流+-u