(2025年)一次函数的应用专项练习(有答案)

(2025年)一次函数的应用专项练习(有答案)1.某新能源汽车销售公司统计发现，2024年1-6月该公司某型号电动车的月销量y（辆）与月份x（x=1,2,…,6）满足一次函数关系。已知1月销量为80辆，3月销量为120辆。（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该型号电动车每辆利润为1.5万元，求6月的销售利润。解答：（1）设y=kx+b，将x=1,y=80和x=3,y=120代入得：80=k+b120=3k+b解得k=20，b=60，故y=20x+60。（2）当x=6时，y=20×6+60=180（辆），利润=180×1.5=270（万元）。答案：（1）y=20x+60；（2）270万元。2.甲、乙两地相距240千米，一辆货车从甲地出发以60千米/小时的速度匀速前往乙地，同时一辆轿车从乙地出发以80千米/小时的速度匀速前往甲地。设两车行驶时间为t小时（t≥0），两车之间的距离为s千米。（1）求s关于t的函数解析式；（2）出发后多少小时两车相距40千米？解答：（1）货车行驶距离为60t，轿车行驶距离为80t，初始距离240千米，故s=240-60t-80t=240-140t（0≤t≤240/140≈1.714）。当t>1.714时，两车已相遇，s=140t-240，但题目未要求此范围，故主要解析式为s=240-140t（0≤t≤12/7）。（2）令s=40，即240-140t=40，解得t=200/140=10/7≈1.429小时；或相遇后相距40千米时，140t-240=40，t=280/140=2小时（但需验证是否在相遇后，相遇时间为240/140=12/7≈1.714小时，2>12/7，故有效）。答案：（1）s=240-140t（0≤t≤12/7）；（2）10/7小时或2小时。3.某社区为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价收费制度：每月用电量不超过150度时，每度0.5元；超过150度但不超过300度的部分，每度0.6元；超过300度的部分，每度0.8元。设某户月用电量为x度，电费为y元。（1）当150<x≤300时，求y关于x的函数解析式；（2）若该户某月电费为180元，求该月用电量。解答：（1）当150<x≤300时，前150度费用为150×0.5=75元，超过部分为(x-150)×0.6元，故y=75+0.6(x-150)=0.6x-15。（2）当x=300时，电费=150×0.5+150×0.6=75+90=165元<180元，故用电量超过300度。设超过300度的部分为a度，则165+0.8a=180，解得a=18.75，总用电量=300+18.75=318.75度。答案：（1）y=0.6x-15（150<x≤300）；（2）318.75度。4.某工厂生产某种零件，固定成本为5万元（无论生产多少件都需支出），每生产1件零件的可变成本为20元。若零件售价为30元/件，设月产量为x件（x≥0），月利润为P元。（1）求P关于x的函数解析式；（2）若该厂希望月利润不低于10万元，至少需生产多少件零件？解答：（1）收入=30x元，成本=50000+20x元，故P=30x-(50000+20x)=10x-50000。（2）令10x-50000≥100000，解得x≥15000件。答案：（1）P=10x-50000；（2）15000件。5.甲、乙两人沿同一条直线道路晨跑，甲从起点出发以4米/秒的速度匀速前进，20秒后乙从起点出发以6米/秒的速度匀速追赶。设甲出发后时间为t秒（t≥0），甲、乙两人与起点的距离分别为s₁米、s₂米。（1）分别求s₁、s₂关于t的函数解析式（需注明t的范围）；（2）乙出发后多久能追上甲？解答：（1）s₁=4t（t≥0）；乙在t≥20时出发，故当t<20时，s₂=0；当t≥20时，s₂=6(t-20)=6t-120。（2）追上时s₁=s₂，即4t=6t-120（t≥20），解得t=60秒，乙出发时间为60-20=40秒。答案：（1）s₁=4t（t≥0），s₂=0（t<20），s₂=6t-120（t≥20）；（2）40秒。6.某书店推出“阅读卡”优惠活动：购买A类卡需支付200元工本费，凭卡购书可享8折优惠；购买B类卡需支付100元工本费，凭卡购书可享9折优惠。设某读者购书总金额为x元（x>0），使用A类卡、B类卡的实际花费分别为y₁元、y₂元。（1）分别求y₁、y₂关于x的函数解析式；（2）当购书金额为多少时，使用A类卡比B类卡更划算？解答：（1）y₁=200+0.8x；y₂=100+0.9x。（2）令y₁<y₂，即200+0.8x<100+0.9x，解得x>1000元。答案：（1）y₁=0.8x+200，y₂=0.9x+100；（2）超过1000元。7.某水库的水位在汛期每天持续上涨，经测量，第1天水位为18米，第3天水位为21米（水位上涨速度均匀）。设第t天（t≥1）的水位为h米。（1）求h关于t的函数解析式；（2）若水位超过25米时需启动泄洪预案，预测第几天需启动预案？解答：（1）设h=kt+b，t=1时h=18，t=3时h=21，代入得：18=k+b21=3k+b解得k=1.5，b=16.5，故h=1.5t+16.5（t≥1）。（2）令1.5t+16.5>25，解得t>8.5，故第9天需启动预案。答案：（1）h=1.5t+16.5；（2）第9天。8.某快递公司规定：省内快递首重（1千克及以内）收费10元，续重（超过1千克的部分）每千克收费2元（不足1千克按1千克计算）。设快递重量为x千克（x>0），运费为y元。（1）当x>1时，求y关于x的函数解析式（需考虑重量取整规则）；（2）若某件快递运费为20元，求其重量范围。解答：（1）当x>1时，续重部分为⌈x-1⌉千克（⌈⌉表示向上取整），故y=10+2⌈x-1⌉。例如，1<x≤2时，⌈x-1⌉=1，y=12；2<x≤3时，⌈x-1⌉=2，y=14，以此类推。（2）运费20元时，10+2⌈x-1⌉=20，解得⌈x-1⌉=5，故4<x-1≤5，即5<x≤6千克。答案：（1）y=10+2⌈x-1⌉（x>1）；（2）5<x≤6千克。9.甲、乙两台机器同时加工同一种零件，甲机器每小时加工30个，乙机器每小时加工25个。设加工时间为t小时（t≥0），两台机器共加工零件数为N个。（1）求N关于t的函数解析式；（2）若需要加工550个零件，两台机器同时工作需要多久？解答：（1）甲加工量30t，乙加工量25t，故N=30t+25t=55t（t≥0）。（2）令55t=550，解得t=10小时。答案：（1）N=55t；（2）10小时。10.某城市出租车计费规则：起步价（3公里及以内）10元，超过3公里后每公里2.5元（不足1公里按1公里计算）。设乘车距离为x公里（x>0），车费为y元。（1）当x>3时，求y关于x的函数解析式（需考虑距离取整规则）；（2）若某乘客支付车费30元，求其乘车距离范围。解答：（1）当x>3时，超过部分为⌈x-3⌉公里，故y=10+2.5⌈x-3⌉。例如，3<x≤4时，⌈x-3⌉=1，y=12.5；4<x≤5时，⌈x-3⌉=2，y=15，以此类推。（2）车费30元时，10+2.5⌈x-3⌉=30，解得⌈x-3⌉=8，故7<x-3≤8，即10<x≤11公里。答案：（1）y=10+2.5⌈x-3⌉（x>3）；（2）10<x≤11公里。11.某学校组织学生春游，租用A、B两种型号的客车。A型客车每辆可载45人，租金为800元；B型客车每辆可载30人，租金为500元。设租用A型客车x辆，B型客车y辆，总载客量为S人，总租金为C元。（1）若总载客量需满足S≥300人，且x、y为非负整数，求y关于x的函数关系式（提示：用不等式表示）；（2）在（1）的条件下，求总租金C的最小值及对应的x、y值。解答：（1）45x+30y≥300，化简得3x+2y≥20，故y≥(20-3x)/2（x≥0，y≥0且为整数）。（2）C=800x+500y，需最小化C。由3x+2y≥20，尝试x=0时y≥10，C=5000；x=2时y≥(20-6)/2=7，C=1600+3500=5100；x=4时y≥(20-12)/2=4，C=3200+2000=5200；x=6时y≥(20-18)/2=1，C=4800+500=5300；x=1时y≥(20-3)/2=8.5→y=9，C=800+4500=5300；x=3时y≥(20-9)/2=5.5→y=6，C=2400+3000=5400；x=5时y≥(20-15)/2=2.5→y=3，C=4000+1500=5500。故最小值为x=0,y=10时C=5000元（但实际可能需考虑A型车更高效，若要求至少1辆A型车，则x=2,y=7时C=5100元，需根据题目是否限制x≥0，此处按x≥0计算）。答案：（1）y≥(20-3x)/2（x≥0，y为非负整数）；（2）最小值5000元（x=0,y=10）或根据实际限制调整。12.某手机店统计发现，某款手机的月销量y（部）与销售单价x（元）满足一次函数关系。当单价为3000元时，月销量为200部；当单价为3500元时，月销量为150部。（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该手机每部成本为2000元，求月利润P关于x的函数解析式，并求单价定为多少时月利润最大。解答：（1）设y=kx+b，代入(3000,200)和(3500,150)得：200=3000k+b150=3500k+b解得k=-0.1，b=500，故y=-0.1x+500。（2）利润P=(x-2000)y=(x-2000)(-0.1x+500)=-0.1x²+700x-1,000,000。这是二次函数，开口向下，顶点在x=-b/(2a)=-700/(2×(-0.1))=3500元。此时最大利润P=-0.1×3500²+700×3500-1,000,000=122,500元。答案：（1）y=-0.1x+500；（2）P=-0.1x²+700x-1,000,000，单价3500元时利润最大。13.甲、乙两人从同一地点出发骑自行车去公园，甲先出发10分钟，速度为12千米/小时；乙后出发，速度为15千米/小时。设甲出发后时间为t小时（t≥0），甲、乙两人与公园的距离分别为d₁千米、d₂千米（公园距离出发点30千米）。（1）分别求d₁、d₂关于t的函数解析式（需注明t的范围）；（2）乙出发后多久能追上甲？解答：（1）甲的行驶距离为12t，故d₁=30-12t（t≥0，且12t≤30→t≤2.5）；乙出发时间为t≥10/60=1/6小时，行驶时间为t-1/6小时，行驶距离为15(t-1/6)，故d₂=30-15(t-1/6)=30-15t+2.5=32.5-15t（t≥1/6，且15(t-1/6)≤30→t≤2.5+1/6≈2.666小时）。（2）追上时甲、乙与出发点的距离相等，即12t=15(t-1/6)，解得12t=15t-2.5→3t=2.5→t=5/6小时≈50分钟，乙出发时间为5/6-1/6=2/3小时=40分钟。答案：（1）d₁=30-12t（0≤t≤2.5），d₂=32.5-15t（1/6≤t≤17/6）；（2）40分钟。14.某奶茶店推出“第二杯半价”活动，即购买第一杯原价18元，第二杯及以后每杯9元。设购买n杯奶茶的总费用为W元（n为正整数）。（1）当n≥2时，求W关于n的函数解析式；（2）若某顾客购买5杯奶茶，总费用比不优惠时节省多少元？解答：（1）n=1时W=18；n≥2时，W=18+9(n-1)=9n+9。（2）不优惠时总费用=18×5=90元，优惠后W=9×5+9=54元，节省90-54=36元。答案：（1）W=9n+9（n≥2）；（2）36元。15.某城市自来水收费实行“阶梯水价”：每户每月用水量不超过10吨时，每吨3元；超过10吨但不超过20吨的部分，每吨4元；超过20吨的部分，每吨6元。设某户月用水量为m吨