人教高二数学函数的单调性(1)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA073学科数学年级高二学期上课题函数的单调性（1）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册A版出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教学人员姓名单位授课教师傅靖北京市第二中学指导教师雷晓莉北京东城区教师研修中心教学目标教学目标：知识与技能：(1)借助函数的图象理解函数的单调性与导数的关系；(2)会利用导数判断函数的单调性.2．过程与方法：从实例入手，猜想函数的单调性与导数的正负之间的关系，并通过严谨的说理得出结论.3．情态与价值观：从直观入手，在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力；提高学生利用数形结合、分类讨论等思想分析解决问题的能力；渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.教学重点：建立函数的单调性和导数的正负之间的联系.教学难点：说明函数的单调性与导数的正负之间的关系.教学过程时间教学环节主要师生活动探究新知btvO(2)abthO(1)问题1图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象，，b是函数hbtvO(2)abthO(1)aa引导学生思考：观察图象可知：从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即,单调递增.相应地，.从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即,单调递减..追问1：能否由的正负来判断函数的单调性呢？引导学生猜想：在区间(a,b)上，，单调递增；在区间(a,b)上，，单调递减.意图：观察并猜想一般性结论，引导学生开展验证与探究.问题2观察下面一些函数的图象，你能说明导数的正负与函数单调性的关系吗？(2)(3)(4)(1)在R上，f(x)单调递增,.(2)在上，f(x)单调递减,;在上，f(x)单调递增,.(3)在上，f(x)单调递增,;在上，f(x)单调递增,.(4)在上，f(x)单调递减,;在上，f(x)单调递减,.猜想：函数f(x)的单调性与导函数f’(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)上，如果f’(x)>0，则f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f’(x)<0，则f(x)在区间(a,b)上单调递减.问题3为什么函数的单调性和导数的正负之间有这样的关系？引导学生思考：导数表示函数y=f(x)的图象在点处切线的斜率，可以发现：在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)图象也是上升的，函数在附近单调递增.在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)图象也是下降的，函数在附近单调递减.结论：函数f(x)的单调性与导函数的正负之间的关系：在某区间(a,b)上，如果，那么f(x)在此区间上单调递增；在某区间(a,b)上，如果，那么f(x)在此区间上单调递减.追问1：能否说明函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与的正负是什么关系？引导学生分析：任取两点P1(x1，f(x1)),P2(x2,f(x2)),则平均变化率为，表示过P1P2两点割线的斜率，如果f(x)在一个区间内任意两点连成割线的斜率，则区间(a，b)上任意的x1，x2，当时,都有，那么从函数单调性的定义说明函数在该区间上单调递增；从图象上直观发现，在该区间上，对于每条割线，总有一条切线和它平行，因此，如果f(x)在某区间上导数大于0，则在此区间上任意两点连成割线的斜率一定大于0，从而说明原函数在这个区间上单调递增.同理可论证在某区间(a,b)上，如果，那么函数y=f(x)在此区间上单调递减；结论：函数f(x)的单调性与导函数的正负之间的关系：在某区间(a,b)上，如果，那么函数y=f(x)在此区间上单调递增；在某区间(a,b)上，如果，那么函数y=f(x)在此区间上单调递减.追问2：如果函数f(x)在区间(a,b)上恒有，那么函数f(x)有什么特性呢？引导学生思考：由题意，此时函数f(x)是常值函数.例题解析例1利用导数判断下列函数的单调性：（1）（2）（3）解：（1）因为所以所以，函数在R上单调递增，如图所示.（2）因为所以所以，函数在上单调递减，如图所示.（3）因为，所以所以，函数在区间和上单调递增，如图所示.例2已知导函数的信息如下：当时，；当，或时，；当，或时，.试画出函数f(x)图象的大致形状.解：当时，，可知f(x)在区间上单调递增；当，或时，，可知f(x)在区间和上单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示.课堂总结核心知识：函数f(x)的单调性与导函数的正负之间的关系：在某区间(a,b)上，如果，那么函数y=f(x)在此区间上