27.2.3 相似三角形应用举例 教学设计 2023-2024学年人教版九年级数学下册

27.2.3相似三角形应用举例教学设计2023-2024学年人教版九年级数学下册设计意图一、设计意图本节课基于学生对相似三角形判定与性质的掌握，通过课本中的测量高度、宽度等实例，引导学生将数学知识应用于实际问题，体会数学建模思想。通过小组合作探究，培养学生分析问题、解决问题的能力，感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣，落实“学数学、用数学”的课程理念，符合九年级学生的认知水平和实际教学需求。核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过相似三角形在实际测量中的应用，培养学生数学建模能力，将实际问题转化为数学模型；经历分析问题、寻找相似条件的过程，发展逻辑推理能力；在计算过程中提升数学运算的准确性；感受数学与生活的联系，增强应用意识，落实核心素养中的模型思想和应用意识，符合九年级学生从理论到实践的过渡需求。教学难点与重点1.教学重点，①掌握利用相似三角形解决实际问题的基本方法，通过构造相似三角形，利用对应边成比例关系测量物体高度或宽度；②能结合课本例题（如利用阳光下的影子、标杆、镜子反射测量旗杆高度），分析情境中的相似条件，正确列出比例式并求解。

2.教学难点，①将实际问题抽象为数学模型，准确识别题目中的相似三角形，确定对应边（如测量中物体与影子的对应关系）；②在复杂情境（如标杆倾斜、光线角度变化）下，灵活调整相似三角形的构造方式，避免对应边找错，确保比例式正确建立。教学资源准备1.教材：确保每位学生配备人教版九年级数学下册教材，包含本节课“相似三角形应用举例”相关例题与习题。

2.辅助材料：准备课本中测量旗杆高度、利用标杆测距的情境图片，对应边比例关系的动态演示视频，以及典型例题的解题步骤图表。

3.实验器材：每组配备标杆、卷尺、手电筒（模拟光源），确保器材完好，安全无隐患。

4.教室布置：设置分组讨论区，预留实验操作空间，便于学生合作探究测量方案设计与实践。教学过程**环节一：情境导入，激发兴趣（5分钟）**

同学们，早上好！今天早上来学校时，你们有没有注意到操场上的国旗杆？（停顿，等待学生回应）对，就是那根高高的旗杆。如果我们想知道它的高度，但直接爬上去测量又不安全，你们有什么好办法吗？（引导学生思考，可能回答“用尺子量影子”“拿标杆比”等）大家的想法都很有意思！其实，早在古埃及，人们就曾用类似的方法测量金字塔的高度。今天，我们就来学习如何用相似三角形的知识解决这类实际问题——测量不能直接到达的物体的高度。翻开教材第67页，我们今天学习“27.2.3相似三角形应用举例”。

**环节二：回顾旧知，铺垫新知（8分钟）**

在探究新方法之前，我们先回忆一下相似三角形的判定和性质。谁能说说，判定两个三角形相似有哪些方法？（引导学生回答：平行线分线段成比例定理、两边成比例且夹角相等、三边成比例、两角相等）非常好！那相似三角形的性质呢？（对应角相等，对应边成比例）这些知识是我们今天解决问题的基础。现在，请大家看课本第68页的“探究”部分：如何测量旗杆的高度？我们一起分析一下。

**环节三：合作探究，构建模型（20分钟）**

**活动1：利用阳光下的影子测量旗杆高度**

（展示课本图27.2-7，或画示意图）同学们看，图中的旗杆AB和标杆CD都垂直于地面，它们的影子分别是BE和DE。在同一时刻，太阳光线是平行的，所以∠AEB=∠CED（都是太阳光线与地面的夹角）。又因为∠ABE=∠CDE=90°，所以△ABE∽△CDE（两角相等）。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即AB/CD=BE/DE。现在，已知标杆CD的长度、标杆影子的长度DE、旗杆影子的长度BE，你们能求出旗杆AB的高度吗？（引导学生列比例式：AB=CD×BE/DE）

**小组合作**：现在，我们模拟这个情境。假设标杆CD长2米，它的影子DE长1.5米，旗杆的影子BE长18米，请你们计算旗杆的高度。（学生分组计算，老师巡视指导，提醒单位统一）哪组愿意分享结果？（学生回答：AB=2×18/1.5=24米）完全正确！这里的关键是“同一时刻，太阳光线平行”，从而构造出相似三角形。

**活动2：利用标杆测量（无阳光时）**

如果阴天没有影子，我们还能用标杆测量吗？看课本例1的变式：如图，测量者站在点E处，手持标杆CD（高度已知），使标杆顶端C与旗杆顶端A、眼睛O在同一直线上。此时，标杆底部D与测量者脚的距离ED、测量者到旗杆底部的距离EB、标杆高度CD都是已知的，如何求旗杆AB的高度？

（引导学生分析：过点O作OF⊥AB于F，则OF∥CD，所以△OEF∽△CED（平行线分线段成比例），且△OEF∽△ABE（两角相等）。所以EF/ED=OF/CD，EF/EB=OF/AB。又因为OF=AB-CD，代入可解。简化后，AB=CD×EB/ED）

**动手操作**：现在，我们模拟实验。请第一组同学用铅笔（作标杆）、直尺（作旗杆）、三角板（作眼睛视线），在桌面上摆出这个情境，测量ED=3cm，EB=15cm，CD=5cm，计算AB的高度。（学生操作后汇报：AB=5×15/3=25cm）大家发现了吗？无论用影子还是标杆，核心都是构造相似三角形，找到已知量与未知量之间的比例关系。

**环节四：例题精讲，深化理解（15分钟）**

**例题：镜子反射法**（课本例2）

（展示题目）如图，测量者站在河岸边，要测量对岸树AB的高度。测量者持镜子E放在点C处，移动镜子，直到在镜子中看到树顶A。此时，测量者眼睛D离地面的高度DE=1.6米，镜子到测量者的距离CD=2米，镜子到树底部的距离CB=8米，求树AB的高度。

（引导学生分析：根据光的反射定律，入射角等于反射角，所以∠AEB=∠DEC。又因为∠ABE=∠DCE=90°，所以△ABE∽△DCE（两角相等）。根据相似性质，AB/DC=BE/CE，即AB/1.6=(8+2)/2，解得AB=8米）

**追问**：这里BE为什么是8+2？因为树在河对岸，镜子到树底部的距离是8米，镜子到测量者的距离是2米，所以树到测量者的距离是8+2=10米，也就是BE的长度。大家要注意实际问题中的距离关系，避免漏加或漏减。

**环节五：课堂练习，巩固应用（12分钟）**

**基础题**（课本第70页练习第1题）：如图，小明用高1.2米的标杆测量楼高，标杆影长1.5米，楼影长18米，求楼高。（学生独立完成，指名板演：AB=1.2×18/1.5=14.4米）

**提升题**：如图，为了测量河宽AB，在岸边点C测得∠ACB=60°，沿CB方向走20米到点D，测得∠ADB=30°，求河宽AB。（提示：构造相似三角形，△ABC∽△BDC，因为∠ACB=∠BDC=60°，∠ABC=∠CBD，所以AB/BD=BC/DC，即AB/20=20/20，AB=20米？不对，等一下，这里应该是∠ACB=∠BDC=60°，∠ABC=∠CBD，所以△ABC∽△BDC，对应边AB/BD=BC/DC，即AB/20=20/20，AB=20米？哦，其实更简单的是用三角函数，但用相似三角形也可以，因为∠ACB=∠BDC=60°，∠ABC=∠CBD，所以相似，比例正确。不过这道题其实是等腰三角形，AB=BC=20米，因为∠ACB=60°，△ABC是等边三角形？不对，∠ACB=60°，∠ADB=30°，所以∠BAD=30°，AB=BD=20米，对，这样更直接。看来用相似三角形时，还要结合其他几何知识，大家要注意知识的综合运用。）

**纠错环节**：有同学在练习中把对应边写反了，比如把AB/CD=BE/DE写成AB/BE=CD/DE，导致结果错误。大家一定要记住：相似三角形的对应边是对应角所对的边，比如△ABE∽△CDE，∠A对应∠C，∠B对应∠D，∠E对应∠E，所以AB对应CD，BE对应DE，AE对应CE，比例不能写错！

**环节六：课堂小结，梳理方法（5分钟）**

好了，同学们，今天我们学习了相似三角形的几个应用：利用阳光下的影子、标杆、镜子反射测量物体高度。谁能总结一下，解决这类问题的步骤是什么？（引导学生回答：①分析实际问题，找出已知量和未知量；②构造相似三角形（通常通过平行线、垂直关系、角相等）；③根据相似三角形的性质列比例式；④求解未知量）非常好！其实，无论哪种方法，核心都是“把实际问题转化为数学模型”，这也是数学建模思想的体现。生活中还有很多类似的问题，比如测量山高、河宽，甚至建筑物的间距，都可以用相似三角形来解决。

**环节七：作业布置，延伸应用（5分钟）**

今天的作业是：1.课本第71页习题27.2第5、6题（测量旗杆高度和楼高）；2.实践任务：小组合作，选择校园内一个不能直接测量的物体（如教学楼、大树），用今天学到的方法（至少两种）测量其高度，记录数据并写出解题过程，下节课分享。好，今天的课就到这里，下课！教师随笔教学资源拓展1.拓展资源：教材中相似三角形的应用主要聚焦于测量物体高度，可延伸至比例尺在地图绘制中的原理，如利用相似三角形的对应边成比例关系，通过实地测量图上距离与实际距离的比值，确定地图比例尺；工程测量中，如桥梁施工前利用相似三角形计算墩台高度，结合三角函数解决倾斜测量问题；数学史方面，泰勒斯利用相似三角形测量金字塔高度的方法，通过人与影子的比例关系推导不可直接测量物体的高度，体现数学建模思想；物理光学中，镜子反射法测量物体高度的原理与光的反射定律结合，深化跨学科理解；复杂情境下，如标杆倾斜时，需通过构造辅助线建立相似三角形，调整比例关系，确保测量准确性。

2.拓展建议：实践活动建议学生分组测量校园内不同物体（如教学楼、篮球架）的高度，分别采用影子法、标杆法、镜子法，记录数据并对比结果差异，分析误差原因；知识深化方面，探究相似三角形与全等三角形的关系，思考全等三角形是相似比为1的特殊情况，结合勾股定理解决直角三角形中的测量问题；跨学科探究可结合物理中的小孔成像原理，分析相似三角形在光学中的应用，或结合地理中的等高线地形图，利用相似三角形计算山峰实际高度；自主探究任务设计测量河宽的方案，通过在岸边构造相似三角形，利用已知边长比例间接求解，培养解决实际问题的能力；此外，研究相似三角形在建筑中的实际应用，如金字塔的底面边长与高度的比例关系，体会数学与建筑美学的结合。教师随笔板书设计①核心概念与性质：相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）、性质（对应角相等，对应边成比例）；相似三角形的数学建模思想（实际问题→数学模型→求解）。

②应用方法与步骤：阳光下的影子法（构造△ABE∽△CDE，比例式AB/CD=BE/DE）；标杆法（视线平行，构造相似三角形，比例式AB=CD×EB/ED）；镜子反射法（光的反射定律，构造△ABE∽△DCE，比例式AB/DC=BE/CE）。

③典型例题与关键结论：例1（旗杆高度测量）——同一时刻太阳光线平行，直角三角形相似；例2（镜子反射法）——入射角等于反射角，对应边成比例求解；结论——测量核心是构造相似三角形，找准对应边，建立正确比例式。课后拓展1.拓展内容：

①阅读教材“阅读与思考”栏目《相似三角形的悠久历史》，了解泰勒斯测量金字塔高度的方法，体会古代数学智慧；

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