函数的周期性重点考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

函数的周期性重点考点专题练2026年高考数学一轮复习备考一、单选题1．已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最大值为（

）A． B． C．1 D．02．已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则（

）A．21 B．22 C． D．3．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上全部解的和为（

）A．8 B．7 C．6 D．54．已知函数满足，，则（

）A．3 B． C．5 D．5．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．6．已知在上是周期为4的奇函数，当时，，则等于（）A． B．2 C． D．7．已知函数满足：，，则下列说法正确的有（

）A．是周期函数B．C．D．图象的一个对称中心为8．已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（

）A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减9．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（

）A． B．是偶函数C．关于点对称 D．二、多选题10．定义在上的函数满足，，则（

）A． B．C． D．2为的一个周期11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（

）A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数C． D．12．已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（）A． B．C． D．三、填空题13．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是.14．已知定义域为的函数满足，且，则.15．函数对任意恒有成立，且，则．16．已知的定义域为，将的图象绕原点旋转180°后所得图象与原图象关于轴对称，且，则.17．设是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是四、解答题18．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒成立，且当时，.（1）求证：是以2为周期的函数（不需要证明2是的最小正周期）；（2）对于整数，当时，求函数的解析式.19．已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，设，若对于任意的，均有，则称是等和积函数．(1)若是等和积函数；（i）证明：；（ii）证明：；(2)若是等和积函数，证明：函数在上至少有1350个零点．

参考答案题号12345678910答案DCABAAACDACD题号1112答案BCABD1．D【分析】依据条件可得，得到函数的周期，然后得到当时的表达式，最终推断即可.【详解】由，因此可以得到：，所以函数的周期为4，当时，，故当时，当时，，所以，明显当或时，函数的最大值为0.故选：D2．C【分析】依据题意证明，结合对称性分析运算即可.【详解】∵为偶函数且，则，故关于点对称，又∵，则，则是以周期为4的周期函数，故关于点对称，∴，则，又∵，则，故.故选：C.3．A【分析】令，由已知可得函数与的图象在区间上关于直线对称，利用对称性即可求解.【详解】解：由于函数满足，所以函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以，所以函数是周期为2的函数，又的图象也关于直线对称，作出函数与在区间上的图象，如图所示：由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，所以方程在区间上全部解的和为，故选：A.4．B【分析】构造函数，通过其周期性，确定的周期性，即可求解.【详解】可得：，即，令，则，可得，所以是以4为周期的函数，所以也是以4为周期的函数，所以，令可得：，结合，可得，所以.故选：B5．A【分析】依据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.【详解】由题知对一切成立，于是.故选：A6．A【分析】利用函数的周期性得，再利用奇函数的性质及条件，即可求出结果.【详解】由于是为周期的周期函数所以，由于在上是奇函数，则，又由于当时，，则故选：A.7．A【分析】先证明得到A正确；再给出作为反例说明B，C，D错误.【详解】对于A，由于，故.从而，这就得到，所以，即.所以是周期函数，故A正确；对于B，C，D，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B，C，D错误；故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对条件进行适当的代数变形.8．C【分析】由余弦函数的和、差角公式结合题目条件，可设，先求出，再对选项进行逐一验证即可得出答案.【详解】由，可得，可设由，即，则可取，即进行验证.选项A：，故选项A不正确.选项B：由，则其最小正周期为,故选项B不正确.选项D：由于为周期函数，则在不行能为单调函数.故选项D不正确.选项C：,又，故此时为其一条对称轴.此时选项C正确,故选：C9．D【分析】借助赋值法令，即可得A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可得B；结合复合函数导数公式与对称性可得C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可得解.【详解】对A：令，有，故，故A错误；对B：令，有，又不恒为零，故，即，又，故是奇函数，故B错误；对C：令，；令，当时，有，；当，有，，当，结合，有，，，综上，，，关于直线对称，所以关于直线对称，故C错误；对D：由，故，令，有，即，则，即，，即，，即，令，有，即，则，，，故，故D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于令可得，结合，可得为偶数时，.10．ACD【分析】依据给定条件求得函数的周期，再逐项分析推断.【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确；对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确.故选：ACD11．BC【分析】依据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误.【详解】对于A，由题意，，且，又，即①，用替换中的，得②，由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误；对于B，由，可得，即，所以，所以是以8为周期的周期函数，故B正确；对于C，由①可得，则，所以，故C正确；对于D，由于，为偶函数，所以，令，则有，令，则有，令，则有，，令，则有，所以，故D错误.故选：BC.12．ABD【分析】由题可知函数关于点对称，又函数关于直线对称可得函数也关于对称，即，进而可得呈周期递增，再依据已知部分解析式得到的图像，依据图像求切线可确定AB选项，然后依据周期变化可求函数值推断CD选项.【详解】，即关于点对称，，又曲线的图象关于直线对称，所以也关于点对称，即结合可得，即，所以函数呈周期性变化，又曲线的图象关于直线对称，时，，则时，，又，时，则，，又关于直线对称，时，，依据题意可作出函数图像如下：依据图像可知函数在两条斜率为1的直线之间，设下面一条直线方程为：与相切，，切点为，此时切线方程为：，又由于，所以，故A正确；通过对称可得，故B正确；由，所以，故C错误；，，故D正确；故选：ABD.13．.【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，依据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.14．【分析】由迭代法可得函数的周期性，利用赋值法，可得答案.【详解】由，令代替，可得，则，可得，由，令，则，所以.故答案为：.15．【分析】依据所给关系式，求出函数周期，利用周期及性质可得解.【详解】由于，所以，即函数的周期为，所以.故答案为：16．【分析】由题意可得函数为偶函数，利用赋值法可得，可求得，进而可得，可得符号相反，，可求.【详解】由于将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象关于轴对称，所以函数为偶函数，即，由，令，可得，所以，令，可得，又，可得，所以，所以，所以，所以是周期为4的周期函数，所以，所以，由于，，所以，，由于函数的周期为4，所以符号相反，且，所以，所以.故答案为：.17．8【详解】由于，则需考虑的状况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，冲突，因此，因此不行能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在四周仅有一个交点，因此方程的解的个数为8．点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．18．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）通过证明成立得解；（2）先求解时，，再通过周期为2得可求解当时函数的解析式【详解】解：（1）由于，所以：是以2为周期的函数；（2）∵当时，，函数是定义在上的偶函数∴当时，，∴时，，∵是以2为周期的函数，即，设，则，，即.19．(1)（i）证明见详解；（ii）证明见详解；(2)证明见详解.【分析】（1）（i）由是等和积函数，得，即可推断；（ii）由（i）代换可得，两式相减，化简可证；（2）利用，求出的周期为3，然后利用不等式的性质求出在上至少有一个解，结合函数的周期即可求解.【详解】（1）