数学 勾股定理的逆定理及其应用课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用素养目标1.了解互逆命题、互逆定理之间的联系和区别，并能写出一个命题的逆命题；

2.掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形；3.了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数；重难点重点4.经历勾股定理的逆定理的探索过程，体验用全等三角形证明勾股定理的逆定理的过程.重点知识回顾1.直角三角形有哪些性质?(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.勾股定理abcABC思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3，4，5，那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?大禹治水相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.下面有三组数分别是一个三角形的三边长

a，

b，

c：

①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.问题1

分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是勾股定理的逆定理探索新知下面有三组数分别是一个三角形的三边长a，

b，

c：

①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.问题2

这三组数在数量关系上有什么相同点？①5，12，13满足52+122=132，②7，24，25满足72+242=252，③8，15，17满足

82+152=172.

古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？∵32+42=52，∴满足.a2+b2=c2这两个命题的题设、结论分别是什么？命题2

如果三角形

ABC的三边长

a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．探究点2互逆命题和互逆定理命题1

如果直角三角形两直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2+b2=c2．题设结论题设结论

我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.题设A结论B①题设B结论A②原命题逆命题互逆命题互逆命题已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形.ABCabc证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，

B'C'=a，A'C'=b.由勾股定理可得A'B'2=a2+b2.∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2.A'B'C'ab在△ABC和△A'B'C'中，∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).c即△ABC是直角三角形.可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形.这个命题是真命题，也是一个定理，勾股定理的逆命题如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.归纳总结练习

1、已知:在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求AC的长。【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.变式训练解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2∴(3k)2+(4k)2=(5k)2已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.1.在直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例.解：不一定全等.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=EF.ABCEDF拓展提升常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：

一组勾股数，都扩大相同倍数

k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.其逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”；这个命题不成立.其逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等”；这个命题成立.活动三：重点突破，提升探究例2四边形ABCD的各边长如图所示，对角线BD

=10，

求四边形ABCD的面积.解：∵AD=8，AB=6，BD=10，CD=26，BC=24，∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=CD2.∴△ABD和△BDC都是直角三角形，且∠A=90°，∠DBC=90°.∴S四边形ABCD=S△ABD

+S△BDC=×6×8+×10×24=144.答：四边形ABCD

的面积是144.4.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.解：(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行．逆命题成立．(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等．逆

命题不成立．(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等．逆命题不成立．(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相等．逆命题成立．5.已知△ABC，AB=n²-1，BC=

2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：∵AB

²+BC

²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n

²+1)²=AC

²，∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.课堂练习解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n