2026步步高高考大二轮复习数学-新性质为导向的压轴题

新性质为导向的压轴题1.已知Am＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1，1a1，2…a1，m,a2，1a2，2…a2，m,⋮⋮⋱⋮,am，1am，2…am，m))(m≥2)是m2个正整数组成的m行m列的数表，当1≤i<s≤m，1≤j<t≤m时，记d(，j，as，t)＝|，j－as，j|＋|as，j－as，t|.设n∈N*，若Am满足如下两个性质：①，j∈{1，2，3，…，n}(i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，m)；②对任意k∈{1，2，3，…，n}，存在i∈{1，2，…，m}，j∈{1，2，…，m}，使得，j＝k，则称Am为Γn数表.(1)判断A3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(123,231,312))是否为Γ3数表，并求d(a1，1，a2，2)＋d(a2，2，a3，3)的值；(2)若Γ2数表A4满足d(，j，＋1，j＋1)＝1(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，求A4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A10，存在1≤i<s≤10，1≤j＜t≤10，使得d(，j，as，t)＝0.(1)解A3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(123,231,312))是Γ3数表，d(a1，1，a2，2)＋d(a2，2，a3，3)＝2＋3＝5.(2)解由题可知d(，j，as，t)＝|，j－as，j|＋|as，j－as，t|＝1(i＝1，2，3；j＝1，2，3).当＋1，j＝1时，有d(，j，＋1，j＋1)＝(，j－1)＋(＋1，j＋1－1)＝1，所以，j＋＋1，j＋1＝3.当＋1，j＝2时，有d(，j，＋1，j＋1)＝(2－，j)＋(2－＋1，j＋1)＝1，所以，j＋＋1，j＋1＝3.所以，j＋＋1，j＋1＝3(i＝1，2，3；j＝1，2，3).所以a1，1＋a2，2＋a3，3＋a4，4＝3＋3＝6，a1，3＋a2，4＝3，a3，1＋a4，2＝3.a1，2＋a2，3＋a3，4＝3＋1＝4或者a1，2＋a2，3＋a3，4＝3＋2＝5，a2，1＋a3，2＋a4，3＝3＋1＝4或者a2，1＋a3，2＋a4，3＝3＋2＝5，a1，4＝1或a1，4＝2，a4，1＝1或a4，1＝2，故各数之和≥6＋3＋3＋4＋4＋1＋1＝22，当A4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1111,1222,1211,1212))时，各数之和取得最小值22.(3)证明由于Γ4数表A10中共100个数字，必然存在k∈{1，2，3，4}，使得数表中k的个数满足T≥25.设第i行中k的个数为ri(i＝1，2，…，10).当ri≥2时，将横向相邻两个k用从左向右的有向线段连接，则该行有ri1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数R＝eq\o(∑,\s\up6(),\s\do4(ri≥2))(ri－1)≥eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i=1))(ri－1)＝T－10.设第j列中k的个数为cj(j＝1，2，…，10).当cj≥2时，将纵向相邻两个k用从上到下的有向线段连接，则该列有cj－1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数C＝eq\o(∑,\s\up6(),\s\do4(ri≥2))(cj－1)≥eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(j=1))(cj－1)＝T－10，所以R＋C≥2T－20.因为T≥25，所以R＋C－T≥2T－20－T＝T－20>0.所以必存在某个k既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在1<u<v≤10，1<p<q≤10，使得au，p＝av，p＝av，q＝k，所以d(au，p，av，q)＝|au，p－av，p|＋|av，p－av，q|＝0，则命题得证.2.已知数列{an}为有穷数列，且an∈N*，若数列{an}满足如下两个性质，则称数列{an}为m的k增数列：①a1＋a2＋a3＋…＋an＝m；②对于1≤i<j≤n，使得<aj的正整数对(i，j)有k个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当n＝5时，若存在m的6增数列，求m的最小值；(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.解(1)由题意得a1＋a2＋…＋an＝4，则1＋2＋1＝4或1＋3＝4，故所有4的1增数列有数列{1，2，1}和数列{1，3}.(2)当n＝5时，因为存在m的6增数列，所以数列{an}的各项中必有不同的项，所以m≥6且m∈N*.若m＝6，满足要求的数列{an}中有四项为1，一项为2，所以k≤4，不符合题意，所以m>6.若m＝7，满足要求的数列{an}中有三项为1，两项为2，符合m的6增数列.因此，当n＝5时，若存在m的6增数列，则m的最小值为7.(3)若数列{an}中的每一项都相等，则k＝0，若k≠0，则数列{an}中存在大于1的项，若首项a1≠1，将a1拆分成a1个1后k变大，所以此时k不是最大值，所以a1＝1.当i＝2，3，…，n时，若>＋1，交换，＋1的顺序后k变为k＋1，所以此时k不是最大值，所以≤＋1.若＋1－∉{0，1}，则＋1≥＋2，所以将＋1改为＋1－1，并在数列首位前添加一项1，k的值变大，所以此时k不是最大值，所以＋1－∈{0，1}.若数列{an}中存在相邻的两项＝2，＋1≥3，设此时{an}中有t项为2，将＋1改为2，并在数列首位前添加＋1－2个1后，k的值至少变为k＋1，所以此时k不是最大值，所以数列{an}的各项只能为1或2，所以数列{an}为1，1，…，1，2，2，…，