人教版七年级数学下册“含‘≤’‘≥’的不等式”同步教案

人教版七年级数学下册“含‘≤’‘≥’的不等式”同步教案

一、教材与学情分析

本节课选自人教版义务教育教科书《数学》七年级下册第九章“不等式与不等式组”的第二课时。在上一课时中，学生已经学习了不等式及其解集的概念，掌握了用不等式表示数量关系，并初步接触了“<”与“>”符号。本节课的核心内容是引入“≤”（小于或等于）和“≥”（大于或等于）符号，理解其双重含义，并能够在实际问题中正确使用这些符号建立不等式模型。这是不等式知识体系构建的关键一步，为后续学习不等式的性质及一元一次不等式的解法奠定坚实基础。

从学情来看，七年级学生的抽象逻辑思维正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期。他们已熟悉“等于”，对“大于”“小于”也有直观理解，但对于“小于或等于”这种复合逻辑关系可能存在认知困难，容易将其片面理解为“小于”或错误理解为“和”。此外，在数轴上表示这类不等式的解集时，实心点与空心点的区分是需要重点突破的难点。学生的优势在于好奇心强，乐于参与活动，对于与生活实际紧密联系的问题有较高的探究热情。因此，教学设计需从学生已有的“等于”和“大于/小于”经验出发，通过创设阶梯式的问题情境，引导学生在观察、比较、辨析中主动建构新知识，并借助数形结合思想，将抽象的符号语言转化为直观的图形语言，促进深度理解。

二、教学目标与核心素养

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的理念，结合教材内容和学生实际，制定如下教学目标：

1.知识与技能：理解“≤”和“≥”符号的意义，掌握其读法与写法；能根据具体问题中的数量关系，列出含有“≤”或“≥”的不等式；能在数轴上正确表示这类不等式的解集，理解实心圆点与空心圆点的区别。

2.过程与方法：经历从具体生活实例中抽象出数学符号的过程，体会数学模型思想；通过对比“<”“>”与“≤”“≥”的联系与区别，发展类比归纳能力；在探索用数轴表示解集的过程中，增强数形结合的应用意识。

3.情感、态度与价值观：感受数学符号的简洁与精确之美，认识到数学源于生活并服务于生活；在小组合作探究中养成严谨求实的科学态度和乐于交流的合作精神。

本节课着力培养的核心素养主要包括：

抽象能力与模型观念：从现实情境中提炼数量关系，抽象出“≤”“≥”符号，并用不等式模型进行刻画。

几何直观与推理意识：利用数轴直观表示不等式的解集，通过图形理解符号的数学意义，并在比较、归纳中进行合乎逻辑的思考。

应用意识：自觉运用含“≤”“≥”的不等式去描述和解决现实世界中的简单问题。

三、教学重点、难点及突破策略

教学重点：理解“≤”和“≥”符号的含义，并能根据实际问题列出相应不等式。

教学难点：在数轴上准确表示含“≤”“≥”的不式的解集（特别是端点表示）；理解“或”在符号定义中的逻辑关系。

突破策略：采用“情境感知—操作辨析—对比归纳—迁移应用”的教学路径。针对重点，设计层层递进的生活化问题链，让学生在反复的“列关系”中内化符号意义。针对难点，设计“画一画、比一比”的探究活动，引导学生亲手在数轴上描点、画线、辨析，通过错误尝试与修正，深刻理解实心点（表示包含该数）与空心点（表示不包含该数）的使用规则；通过语言转译（如“x≥2”意味着“x大于2或者x等于2”），帮助学生理解逻辑“或”，化解认知障碍。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含生活情境图片、动画演示、分层练习题）；实物道具（如天平、标有刻度的小纸箱）；几何画板或动态数学软件。

2.学生准备：直尺、铅笔、课堂练习本；预习课本相关内容，并搜集一两个生活中涉及“至少”“至多”“不超过”“不低于”等表述的例子。

五、教学过程实施

（一）创设情境，问题导入（预计时间：8分钟）

师：同学们，上节课我们认识了不等式，学会了用“>”“<”来表示数量间的不等关系。现在，请大家一起来看两个生活中的小场景。（课件出示）

场景一：地铁安检规定，每位乘客随身携带的行李箱，其长、宽、高之和不得超过160厘米。如果一个行李箱的长、宽、高之和是a厘米，那么a应满足什么关系？

场景二：某公园儿童免票身高标准为“身高不足1.3米”。若身高1.3米的小明想享受免票待遇，他是否符合标准？这个标准用数学关系该如何更精确地表达？

学生活动：独立思考片刻后，进行简短交流。

预设生成：对于场景一，学生容易得出a<160。教师追问：“‘不得超过’就是‘小于’吗？如果刚好等于160厘米，允许通过吗？”引导学生关注“等于”的情况。对于场景二，学生可能产生争议：有的认为小明身高正好1.3米，不符合“不足”（即小于）；有的则认为实践中可能“1.3米也行”。教师抓住认知冲突，引出话题：生活中有很多类似“不得超过”“至少”“不低于”的表述，它们不仅包含“大于”或“小于”，还包含了“等于”的可能性。为了精确地表达这种关系，数学中引入了新的符号。

设计意图：从学生熟悉的生活实例出发，制造认知冲突，激发学习兴趣和求知欲。问题设计直指本节课的核心——“等于”情况的纳入，自然引出新符号的必要性。

（二）探索新知，建构概念（预计时间：20分钟）

环节1：符号引入与意义理解

师：对于“行李箱长宽高之和不得超过160厘米”，数学上我们用“a≤160”来表示。这个符号“≤”读作“小于或等于”。它意味着两种情况：a小于160，或者a等于160。只要满足其中一种，这个不等式就成立。同样，“身高不低于1.3米”可以表示为“h≥1.3”，读作“大于或等于”。请大家跟读并书写这两个符号。

学生活动：模仿读写，并在练习本上书写“≤”“≥”。

教师板书：“≤”——小于或等于；“≥”——大于或等于。

巩固辨析：快速判断练习（口答）。下列表述，用“≤”还是“≥”表示？

（1）非负整数（x___0）；

（2）体重至多60公斤（m___60）；

（3）得分不低于85分（s___85）；

（4）温度不高于零下5摄氏度（t___-5）。

学生回答，教师强调关键词语（如“非负”“至多”“不低于”“不高于”）与符号的对应关系。

环节2：从数到形——解集在数轴上的表示

师：我们知道，使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。所有解组成的集合就是解集。上节课我们用数轴表示了如x>2这样的解集。现在，请同学们尝试在数轴上表示x≥2的解集。

探究活动：同桌两人一组，在各自数轴上画一画，并讨论：表示x>2时，我们在数字2处画了一个空心圆圈，然后向右画射线。那么表示x≥2时，在数字2处应该画空心圆圈还是实心圆点？为什么？

学生动手操作、讨论。教师巡视，收集典型画法（正确的和错误的）。

展示与辨析：利用实物投影展示学生的不同画法。聚焦争议点：2这个点到底该不该包含？引导学生用符号意义来解释：因为x≥2包括x=2这种情况，所以数轴上表示2的点应该是解集的一部分，因此要用实心圆点标记，然后向右画射线。

动画演示：用几何画板动态演示当x的值从小于2连续变化到等于2，再变化到大于2时，如何被x≥2这个集合所“捕捉”，强化“包含端点”的直观印象。

对比归纳：教师引导学生完成对比表格。

不等式|读法|数轴表示关键（端点）|解集特点

——|——|——|——

x>2|x大于2|2处画空心圆点，向右|不包含2

x≥2|x大于或等于2|2处画实心圆点，向右|包含2

x<-1|x小于-1|-1处画空心圆点，向左|不包含-1

x≤-1|x小于或等于-1|-1处画实心圆点，向左|包含-1

师生共同总结规律：不等式是“大于”或“小于”时，数轴对应点处画空心圆点；不等式是“大于或等于”或“小于或等于”时，数轴对应点处画实心圆点。方向判断不变：大于向右，小于向左。

设计意图：此环节是突破难点的关键。通过小组探究、对比辨析、动态演示、表格归纳等多种方式，将符号语言、文字语言与图形语言有机结合，帮助学生深刻理解“≤”“≥”的实质，并牢固掌握其解集在数轴上的规范表示方法。

（三）典例精析，深化理解（预计时间：10分钟）

例1：用不等式表示下列数量关系，并在数轴上表示其解集：

（1）y的2倍与1的和不小于3；

（2）a是正数；

（3）x不大于5；

（4）m与-2的差是非负数。

师生共同分析：逐题引导学生抓关键词，翻译成数学符号。

（1）“不小于”即“≥”，列式：2y+1≥3。解集表示略（强调解不等式过程非本节课重点，可简单口算y≥1，重点在数轴表示）。

（2）“正数”即“>0”，列式：a>0。

（3）“不大于”即“≤”，列式：x≤5。

（4）“非负数”即“≥0”，列式：m-(-2)≥0=>m+2≥0。

教师板书（1）（3）的完整过程，强调列式规范。学生完成（2）（4）并在数轴上表示（1）（3）的解集，教师巡视指导。

例2：下列数轴表示，分别对应哪个不等式？（出示几个数轴表示图，包括含实心点和空心点的不同情况）

学生活动：独立观察，将图形语言翻译成符号语言。此练习旨在逆向巩固数轴表示与不等式之间的互译能力。

设计意图：通过典型例题，巩固列不等式的技能，特别是对“不小于”“不大于”“非负数”等常见表述的数学转化。正反两方面的练习，确保学生对数形结合的理解是双向且牢固的。

（四）联系实际，拓展建模（预计时间：12分钟）

综合应用项目：“我为班级采购设计预案”。

情境：班级运动会准备采购饮料和面包。已知每瓶饮料3元，每个面包2元。班费总共不超过200元。初步计划至少购买20瓶饮料，面包的数量不少于饮料数量的一半。

任务：设购买饮料x瓶，面包y个。

（1）根据“班费不超过200元”，列出关于x，y的不等式。

（2）根据“至少购买20瓶饮料”，列出关于x的不等式。

（3）根据“面包数量不少于饮料数量的一半”，列出关于x，y的不等式。

小组合作：学生以4人小组为单位，讨论、分析题意，共同完成三个不等式的建立。教师巡视，参与讨论，对理解有困难的小组进行点拨，如引导他们将“不少于”转化为数学符号。

成果展示与点评：小组代表汇报所列不等式。

预设：（1）3x+2y≤200；（2）x≥20；（3）y≥(1/2)x或2y≥x。

教师点评：肯定正确思路，强调实际问题中多个条件（多个不等式）共同约束的情况，为后续学习不等式组埋下伏笔。同时指出，像y≥(1/2)x这样的式子，虽然含有两个未知数，但它仍然是一个有效的、表示两者关系的不等式。

设计意图：设计一个贴近学生校园生活的综合性问题，将数学建模思想贯穿其中。通过小组合作，培养学生提取信息、转化语言、合作交流的能力。问题涉及两个变量和多个“≤”“≥”条件，具有一定的挑战性和开放性，能满足不同层次学生的思维需求，体现数学的应用价值。

（五）课堂小结，梳理升华（预计时间：5分钟）

师：通过本节课的学习，你收获了哪些“新符号”和“新认识”？请用思维导图或关键词的形式进行梳理。

学生自主梳理，然后自由发言。教师引导从知识、方法、思想三个层面进行总结：

知识层面：认识了“≤”（小于或等于）和“≥”（大于或等于）符号，理解了其含义，学会了在数轴上规范表示其解集（实心点与空心点的区别）。

方法层面：学会了抓关键词（如至少、至多、不超过、不低于）将生活语言翻译成数学不等式；掌握了数形结合表示解集的方法。

思想层面：体会了数学符号的精确性与简洁性；感受了数学建模的过程（从实际中来，到实际中去）。

设计意图：改变教师单向总结的模式，引导学生自主回顾、结构化梳理所学，促进知识的内化与元认知能力的提升。

（六）分层作业，巩固延伸（预计时间：课后完成）

必做题：

1.课本对应习题：完成教材中关于列不等式和在数轴上表示解集的基础练习。

2.用不等式表示：

（1）a的相反数不是正数；

（2）x的3倍减去5的差是非正数；

（3）某景点规定，团体门票10人以上（含10人）可享受8折优惠。设一个团队有n人（n>0），若要享受优惠，n需满足什么条件？

3.在数轴上表示下列不等式的解集：x≤0；x>-1.5。

选做题（探究实践）：

1.请你当“生活观察员”：寻找家中、超市、街道等场所出现的含有“≤”“≥”意义的信息（如产品说明、交通标志、规章制度等），尝试用数学不等式解释其含义。

2.思维挑战：已知在数轴上，表示数a的点位于表示数-2的点的左边或者与-2重合。请用不等式表示a与-2的关系，并思考a的取值范围能否用我们学过的符号简洁表示？（旨在初步渗透“a≤-2”的另一种表述，并启发思考符号的威力）

设计意图：作业设计体现分层理念。必做题夯实基础，确保全体学生掌握核心知识与技能；选做题联系生活、富有探究性，旨在激发学有余力学生的兴趣，培养其观察力、应用能力和创新思维。

六、板书设计

板书设计力求清晰、简洁、突出重点，体现知识生成逻辑。

人教版七年级数学下册含“≤”“≥”的不等式

一、符号引入

“≤”——小于或等于

例：a≤160

“≥”——大于或等于

例：h≥1.3

二、数轴表示解集

x>2

：2（空心）————→

x≥2

：2（实心）————→

x<-1

：←————-1（空心）

x≤-1

：←————-1（实心）

关键：包含端点→实心点；不包含端点→空心点。

三、例题示范

（略，预留空间用于书写典例1、2的关键步骤）

四、核心思想

数学建模、数形结合、符号意识

七、教学反思与改进

本节课的设计遵循“情境—问题—探究—应用”的模式，力图体现学生的主体地位和教师的主导作用。预计成功之处在于：其一，通过精心设计的生活情境导入，能有效激发学习