初中七年级数学下册“整式的乘法”第2课时：单项式与多项式的乘法法则探究与应用导学案

初中七年级数学下册“整式的乘法”第2课时：单项式与多项式的乘法法则探究与应用导学案

  一、设计理念

  本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，秉持“以生为本，素养导向”的核心思想，致力于构建一个开放、互动、富有思维深度的学习场域。教学设计的逻辑起点在于将“运算能力”与“推理意识”的培养深度融合，超越单纯法则记忆与技能操练的层面。我们视“单项式乘多项式”与“多项式乘多项式”的法则为代数推理的经典范例与结构化思维的载体。设计通过创设源于真实世界与跨学科背景的问题情境，激发学生内在的认知冲突与探究欲望；借助几何直观（面积模型）与代数推理的双重路径，引导学生自主建构法则，深刻理解其算理本质——乘法分配律的代数推广。教学过程强调“做中学、思中悟”，通过有梯度的任务链、协作式探究与反思性小结，推动学生经历“具体感知—抽象概括—符号表达—迁移应用”的完整认知过程，发展其数学抽象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养，并初步体会代数与几何、数学与生活及其他学科的内在联系，培育跨学科视野与结构化思维习惯。

  二、学情与内容分析

  （一）学情分析

  本课教学对象为七年级下学期学生。在知识储备上，他们已经熟练掌握了有理数的运算、整式的相关概念（单项式、多项式）、合并同类项、去括号法则，并刚刚学习了“同底数幂的乘法”、“幂的乘方与积的乘方”以及“单项式乘单项式”等内容，具备了进行更复杂整式运算的基本知识链条。在认知心理与能力层面，该年龄段学生抽象逻辑思维开始加速发展，具备了一定的符号意识与归纳推理能力，但对代数法则的算理理解往往不够深入，容易停留在机械套用层面。他们乐于参与探究活动，但在将几何图形与代数表达式建立联系、进行严谨的符号化表达与说理方面可能存在困难。此外，学生在运用运算律进行复杂式子变形时的准确性与条理性有待加强。这些既是教学的挑战，也是发展学生思维严密性与灵活性的契机。

  （二）内容分析

  本节课内容选自北师大版七年级数学下册第一章“整式的乘除”的第三小节。从单元知识结构看，“整式的乘法”是连接“幂的运算性质”与后续“乘法公式”、“整式的除法”乃至“因式分解”的关键枢纽。本课时所学的“单项式乘多项式”与“多项式乘多项式”法则是整式乘法运算的核心组成部分，其本质是乘法分配律在代数式范围内的连续、分层应用。掌握这两种法则，不仅是为了完成形式上的化简与计算，更是为了深刻理解运算律的普适性，为后续学习乘法公式（作为特殊多项式乘法的结果）奠定坚实的算理基础，并为运用代数方法解决更复杂的实际问题（如面积、体积、经济计算等）提供有力的工具。其中，多项式乘多项式法则的推导与灵活运用是本节课的教学难点与重点，它涉及多重分配、逐项相乘、合并同类项等多个步骤，是对学生符号运算能力与思维条理性的综合考验。

  三、学习目标

  基于以上分析，确立本课时学习目标如下：

  1.知识与技能目标：经历探索单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则的过程，能准确叙述并理解其算理；能正确、熟练地运用法则进行整式的乘法运算，并解决相关的简单实际问题。

  2.过程与方法目标：通过从具体面积问题抽象出数学表达式、利用乘法分配律进行代数推理、以及运用几何图形解释代数法则等多种活动，体会数形结合、从特殊到一般、化归（将新问题转化为已学问题）等数学思想方法，提升几何直观与代数推理能力。

  3.情感、态度与价值观目标：在探索法则的活动中，感受数学知识之间的内在联系（运算律的统摄作用）与严谨性，获得成功的体验；通过解决跨学科、生活化的情境问题，体会数学的工具价值与应用广泛性，增强学习兴趣与应用意识。

  四、教学重点与难点

  教学重点：多项式与多项式相乘的法则探索、理解与正确应用。

  教学难点：理解多项式乘法法则的算理本质（乘法分配律的多层次应用）；在复杂运算中确保不重不漏地完成每一项的相乘与合并，并养成良好的运算书写规范。

  五、教学准备

  教师准备：多媒体课件（内含问题情境动画、几何图形动态拆分与拼合演示、分层练习与即时反馈设计）；实物投影仪；设计并打印“探究学习任务单”；准备课堂小结用的思维导图模板（半成品）。

  学生准备：复习乘法分配律、单项式乘单项式法则；准备直尺、铅笔、练习本；预习教材相关部分，初步了解问题。

  六、教学过程

  （一）创设情境，温故孕新（预计用时：8分钟）

  教师活动：

  1.展示情境问题一（几何背景）：某社区计划扩建一片长方形绿地。已知原绿地长为a

a

a米，宽为p

p

p米。现计划将长增加b

b

b米，宽不变。请用两种不同的方法表示扩建后绿地的总面积。

  2.引导学生思考：方法一（整体看）：新长方形的长是？宽是？面积表达式为？方法二（分割看）：扩建后的绿地可视为由哪两部分组成？它们的面积分别是？总面积表达式为？

  3.请学生代表上台用图形示意并写出表达式。预设学生得出：S

=

(

a

+

b

)

p

S=(a+b)p

S=(a+b)p和S

=

a

p

+

b

p

S=ap+bp

S=ap+bp。

  4.追问：这两个代数式有什么关系？依据是什么？引导学生回顾等式(

a

+

b

)

p

=

a

p

+

b

p

(a+b)p=ap+bp

(a+b)p=ap+bp正是乘法分配律的体现。

  5.展示情境问题二（物理背景）：一个物体做直线运动，速度为3

x

3x

3x米/秒，经过(

t

+

2

)

(t+2)

(t+2)秒时间，求它通过的路程。引导学生列出表达式3

x

(

t

+

2

)

3x(t+2)

3x(t+2)，并提问：如何计算这个式子？能否借鉴刚才几何问题的思路？

  学生活动：

  1.观察情境，独立思考，尝试用图形辅助理解问题一。

  2.参与互动，回答教师提问，在教师引导下完成两种面积表达式的推导与比较。

  3.回顾乘法分配律a

(

b

+

c

)

=

a

b

+

a

c

a(b+c)=ab+ac

a(b+c)=ab+ac。

  4.尝试将物理问题中的式子3

x

(

t

+

2

)

3x(t+2)

3x(t+2)与分配律形式进行类比联想。

  设计意图与学科素养培养点：

  本环节旨在通过具体的几何与物理背景问题，激活学生已有的“乘法分配律”和“用字母表示数”的经验，为新课学习铺设坚实的认知“锚点”。将实际问题抽象为数学表达式，初步渗透数学建模思想。通过“一题多解”引导学生体会数形结合，并自然地从数的分配律过渡到式的分配律，孕伏“单项式乘多项式”的法则。培养几何直观、数学抽象与初步的模型观念。

  （二）合作探究，建构新知（预计用时：22分钟）

  环节A：探究单项式乘多项式法则

  教师活动：

  1.抽象提炼：将情境中的具体数字替换为一般的字母，提出一般性问题：如何计算m

(

a

+

b

+

c

)

m(a+b+c)

m(a+b+c)？这里的m

m

m可以代表什么？（一个单项式）

  2.组织学生进行小组讨论：请利用乘法分配律和已学的单项式乘单项式法则，尝试推导m

(

a

+

b

+

c

)

m(a+b+c)

m(a+b+c)的结果，并总结运算的步骤或规律。

  3.巡视指导，关注学生推导过程的逻辑性与表达的规范性。鼓励学生用文字或符号语言描述自己的发现。

  4.组织小组汇报，引导全班归纳法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。符号语言：m

(

a

+

b

+

c

)

=

m

a

+

m

b

+

m

c

m(a+b+c)=ma+mb+mc

m(a+b+c)=ma+mb+mc。

  5.强调关键点：（1）“每一项”：必须不遗漏；（2）“乘”：是系数、同底数幂分别相乘；（3）“相加”：是合并同类项（若存在）。

  6.即时辨析：出示练习−

2

x

2

y

(

3

x

y

−

4

x

+

1

)

-2x^2y(3xy-4x+1)

−2x2y(3xy−4x+1)，请学生口述计算过程，教师板演规范格式，重点展示符号处理和系数、幂的运算细节。

  学生活动：

  1.小组合作，依据分配律进行推理：m

(

a

+

b

+

c

)

=

m

⋅

a

+

m

⋅

b

+

m

⋅

c

m(a+b+c)=m\cdota+m\cdotb+m\cdotc

m(a+b+c)=m⋅a+m⋅b+m⋅c。

  2.结合已有知识，将m

⋅

a

m\cdota

m⋅a、m

⋅

b

m\cdotb

m⋅b、m

⋅

c

m\cdotc

m⋅c视为单项式乘单项式进行计算（若m是具体的单项式）。

  3.尝试用语言概括运算过程。

  4.聆听教师总结，完善自己的理解，记录法则。

  5.参与辨析练习，注意观察板演，明确运算细节和书写规范。

  设计意图与学科素养培养点：

  从具体实例抽象到一般形式，经历完整的数学抽象过程。小组合作探究旨在让学生亲身经历法则的生成过程，理解其源于分配律的逻辑必然性，而非被动接受。强调语言概括与符号表达，促进数学语言能力的发展。即时辨析巩固理解，规范格式，防患于未然。培养逻辑推理能力、数学抽象能力及合作交流能力。

  环节B：探究多项式乘多项式法则

  教师活动：

  1.提出进阶挑战：如果“乘数”也变成一个多项式，例如计算(

a

+

b

)

(

p

+

q

)

(a+b)(p+q)

(a+b)(p+q)，我们又该如何处理？能否将其转化为我们已经解决的问题？

  2.引导学生进行策略猜想：有学生可能提出可以再次利用分配律。追问：把哪个多项式看成一个“整体”？请尝试。

  3.引导学生完成第一步转化：将(

a

+

b

)

(a+b)

(a+b)视为一个整体M，则原式=M

(

p

+

q

)

=

M

p

+

M

q

M(p+q)=Mp+Mq

M(p+q)=Mp+Mq。

  4.进一步展开：M

p

+

M

q

=

(

a

+

b

)

p

+

(

a

+

b

)

q

Mp+Mq=(a+b)p+(a+b)q

Mp+Mq=(a+b)p+(a+b)q。

  5.提问：现在变成了什么运算？引导学生发现这变成了两个“单项式乘多项式”的问题。让学生独立或小组合作完成后续展开与合并。

  6.动画演示几何模型：展示一个长为(

a

+

b

)

(a+b)

(a+b)、宽为(

p

+

q

)

(p+q)

(p+q)的大长方形，将其分割成四个小长方形（面积分别为a

p

,

a

q

,

b

p

,

b

q

ap,aq,bp,bq

ap,aq,bp,bq），直观验证代数结果a

p

+

a

q

+

b

p

+

b

q

ap+aq+bp+bq

ap+aq+bp+bq。

  7.组织学生观察并讨论：最终结果由几项构成？每一项是如何得到的？引导学生总结法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。可以用口诀“前前后后，里里外外”辅助记忆，但强调理解本质。

  8.符号化表达：(

a

+

b

)

(

p

+

q

)

=

a

p

+

a

q

+

b

p

+

b

q

(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq

(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。

  9.推广至一般情况：对于(

m

+

n

)

(

a

+

b

+

c

)

(m+n)(a+b+c)

(m+n)(a+b+c)该如何计算？让学生阐述思路，体会法则的普适性。

  10.规范格式示范：板演例题(

2

x

−

3

)

(

x

+

4

)

(2x-3)(x+4)

(2x−3)(x+4)的完整计算过程，强调按顺序书写、对齐同类项、分步合并，避免跳步导致的错误。

  学生活动：

  1.面对新问题，积极思考转化策略，提出猜想。

  2.跟随教师引导，理解将多项式视为“整体”的化归思想。

  3.动手演算(

a

+

b

)

p

+

(

a

+

b

)

q

(a+b)p+(a+b)q

(a+b)p+(a+b)q的展开过程。

  4.观察几何动画，将代数运算与图形面积建立一一对应，直观理解法则。

  5.参与讨论，总结多项式乘法的步骤与本质。

  6.尝试口头表述一般形式的运算过程。

  7.学习教师板演的规范格式，并在练习本上模仿。

  设计意图与学科素养培养点：

  这是本节课的核心与难点突破环节。设计遵循认知规律，采用“化归”策略，将未知的“多项式乘多项式”转化为已知的“单项式乘多项式”，再进一步转化为“单项式乘单项式”，体现了数学知识的内在联系和思维的层次性。几何模型的动态演示，为学生提供了直观表象支撑，有效化解抽象推理的难度，深化对法则结构的理解（四项的来源）。从特殊到一般的推广，锻炼了学生的归纳与演绎推理能力。规范板演对培养学生严谨、有序的运算习惯至关重要。综合培养化归思想、数形结合思想、逻辑推理能力和模型观念。

  （三）多维应用，深化理解（预计用时：12分钟）

  教师活动：

  设计分层、多维的例题与练习，引导学生巩固法则，并体会其应用。

  1.基础巩固层：

  （1）计算：①3

a

(

2

a

2

−

4

a

+

5

)

3a(2a^2-4a+5)

3a(2a2−4a+5)；②(

x

+

2

)

(

x

−

3

)

(x+2)(x-3)

(x+2)(x−3)；③(

2

m

−

n

)

(

3

m

+

2

n

)

(2m-n)(3m+2n)

(2m−n)(3m+2n)。

  重点关注运算的准确性与规范性，让中等及以下学生板演，集体订正。

  2.理解辨析层：

  （1）纠错：出示常见错误计算过程，如(

x

−

2

)

(

x

+

5

)

=

x

2

+

5

x

−

2

x

+

10

=

x

2

+

3

x

+

10

(x-2)(x+5)=x^2+5x-2x+10=x^2+3x+10

(x−2)(x+5)=x2+5x−2x+10=x2+3x+10（常数项错误），让学生诊断错因。

  （2）填空：若(

x

+

p

)

(

x

+

q

)

=

x

2

+

5

x

+

6

(x+p)(x+q)=x^2+5x+6

(x+p)(x+q)=x2+5x+6，则p+q=_,pq=_。引导学生将左边展开后与右边对比系数，建立简单联系，为后续学习乘法公式伏笔。

  3.简单应用与跨学科联系层：

  （1）几何应用：一个长方形花园，其长比宽多5米。若宽为x

x

x米，写出其面积的表达式并化简。若在花园四周修建一条宽为1米的小路，求小路的总面积（用含x的式子表示）。

  （2）跨学科联系（物理/经济学雏形）：某产品的生产成本为每件(

2

c

−

1

)

(2c-1)

(2c−1)元，现计划生产(

c

+

3

)

(c+3)

(c+3)件。①写出总成本的表达式并化简。②若每件售价为(

3

c

+

2

)

(3c+2)

(3c+2)元，写出总销售额的表达式。③（选做）利润如何表示？

  学生活动：

  1.独立完成基础巩固练习，注重步骤完整。

  2.积极参与辨析，找出错误根源，加深对法则细节（如符号、常数项相乘）的认识。

  3.尝试解决应用问题，将实际问题翻译为多项式乘法运算，感受数学的工具性。对跨学科问题表现出兴趣，并进行初步探索。

  设计意图与学科素养培养点：

  分层练习确保不同层次学生都能得到有效训练。基础层夯实技能；辨析层直击易错点，提升思维批判性与严谨性；应用层将数学与现实世界、其他学科建立联系，体现数学的广泛应用价值，激发学习动机，初步培养数学建模能力和跨学科应用意识。填空题为后续学习埋下伏笔，体现知识的结构化。

  （四）反思小结，体系内化（预计用时：5分钟）

  教师活动：

  1.不直接总结，而是抛出引导性问题串，组织学生进行反思性小结：

  （1）本节课我们学习了哪两种整式乘法运算？它们的法则是怎样的？

  （2）你能说说这两个法则之间有什么联系吗？（多项式乘法通过化为单项式乘法来解决，单项式乘法又化为了幂的运算和数的乘法，最终都基于乘法分配律）

  （3）在探索法则的过程中，我们主要运用了哪些数学思想方法？（数形结合、从特殊到一般、化归、整体思想）

  （4）进行多项式乘法运算时，你认为需要特别注意哪些地方才能保证正确？

  2.请学生自主发言，分享收获与疑惑。教师适时点评、补充，并利用思维导图（半成品）进行可视化总结，将“整式的乘法”纳入更广的“运算律”体系之中。

  3.布置开放性思考题：计算(

a

+

b

+

c

)

2

(a+b+c)^2

(a+b+c)2，你有哪些不同的思路？试试看。

  学生活动：

  1.围绕教师问题，回顾学习过程，梳理知识要点，思考内在联系。

  2.主动发言，表达自己的理解、收获或仍存的困惑。

  3.参与构建知识网络图，从整体上把握本节课在知识体系中的位置。

  4.接受挑战性思考题，课后尝试解决。

  设计意图与学科素养培养点：

  引导学生进行自主反思与总结，远比教师直接告知更为有效。问题串的设计旨在帮助学生不仅回顾知识“是什么”，更反思“怎么来”（过程）和“为什么”（联系与思想），促进深度理解与认知结构化。思维导图的运用有助于形成系统化的知识网络。开放性思考题旨在拓展学有余力学生的思维，为后续学习（完全平方公式的拓展）做准备，并进一步体会数学的探索性。培养元认知能力、系统化思维能力和勇于探索的精神。

  （五）分层作业，拓展延伸（预计用时：课后）

  教师布置分层作业，以满足不同学生的需求。

  【必做题】（面向全体，巩固基础）

  1.教材课后练习中对应单项式乘多项式、多项式乘多项式的计算题各5道，要求步骤完整、书写规范。

  2.完成学习任务单上的基础应用题2道（几何、简单实际问题各一）。

  【选做题】（面向学有余力学生，提升思维）

  1.探究题：计算(

a

+

b

)

(

a

2

−

a

b

+

b

2

)

(a+b)(a^2-ab+b^2)

(a+b)(a2−ab+b2)和(

a

−

b

)

(

a

2

+

a

b

+

b

2

)

(a-b)(a^2+ab+b^2)

(a−b)(a2+ab+b2)，观察结果，尝试发现规律，并与同学交流你的发现。（为后续学习立方和/差公式埋下探究种子）

  2.挑战题：已知一个棱长为(

x

+

2

)

(x+2)

(x+2)的正方体，在其每个角上截去一个棱长为1的小正方体，求剩余几何体的体积表达式。（综合考查空间想象与多项式乘法）

  3.小论文/报告（可小组合作）：寻找生活中或你所了解的其他学科（如物理、计算机、经济）中可能用到多项式乘法模型的实例，并尝试用数学语言进行描述。

  七、板书设计

  板书设计力求结构清晰、重点突出、体现思维过程。

  左侧主板：

  课题：整式的乘法（二）——从单项式乘多项式到多项式乘多项式

  一、探究与发现

  1.情境引入：(

a

+

b

)

p

=

a

p

+

b

p

(a+b)p=ap+bp

(a+b)p=ap+bp（分配律）

  2.单项式×多项式：

     法则：用单项式乘多项式的每一项，再把积相加。

     符号：m

(

a

+

b

+

c

)

=

m

a

+

m

b

+

m

c

m(a+b+c)=ma+mb+mc

m(a+b+c)=ma+mb+mc

     关键：不重不漏，逐项相乘，合并同类项。

  3.多项式×多项式：

     转化：(

a

+

b

)

(

p

+

q

)

=

(

a

+

b

)

p

+

(

a

+

b

)

q

(a+b)(p+q)=(a+b)p+(a+b)q

(a+b)(p+q)=(a+b)p+(a+b)q（整体思想，化归）

     展开：=

a

p

+

b

p

+

a

q

+

b

q

=ap+bp+aq+bq

=ap+bp+aq+bq

     法则：一项一项乘，积再相加。

     几何模型：（图示：大长方形分割为四个小长方形，标注边长与面积）

     核心：分配律的多层应用。

  二、思想方法提炼

     数形结合、化归思想、从特殊到一般、整体思想

  右侧副板（用于例题板演与随堂生成）：

     例题1：−

2

x

2

y

(

3

x

y

−

4

x

+

1

)

-2x^2y(3xy-4x+1)

−2x2y(3xy−4x+1)

     解：原式=(

−

2

x

2

y

)

(

3

x

y

)

+

(

−

2

x

2

y

)

(

−

4

x

)

+

(

−

2

x

2

y

)

(

1

)

(-2x^2y)(3xy)+(-2x^2y)(-4x)+(-2x^2y)(1)

(−2x2y)(3xy)+(−2x2y)(−4x)+(−2x2y)(1)

       =−

6

x

3

y

2

+

8

x

3

y

−

2

x

2

y

-6x^3y^2+8x^3y-2x^2y

−6x3y2+8x3y−2x2y

     例题2：(

2

x

−

3

)

(

x

+

4

)

(2x-3)(x+4)

(2x−3)(x+4)

     解：原式=2

x

⋅

x

+

2

x

⋅

4

+

(

−

3

)

⋅

x

+

(

−

3

)

⋅

4

2x\cdotx+2x\cdot4+(-3)\cdotx+(-3)\cdot4

2x⋅x+2x⋅4+(−3)⋅x+(−3)⋅4

       =2

x

2

+

8

x

−

3

x

−

12

2x^2+8x-3x-12

2x2+8x−3x−12

       =2

x

2

+

5

x

−

12

2x^2+5x-12

2x2+5x−12

  八、教学特色与预期反思

  （一）主要