2025-2026学年广东省广州市天河区天省实验学校九年级（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市天河区天省实验学校九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=4是一元二次方程x2-5x+c=2的一个根，则c的值为（）A.3 B.4 C.5 D.63.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=-3x2向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（）A.y=-3（x-4）2 B.y=-3x2+4 C.y=-3x2-4 D.y=-3（x+4）24.如图，在平面直角坐标系中E（-4，2），F（-2，-2），将△EFO以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到△E'F'O，点F对应点为点F'，则点F'坐标为（）A.（-2，1）

B.（-1，-1）

C.（2，-1）或（-2，1）

D.（-1，-1）或（1，1）5.人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1是一个竹筒水容器，图2是该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm,开口AB宽为12cm,这个水容器所能装水的最大深度是（）A.12cm B.18cm C.16cm D.14cm6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接OD，OB，若∠BCD：∠DCE=3：2，则∠BOD的度数是（）A.36°

B.72°

C.120°

D.144°7.如图，是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象，其过点A（x1，0）（1＜x1＜2），B（0，-3），且b=4a,则下列说法错误的是（）A.c=-3

B.该抛物线必过点（-4，-3）

C.当x＜-2时，y随x增大而减小

D.当x＜-4时，y＞0

8.如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌.若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（）A. B. C. D.19.形如x（x+2）=3的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为（x+2）和x的矩形，围成一个边长为（2x+2）的大正方形（四个矩形彼此不重叠）.得到大正方形的面积为3×4+22=16，则该方程的正数解为x=（4-2）÷2=1.羊羊同学按此方法解关于x的方程x（x+m）=m时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（）A. B. C. D.10.如图，OP和O′P′是两个相距20米且高度都为3a米的路灯，身高a米的小明（AB）晚上在路灯下沿线段OO′来回散步，则他身体前后的两个影子之和DC的长为（）

A.6m B.8m C.10m D.12m二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.在平面直角坐标系中，点（2，-1）关于原点对称的点的坐标是

．12.在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为

.13.如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是______．14.如图，圆锥形的烟囱帽的侧面积是12πcm2，其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则它的母线长是

cm.

15.如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF，已知正六边形的外接圆半径为6cm,则该正六边形的边心距OG的长为

cm.16.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点I是△ABC的内心，直线FG经过点I，过点A作AE⊥GF，连接BE，则BE的最大值是

.

三、解答题：本题共9小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

解方程：2（x+5）=x（x+5）.18.(本小题6分)

如图，在△ABC中，D，E分别是边AC和AB上的点，其中AE=2，AD=3，AC=4，AB=6.

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）记△ADE的面积为S1，△ABC的面积为S2，则=______

.19.(本小题6分)

“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（春分）、B（小暑）、C（立秋）、D（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀.

（1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是D（寒露）的概率是

______

；

（2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票.请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率.20.(本小题6分)

抛物线y=x2+mx+1经过点M（3，-2）.

（1）求m的值以及此抛物线最低点（或最高点）P的坐标.

（2）已知点A（x-1，y1），B（x+3，y2），C（x+2，y3）在抛物线上且位于对称轴的左侧，有一小球沿着抛物线从左侧向点P运动的过程中，判断小球经过A、B、C三点的先后顺序，并说明理由.21.(本小题6分)

已知关于x的一元二次方程x2-（a+1）x+2a-2=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若抛物线y=x2-（a+1）x+2a-2与x轴交于点A，B，且AB=4，求a的值.22.(本小题6分)

如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠CDB=3∠ABC，CD平分∠ACB，与AB相交于点E.

（1）在CA的延长线上找一点F，使CF=CD，连接FD（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：FD是⊙O的切线.23.(本小题6分)

已知一次函数y=kx+b的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点A（-2，-3）和点B（1，n），且直线与x轴、y轴相交于点C、点D.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）点P（p,q）为直线AB上的动点，过P作x轴垂线，交双曲线于点E，交x轴于点F，请选择下面其中一题完成解答（若两题均选择，则只批改第①题）：

①连接DE，若S△PDE=6S△DCO，求的值；

②点P在点E上方时，判断关于x的方程的解的个数.24.(本小题6分)

Rt△ABC中，∠C=90°.点D为线段BC上的一点，将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到DE，与AB相交于点F，连接BE.

（1）如图1，当AD为△ABC的角平分线时，若EF=DF.

①求tan∠DAC的值；

②连接AE，求证：AE⊥BE.

（2）如图2，当AD为△ABC的中线时，设tan∠DAC=t,tan∠BED=y,求y与t的函数关系式，并求y的最大值.25.(本小题14分)

已知一次函数y=kx+1的图象经过点B（1，3），与x轴相交于点D，与y轴相交于点E，点C（2，0），记∠DEO=α.

（1）求k的值；

（2）点A在直线y=kx+1上，且在点B的下方，以AB为直径的⊙F与线段CD有交点，求⊙F的面积的取值范围.

（3）在（2）的条件下，将线段AB绕点A按逆时针旋转2α得到线段AB′，再将线段AB′绕点B′按顺时针旋转2α得到线段B′A′，再将线段B′A′绕点A′按逆时针旋转2α得到线段A′B″，若抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、A′、B″四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】（-2，1）

12.【答案】48个

13.【答案】k＜2

14.【答案】

15.【答案】3

16.【答案】5+

17.【答案】x1=-5，x2=2．

18.【答案】∵AE=2，AD=3，AC=4，AB=6，

∴==，==，

∴=，

又∵∠BAC=∠DAE，

∴△ADE∽△ABC.

19.【答案】

20.【答案】m=-4；抛物线的最低点P为（2，-3）

小球依次经过A、C、B

21.【答案】证明：∵Δ=（a+1）2-4（2a-2）

=a2+2a+1-8a+8

=a2-6a+9

=（a-3）2≥0，

∴该方程总有两个实数根

-1或7

22.【答案】（1）解：图形如图所示：

（2）证明：连接OD．

∵CD平分∠ACB，

∴=，

∴OD⊥AB，

∵DF∥AB，

∴DF⊥OD，

∵OD是半径，

∴DF是⊙O的切线．

23.【答案】解：（1）把A（-2，-3）代入y=得：-3=，

∴m=6，

∴反比例函数的解析式为y=；

把B（1，n）代入y=得n=6，

∴B（1，6）；

把A（-2，-3），B（1，6）代入y=kx+b得：

，

解得，

∴一次函数的解析式为y=3x+3；

（2）①如图：

在y=3x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=-1，

∴D（0，3），C（-1，0），

∵P（p,q）为直线y=3x+3上的动点，

∴P（p,3p+3），E（p,），F（p,0），

∴PE=|3p+3-|，

∵S△PDE=6S△DCO，

∴×|p|×|3p+3-|=6××3×1，

解得p=或p=，

当p=时，P（，），E（，），F（，0），

∴PE=，PF=，

∴==；

当p=时，P（，），E（，），F（，0），

∴PE=，PF=，

∴==；

综上所述，的值为；

（3）观察图象可知，点P在点E上方时，-2＜p＜0或p＞1；

①当p=-1时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；

②当p≠-1时，方程为一元二次方程；Δ=（p-1）2-4（p+1）×（-）=（p-1）（3p+1），

当-2＜p＜-，且p≠-1时，p-1＜0，3p+1＜0，

∴Δ＞0，此时方程有两个不相等的实数根；

当p=-时，3p+1=0，

∴Δ=0，此时方程有两个相等的实数根；

当-＜p＜0时，p-1＜0，3p+1＞0，

∴Δ＜0，此时方程无实数根；

当p＞1时，p-1＞0，3p+1＞0，

∴Δ＞0，此时方程有两个不相等的实数根；

综上所述，当-2＜p＜-且p≠-1或p＞1时，方程有两个解；当p=-或当p=-1时，方程有一个解；当-＜p＜0时，方程有0个解．

24.【答案】①；

②见解析；

y=，y的最大值为．

25.【答案】解：（1）将点B坐标代入y=kx+1，

3=k+1，

∴k=2；

（2）F（m,2m+1），

当⊙F与CD相切时，设切点为G，

则FG=FB，即：FG2=FB2，

∴（2m+1）2=（m-1）2+（2m+1-3）2，

∴m1=7-3，m2=7+3（舍去），

∴FG=2m+1=15-6，

此时S=π•（15-6）2=（405-180）•π，

当FC=FB时，即：FC2=FB2，

∴（m-1）2+（2m+1-3）2=（m-2）2+（2m+1）2，

∴m=0，

∴FC2=22+12=5，

此时S=5π，

∴（405-180）•π≤S≤5π；

（3）如图，

设A（n,2n+1），

作DF∥OE，交BB′于F，作B′G∥OE，

∴∠BAF=∠DEO，

∵∠BAB′=2∠DEO