北师大版数学【选修2-3】练习

第一章§2

基础巩固

一、选择题

1.6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序

共有（）

A.240种R.26。种

C.480种D.720种

［答案IC

［解析］本题考查了排列问题的应用.由题意，甲可从4个位置选择一个.其余元素不

限制，所以所有不同次序共有AA=480.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论.

2.由1.234.5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an},则

a72等于（）

A.1543B.2543

C.3542D.4532

［答案］C

［解析I容易得到千位为1时组成四位数的个数为A=24,则千位为2,3,4,5时均有四位

数24个，由于24X3=72,四位数由小到大排列，可知第72个数为千位为3的最大的四位数

即3542,故选C.

3.（2014•辽宁理，6）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为

（）

A.144B.120

C.72D.24

［答案ID

［解析］采用插空法.任两人隔1椅.共有2A=12,

有两个隔2椅，共有A-A=12,

共有12+12=24（种）方法.

二、填空题

4.2014年南京青奥运火炬接力传递路线共分6段.传递活动分别由6名火炬手完成.如

果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则

不同的传递方案共有种（用数字作答）.

［答案I96

［解析］先安排最后一棒.有A种方案；再安排第一棒，有A种方案；最后安排中间四

棒，有A种方案.所以不同的传递方案共有A•A•A=96种.

5.（2013•北京理・12）将序号分别为123,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1

张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________.

［答案］96

［解析］5张参观券分为4堆.有2个连号的有4种分法，每一种分法中的不同排列有A

种.因此共有不同的分法4A=4X24=96种.

三、解答题

6.书架上某层有6本书，新买了3本书插进去,要保持原来6本书原有顺序，问有多少

种不同插法？

［解析］解法一：9本书按一定顺序排在一层、考虑到其中原来的6本书保持原有顺序,

原来的每一种排法都重复了A次.

所以有A+A=504（种）.

解法二：把书架上的这一层欲排的9本书看作9个位置，将新买的3本书放入这9个位

置中的3个，其余的6本书按着原来顺序依次放入.

则A=504（种）.

解法三将新买来的3本书逐一插进去.空档中选1个，有7种选法，第2本书可从现

在的7本书的8个空档中选1个，有8种选法，最后1本可从现在的8本书9个空档中选1

个有9种选法；3本书都插进去，这件事才算做完，根据乘法原理，共有7X8X9=504（种）

不同的插入方法.

能力提升

一、选择题

1.（2014•郑州网校期中联考）从6个人中选4人分另J到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个

城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴

黎游览，则不同的选择方案共有（）

A.300种B.240种

C.144种D.96种

［答案IB

［解析］先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人中选3人去伦敦、悉

尼、莫斯科，共有不同选择方案,A•庆=240种.

2.在由数字1,2,345组成的没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数

共有（）

A.56个B.57个

C.58个D.60个

［答案］C

［解析］首位为3时，有A=24;

首位为2时，千位为3,则有AA+1=5,

千位4或5时,AA=12；

首位为4时，千位为1或2,则AA=12,

千位为3,则有AA+1=5,

:.共有24+5+12+12+5=58.

3.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目

乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

（）

A.36种B.42种

C.48种D.54种

［答案IB

［解析1分两类解决：

第一类：甲排在第一位，共有A=24种排法.

第二类：甲排在第二位，共有A・A=lg种排法.

所以节目演出顺序的编排方案共有24+18=42种.

4.（2012•全国大纲理，11）将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相

同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）

A.12种B.18种

C.24种D.36种

［答案］A

［解析］本题考查了分步计数原理的应用.利用分步计数原理，先填写最左上角的数,

有C=3种；再填写右上角的数为2种；再填写第二行第一列的数有2种、一共有3X2X2

=12种.故选A.

解题的关键是正确地利用分步计数原理合理地分步计算.

5.（2014•四川理,6）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲,

则不同的排法共有（）

A.192种B.216种

C.240种D.288种

［答案］B

［解析I分两类：最左端排甲有A=120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最

右端.所以有CA=96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有216种.解决排

列问题，当有限制条件的问题要注意分类讨论，做到不重、不漏.

二、填空题

6.（2014•辽宁省协作联校三模）航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼一15

飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着

舰方法有种.

［答案］36种

［解析］..•甲,乙相邻，...将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A=48

种.其中甲乙相邻，且甲丁相邻的只能是甲乙丁看作一个整体，甲中间，有AA=12种，.•.共

有不同着舰方法48-12=36种.

7.(1)若A=7A,则n=；

(2)若=4,则n=.

［答案］(1)7(2)5

［解析］(I)将A=7A按排列数公式展开得n(n—l)=7(n—4)(n—5)(n^6,n为正整数),

解得n=7.

(2)将=4改写为阶乘形式为=+=(n—3)(n—4)+(n—3)=4(n25,n为正整数)，解得n

=5.

三、解答题

8.从7名运动员中选出4人参加4X100米接力.求满足下述条件的安排方法的种数:(1)

甲、乙二人都不跑中间两棒；(2)甲、乙二人不都跑中间两棒.

［分析I这是排列和体育项目的综合题目，应在理解4X10()米接力方式的同时，合理运

用排列知识确定安排的方法.

［解析I(1)从甲、乙之外的5人中选2人安排在中间两棒有A种方法.再从所有余下5

人中安排首、末棒有A种方法，故符合要求的共有A•A=400(种)方法.

(2)从7人中选4人安排到各接力区有A种方法，去掉甲、乙两人都跑中间两棒的种数

为A-A.即得甲、乙二人不都跑中间两棒的有A-A・A=800(种)方法.

［点评］本题主要考查了体育中4X100米接力的要求和排列知识，考查了应用数学知

识的能力，解决此类问题的关键在于从题目情景中提炼出“序”的实质.

9.由0.1,234,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不等于5的

倍数的数有多少个？

［分析］依题意，有两个特殊元素，即数字“0”和“5”，不能放入两个特殊的盒子，即

“首位”和“个位”，解题的基本策略有3种：

(1)以元素即数字为主，先排特殊元素再排其他元素；

(2)可以以盒子即数位为主，先排特殊位置，再排其他位置；

(3)将全排列数减去不符合要求的数的个数.

［解析］解法一：因为。和5不能排在首位或个位，先将它们排在中间4个位置上有A

种排法，再排其他4个数有A种排法，由分步乘法计数原理，共有A・A=12X24=288个符

合要求的六位数.

解法二：因为首位和个位上不能排。和5,所以先从123,4中任选2个排在首位和个位,

有A种排法，再排中间4位数有A种排法，由分步乘法计数原理，共有A-A=12X24=288

个符合要求的六位数.

解法三：六个数字的全排列共有A个，其中有0排在首位或个位上的有2A个，还有5

排在首位或个位上的也有2A个，它们都不合要求应减去，但这种情况都包含。和5分别在

首位或个位上的排法2A种，所以有A-4A+2A=288个符合要求的六位数.

10.从数字0,1,357中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程

ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个？

［分析］第一问隐含的限制条件是a