2026年江苏单招数学数列与不等式综合难题专项练

2026年江苏单招数学数列与不等式综合难题专项练一、选择题（每题5分，共20分）（1题，5分）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_3+a_5=18，则S_9的值为（）A.81B.108C.135D.162（2题，5分）若关于x的不等式ax-1>0在x∈(-∞,1)上恒成立，则a的取值范围是（）A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-1,0)（3题，5分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5的值为（）A.16B.31C.63D.127（4题，5分）不等式|2x-3|+|x+1|<4的解集为（）A.(-3,1)B.(-1,3)C.(-2,2)D.(-3,3)二、填空题（每题6分，共24分）（5题，6分）等比数列{b_n}的前3项依次为1,2,4，则b_6的值为_________。（6题，6分）若x>0，y>0，且x+2y=4，则x^2+y的最小值为_________。（7题，6分）不等式3x^2-5x-2>0的解集为_________。（8题，6分）已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），若S_1=1，则c_4的值为_________。三、解答题（共56分）（9题，10分）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_4=10，S_6=60，求该数列的通项公式a_n。（10题，10分）解不等式组：①|x-1|<2②x^2-3x+2>0（11题，12分）已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），若b_1=2，b_2=5，求b_n的通项公式。（12题，14分）若a>0，b>0，且ab=1，求证：a+b≥4。当且仅当a=b时取等号。（13题，10分）已知不等式|3x-m|<5的解集包含区间(-1,2)，求实数m的取值范围。答案与解析一、选择题（1题，5分）B解析：由等差数列性质，a_3+a_5=a_1+a_9，故a_1+a_9=18，即2a_1+8d=18。又a_1=2，解得d=2。S_9=9a_1+36d=9×2+36×2=108。（2题，5分）C解析：ax-1>0即ax>1，在x∈(-∞,1)上恒成立，则a<1且a>0，故a∈(0,1)。（3题，5分）D解析：由递推关系变形得a_n+1-1=2(a_n-1)，即{a_n-1}是首项为0，公比为2的等比数列，a_n-1=2^{n-1}，故a_5=2^4=16。（4题，5分）A解析：分段讨论：①x<-1时，-2x+3-x-1<4⇒3x>-2⇒x>-2/3（舍）。②-1≤x≤3/2时，2x-3-x-1<4⇒x<8。③x>3/2时，2x-3+x+1<4⇒3x<6⇒x<2。综上，解集为(-2/3,2)。二、填空题（5题，6分）32解析：公比q=2，b_6=2^5=32。（6题，6分）4解析：由均值不等式x^2+y=(x+2y)(x/y+1)=4(x/y+1)≥4×2=8，当x=2y=2时取等。（7题，6分）(-∞,-1/3)∪(2,+∞)解析：解方程3x^2-5x-2=0得x=-1/3或x=2，结合二次函数图像可知解集为上述区间。（8题，6分）7解析：由递推关系，c_n=S_n-S_{n-1}=a_n，故c_4=a_4。又a_4=a_1+3d，由（1题）已知a_1=2，d=2，故a_4=8。三、解答题（9题，10分）解：由a_4=a_1+3d=10，S_6=6a_1+15d=60，联立方程组：a_1+3d=106a_1+15d=60解得a_1=2，d=2，故a_n=2+2(n-1)=2n。（10题，10分）解：由①|x-1|<2⇒-1<x<3；由②x^2-3x+2=(x-1)(x-2)>0⇒x<1或x>2；取交集得解集为(-∞,1)∪(2,3)。（11题，12分）解：由b_n=S_n-S_{n-1}，则b_1=S_1=2，b_2=S_2-S_1=a_2=5-2=3，又b_n=a_n，递推关系a_n=a_{n-1}+c（常数），b_2-b_1=a_2-a_1=c⇒c=1，故a_n=a_1+(n-1)×1=2+n-1=n+1，b_n=n+1。（12题，14分）证明：由均值不等式a+b≥2√ab=4（因ab=1），当且仅当a=b=1时取等。设f(a)=a+1/a，求导f'(a)=1-a^2/a^2=(1-a^2)/a^2，令f'(a)=0得a=±1（舍负），当0<a<1时f'(a)>0，f(a)单调增；当a>1时f'(a)<0，f(a)单调减。故f(a)≥f(1)=4，当a=1时取等。（13题，10分）解：由|3x-m|<5⇒-5<3x-m<5⇒m-5