函数的奇偶性重点考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

函数的奇偶性重点考点专题练2026年高考数学一轮复习备考一、单选题1．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（

）A． B． C． D．2．已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（

）A． B．C． D．3．已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．4．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（

）A．0 B． C． D．6．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（

）A． B． C． D．7．函数与函数的图象的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．38．已知是定义域为的奇函数．若以点为圆心，半径为2的圆在轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为（

）A． B．C． D．9．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的全部中，下列成立的是（

）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值C．存在是增函数 D．存在在处取到微小值10．已知偶函数满足：，且，若，则（

）A．1 B． C． D．二、多选题11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A．当时，B．函数有2个零点C．函数在点处的切线方程为D．，都有12．已知定义域为的函数对任意实数x，y，都有成立，则下列说法正确的是（

）A．B．肯定不是奇函数C．若是偶函数，则D．若，则三、填空题13．函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为．14．若是偶函数，则15．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为.16．函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则.四、解答题17．已知幂函数的定义域不为.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.18．已知函数是奇函数.(1)求的值.(2)推断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值；(3)若函数满足不等式，求出的范围.19．已知函数是定义在区间上的函数．(1)推断的奇偶性；(2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集．

参考答案题号12345678910答案CBBDDABDBC题号1112答案ACDABD1．C【分析】依据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值.【详解】由于函数为奇函数，即，所以，可得①，由于函数是偶函数，即，所以，可得②，联立①②可得，因此.故选：C.2．B【分析】依据偶函数，指数函数的学问确定正确选项.【详解】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.留意到，所以B选项符合.故选：B3．B【分析】作出函数图象推断即可.【详解】对于A选项：如图，不符，对于B选项：如图，符合，对于C选项：如图，不符，对于D选项：如图，不符，故选：B.4．D【分析】依据奇函数的性质化简不等式，然后依据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围.【详解】由于奇函数在上有定义，所以，所以所以，解得.所以的取值范围为.故选：D.5．D【分析】推断与图象的对称性，从而求得．【详解】对于，，，所以的图象关于点对称．由于所以是奇函数，是奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，所以，的图象的交点关于对称，所以．故选：D6．A【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值.【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数，所以，，即，化简得，解得.故选：A.7．B【分析】分析函数的性质，再按分段并结合导数及零点存在性定理推理推断.【详解】令函数，，则定义域为，，是奇函数，当时，；由为奇函数可得当时，，而函数是偶函数，且当时，，则函数与的图象在时无交点；当时，令，求导得，函数在上单调递增，又，，因此在上只有一个零点，所以函数与的图象交点只有一个.故选：B8．D【分析】以点为圆心，半径为2的圆在轴上方的部分的方程为，由是定义域为的奇函数，依据奇函数的定义即可求出的解析式.【详解】以点为圆心，半径为2的圆的方程为，则该圆在轴上方的部分的方程为，由是定义域为奇函数，得，当时，，故选：D9．B【分析】A选项利用偶函数的性质找到冲突即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件冲突；D选项由集合的定义找到冲突.【详解】对于A选项：时，，当时，，任意的，恒成立，若时偶函数，此时冲突，故A选项错误；对于B选项：若函数图像如下：当时，，时，，当，，∴存在在处取最大值，故B选项正确；对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，而是全体定义域，故C选项错误；对于D选项：若存在在处取到微小值，则在在左侧存在，，与集合定义冲突，故D选项错误.故选：B10．C【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解.【详解】由，用代换，可得，联立方程组，可得，即，又由函数为偶函数，且，可得与同号，所以，可得函数是周期为的函数，由于，与同号，则，令，可得，所以，则.故选：C.11．ACD【分析】对于A，由奇函数性质验算即可；对于B，由零点定义解方程即可；对于C，只需求出即可；对于D，只需算出函数的值域即可.【详解】对于A，当时，则，,由于是定义在R上的奇函数,所以，故A对.对于B，时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对.对于C，对求导得，所以，故所求切线为，即，所以C对.对于D，当时，，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且当时，，时，所以由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对.故选：ACD.12．ABD【分析】在中，令，求出，再令，，即可推断A；依据即可推断B；假设函数是偶函数，推出即可推断C；利用累加法得到，再表示出，利用放缩法即可证明D．【详解】对于选项A：在中，令，则，①再令，，则，A正确；对于选项B：由①得：，故肯定不是奇函数，B正确；对于选项C：若是偶函数，则，所以，整理得：，故，C错误；对于选项D：在中，令，，可得，所以，又，所以，，，，以上各式累加，得，故，D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：选项D的关键是通过对的适当赋值、对的放缩，裂项求和来求解．13．【分析】首先依据已知条件列出相关等式求出的表达式，然后依据基本不等式的性质和对数运算即可求得最小值.【详解】由题意，①则，②所以两式相加得：，则，又，当且仅当时取等号，所以．故答案为：.14．0或2【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求，再证明为奇函数，由此可得函数为奇函数，结合正弦函数性质可求，由此可得，再求结论即可.【详解】由于是偶函数，所以它的定义域关于原点对称，所以不等式的解集关于原点对称，所以不等式的解集关于原点对称，所以方程的根互为相反数，所以，此时定义域为，设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以，所以，所以函数为奇函数，又是偶函数，所以恒成立，所以是奇函数，于是，此时，于是或.故答案为：0或215．【分析】依据给定条件，利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式.【详解】由是定义在上的奇函数，得，是上的偶函数，由，得，则，由在上递增，得在上递减，当时，，不等式成立，因此；当时，，解得；当时，，解得，所以不等式的解集为.故答案为：16．【分析】结合函数的对称性可得函数的周期性，再由奇函数的性质可得，即可得解.【详解】由为奇函数，为偶函数，则有，，故，即，即有，故函数周期为，故，由，则有，即，故.故答案为：.17．(1)(2)【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可；（2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解.【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或，若，则的定义域为，不符合题意，若，则的定义域为，符合题意，所以的解析式为.（2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，由可得，由于在上递减且恒负，在上递减且恒正，所以或或，解得或，所以a的取值范围为．18．(1)(2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为(3)【分析】（1）依据奇函数的定义可求得的值；（2）推断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后推断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；（3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）由于在是奇函数，则，即，可得，解得，故.（2）是区间上的增函数，理由如下：任取、且，则，由于所以，，，所以，即，所以是区间上的增函数，所以函数的最小值为，最大值为.（3）由于是区间上的增函数，且是奇函数，由可得，所